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专题17不等式选讲-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科）
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这是一份专题17不等式选讲-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科），文件包含专题17不等式选讲解析版docx、专题17不等式选讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
1．【2022年全国甲卷文科23】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：
(1)a+b+2c≤3；
(2)若b=2c，则1a+1c≥3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
(1)证明：由柯西不等式有a2+b2+2c212+12+12≥a+b+2c2，
所以a+b+2c≤3，
当且仅当a=b=2c=