06解答题（提升题&压轴题）知识点分类-浙江省绍兴市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编

06解答题（提升题&压轴题）知识点分类-浙江省绍兴市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编

一．一次函数的应用（共1小题）

1．（2018•绍兴）如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A，B，C，D四个站点，每相邻两站之间的距离为5千米，从A站开往D站的车称为上行车，从D站开往A站的车称为下行车，第一班上行车、下行车分别从A站、D站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在A，D站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车（上、下车的时间忽略不计），上行车、下行车的速度均为30千米/小时．

（1）问第一班上行车到B站、第一班下行车到C站分别用时多少？

（2）若第一班上行车行驶时间为t小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为s千米，求s与t的函数关系式；

（3）一乘客前往A站办事，他在B，C两站间的P处（不含B，C站），刚好遇到上行车，BP＝x千米，此时，接到通知，必须在35分钟内赶到，他可选择走到B站或走到C站乘下行车前往A站．若乘客的步行速度是5千米/小时，求x满足的条件．

二．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）

2．（2018•绍兴）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．

（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；

（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．

三．三角形综合题（共1小题）

3．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．

（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．

（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．

四．四边形综合题（共3小题）

4．（2021•绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°．连结EF，作点D关于直线EF的对称点P．

（1）若EF⊥BD，求DF的长；

（2）若PE⊥BD，求DF的长；

（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．

5．（2020•绍兴）如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．

（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．

（2）在图1中，取A′B′的中点P，连接C′P，如图2．

①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．

②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．

6．（2018•绍兴）小敏思考解决如下问题：

原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ．

（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE＝AF，请你证明．

（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．

（3）如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．

五．几何变换综合题（共1小题）

7．（2019•绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．

（1）在旋转过程中，

①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．

六．相似形综合题（共1小题）

8．（2019•绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．

（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．

（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．

（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．

七．解直角三角形的应用（共1小题）

9．（2018•绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．

（1）窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；

（2）窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．

（参考数据：≈1.732，≈2.449）

参考答案与试题解析

一．一次函数的应用（共1小题）

1．（2018•绍兴）如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A，B，C，D四个站点，每相邻两站之间的距离为5千米，从A站开往D站的车称为上行车，从D站开往A站的车称为下行车，第一班上行车、下行车分别从A站、D站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在A，D站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车（上、下车的时间忽略不计），上行车、下行车的速度均为30千米/小时．

（1）问第一班上行车到B站、第一班下行车到C站分别用时多少？

（2）若第一班上行车行驶时间为t小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为s千米，求s与t的函数关系式；

（3）一乘客前往A站办事，他在B，C两站间的P处（不含B，C站），刚好遇到上行车，BP＝x千米，此时，接到通知，必须在35分钟内赶到，他可选择走到B站或走到C站乘下行车前往A站．若乘客的步行速度是5千米/小时，求x满足的条件．

【解答】解：（1）第一班上行车到B站用时＝小时，

第一班下行车到C站分别用时＝小时；

（2）当0≤t≤时，s＝15﹣60t，

当＜t≤时，s＝60t﹣15；

（3）由（2）可知同时出发的一对上、下行车的位置关于BC中点对称，设乘客到达A站总时间为t分钟，

①当x＝2.5时，往B站用时30分钟，还需要再等下行车5分钟，

t＝30+5+10＝45，不合题意；

②当x＜2.5时，只能往B站乘下行车，他离B站x千米，则离他右边最近的下行车离C站也是x千米，这辆下行车离B站（5﹣x）千米，

如果能乘上右侧的第一辆下行车，则，解得：x≤，

∴0＜x≤，

∵18≤t＜20，

∴0＜x≤符合题意；

如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，x＞，

，解得：x≤，

∴，27≤t＜28，

∴符合题意；

如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，x＞，

，解得：x≤，

∴＜x≤，35≤t＜37，不合题意，

∴综上，得0＜x≤；

③当x＞2.5时，乘客需往C站乘坐下行车．离他左边最近的下行车离B站是（5﹣x）千米，离他右边最近的下行车离C站也是（5﹣x）千米．

如果乘上右侧第一辆下行车，则≤，解得：x≥5，不合题意．

∴x≥5，不合题意．

如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，x＜5，

≤，解得x≥4，

∴4≤x＜5，30＜t≤32，

∴4≤x＜5符合题意．

如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，x＜4，

≤，解得x≥3，

∴3≤x＜4，42＜t≤44，

∴3≤x＜4不合题意．

综上，得4≤x＜5．

综上所述，0＜x≤或4≤x＜5．

二．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）

2．（2018•绍兴）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．

（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；

（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．

【解答】解：（1）∵P1（4，0），4﹣0＝4＞0，

∴绘制线段P1P2，P1P2＝4；

（2）∵P1（0，0），0﹣0＝0，

∴绘制抛物线，

设y＝ax（x﹣4），

把（6，6）代入得：6＝12a，

解得：a＝，

∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣2x．

三．三角形综合题（共1小题）

3．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．

（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．

（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．

【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝50°，

∵AE平分∠BAC，P与E重合，

∴D在AB边上，AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，

∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；

答：α的度数为25°；

（2）①当点P在线段BE上时，如图：

∵将△APC沿AP翻折得△APD，

∴AC＝AD，

∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，

又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，

∴（90°﹣α）+β＝40°+α，

∴2α﹣β＝50°，

②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：

∵将△APC沿AP翻折得△APD，

∴AC＝AD，

∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，

又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，

∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，

∴90°﹣α＝40°+α+β，

∴2α+β＝50°；

综上所述，当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°．

四．四边形综合题（共3小题）

4．（2021•绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°．连结EF，作点D关于直线EF的对称点P．

（1）若EF⊥BD，求DF的长；

（2）若PE⊥BD，求DF的长；

（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．

【解答】解：（1）∵点D、点P关于直线EF的对称，EF⊥BD，

∴点P在BD上，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵AB＝4，∠ADB＝30°．

∴AD＝4，

∵点E是边AD的中点，

∴DE＝2，

∵EF⊥BD，

∴DF＝3；

（2）①如图2，

∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．

∴∠PED＝60°，

由对称可得，EF平分∠PED，

∴∠DEF＝∠PEF＝30°，

∴△DEF是等腰三角形，

∴DF＝EF，

∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．DE＝2，

∴QE＝，

∵∠PEF＝30°，

∴EF＝2，

∴DF＝EF＝2；

②如图3，

∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．

∴∠PED＝120°，

由对称可得，PF＝DF，EP＝ED，EF平分∠PED，

∴∠DEF＝∠PEF＝120°，

∴∠EFD＝30°，

∴△DEF是等腰三角形，

∵PE⊥BD，

∴QD＝QF＝DF，

∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．DE＝2，

∴QE＝，QD＝3

∴DF＝2QD＝6；

∴DF的长为2或6；

（3）①由（2）得，当∠DQE＝90°时，DF＝2，

当∠DEQ＝90°时，如图4，

∵EF平分∠PED，

∴∠DEF＝45°，

过点F作FM⊥AD于点M，设EM＝a，则FM＝a，DM＝a，

∴a+a＝2，

∴a＝3﹣，DF＝6﹣2，

∴2＜DF＜6﹣2．

②由（2）得，当∠DQE＝90°时，DF＝6，

当∠DEQ＝90°时，如图5，

∵EF平分∠PED，

∴∠1＝∠2＝45°，

过点F作FM⊥AD于点M，设EM＝a，则FM＝a，DM＝2+a，

∴2+a＝a，

∴a＝3+，DF＝6+2，

∴6＜DF＜6+2．

∵点F是对角线BD上一动点，

∴6＜DF≤8．

综上，2＜DF＜6﹣2或6＜DF≤8．

5．（2020•绍兴）如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．

（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．

（2）在图1中，取A′B′的中点P，连接C′P，如图2．

①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．

②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．

【解答】解：（1）如图1中，

过点C′作C′H⊥OF于H．

∵∠HC′O＝∠C'OC＝α＝30°，

∴C′H＝C′O•cos30°＝2，

∴点C′到直线OF的距离为2．

（2）①如图2中，当C′P∥OF时，过点C′作C′M⊥OF于M．

∵C′P∥OF，

∴∠O＝180°﹣∠OC′P＝45°，

∴△OC′M是等腰直角三角形，

∵OC′＝4，

∴C′M＝2，

∴点C′到直线DE的距离为2﹣2．

如图3中，当C′P∥DG时，过点C′作C′N⊥FG于N．

同法可证△OC′N是等腰直角三角形，

∴C′N＝2，

∴点C′到直线DE的距离为2+2．

②设d为所求的距离．

第一种情形：如图4中，当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．

∵OA′＝2，OM＝2，∠OMA′＝90°，

∴A′M＝＝＝4，

∴A′D＝2，即d＝2，

如图5中，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q．

∵PQ＝1，OQ＝5，

∴OP＝＝，

∴PM＝＝，

∴PD＝﹣2，

∴d＝﹣2，

∴2≤d≤﹣2．

第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G＝2﹣2，即d＝2﹣2，

如图6中，当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT⊥B′C′于T，过点P作PR∥OQ交OB′于R，连接OP．

∵OP＝，OF＝5，

∴FP＝＝＝1，

∵OP＝OP，PF＝PT，∠F＝∠PTO＝90°，

∴Rt△OPF≌Rt△OPT（HL），

∴∠FOP＝∠TOP，

∵PR∥OQ，

∴∠OPR＝∠POF，

∴∠OPR＝∠POR，

∴OR＝PR，

∵PT2+TR2＝PR2，

∴12+（5﹣PR）2＝PR2，

∴PR＝2.6，RT＝2.4，

∵△B′PR∽△B′QO，

∴＝，

∴＝，

∴OQ＝，

∴QG＝OQ﹣OG＝，即d＝

∴2﹣2≤d＜，

第三种情形：当A′P经过点F时，如图7中，显然d＝3．

综上所述，2≤d≤﹣2或d＝3．

6．（2018•绍兴）小敏思考解决如下问题：

原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ．

（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE＝AF，请你证明．

（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．

（3）如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B+∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，

∵∠EAF＝∠B，

∴∠EAF+∠C＝180°，

∴∠AEC+∠AFC＝180°，

∵AE⊥BC，

∴AF⊥CD，

在△AEB和△AFD中，

，

∴△AEB≌△AFD，

∴AE＝AF；

（2）证明：由（1）得，∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF，

∴∠EAP＝∠FAQ，

在△AEP和△AFQ中，

，

∴△AEP≌△AFQ，

∴AP＝AQ；

（3）解：已知：AB＝4，∠B＝60°，

求四边形APCQ的面积，

解：连接AC、BD交于O，

∵∠ABC＝60°，BA＝BC，

∴△ABC为等边三角形，

∵AE⊥BC，

∴BE＝EC，

同理，CF＝FD，

∴四边形AECF的面积＝×四边形ABCD的面积，

由（2）得，四边形APCQ的面积＝四边形AECF的面积，

OA＝AB＝2，OB＝AB＝2，

∴四边形ABCD的面积＝×2×2×4＝8，

∴四边形APCQ的面积＝4．

五．几何变换综合题（共1小题）

7．（2019•绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．

（1）在旋转过程中，

①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．

【解答】解：（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20．

②显然∠MAD不能为直角．

当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，

∴AM＝20或（﹣20舍弃）．

当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，

∴AM＝10或（﹣10舍弃）．

综上所述，满足条件的AM的值为20或10．

（2）如图2中，连接CD1．

由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，

∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30，

∵∠AD2C＝135°，

∴∠CD2D1＝90°，

∴CD1＝＝30，

∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，

∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，

∴∠BAD2＝∠CAD1，

∵AB＝AC，AD2＝AD1，

∴△BAD2≌△CAD1（SAS），

∴BD2＝CD1＝30．

六．相似形综合题（共1小题）

8．（2019•绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．

（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．

（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．

（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．

【解答】解：（1）如图1中，

作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．

∵四边形ABCD是正方形，

∴FH＝AB，MQ＝BC，

∵AB＝CB，

∴FH＝MQ，

∵EF⊥MN，

∴∠EON＝90°，

∵∠ECN＝90°，

∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°

∴∠FEH＝∠MNQ，∵∠EHF＝∠MQN＝90°，

∴△FHE≌△MQN（AAS），

∴MN＝EF，

∴k＝MN：EF＝1．

（2）∵a：b＝1：2，

∴b＝2a，

由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，

∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝，

当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．

（3）连接FN，ME．

∵k＝3，MP＝EF＝3PE，

∴＝＝3，

∴＝＝2，∵∠FPN＝∠EPM，

∴△PNF∽△PME，

∴＝＝2，ME∥NF，

设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，

①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．作FH⊥BD于H．

∵∠MPE＝∠FPH＝60°，

∴PH＝2m，FH＝2m，DH＝10m，

∴＝＝＝．

②如图3中，当点N与C重合，作EH⊥MN于H．则PH＝m，HE＝m，

∴HC＝PH+PC＝13m，

∴tan∠HCE＝＝＝，

∵ME∥FC，

∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD，

∵∠B＝∠D，

∴△MEB∽△CFD，

∴＝＝2，

∴＝＝＝，

综上所述，a：b的值为或．

七．解直角三角形的应用（共1小题）

9．（2018•绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．

（1）窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；

（2）窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．

（参考数据：≈1.732，≈2.449）

【解答】解：（1）∵AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，

∴四边形ACDE是平行四边形，

∴AC∥DE，

∴∠DFB＝∠CAB，

∵∠CAB＝85°，

∴∠DFB＝85°；

（2）作CG⊥AB于点G，

∵AC＝20cm，∠CGA＝90°，∠CAB＝60°，

∴CG＝cm，AG＝10cm，

∵BD＝40cm，CD＝10cm，

∴CB＝30cm，

∴BG＝＝cm，

∴AB＝AG+BG＝10+10≈10+10×2.449＝34.49≈34.5cm，

即A、B之间的距离约为34.5cm．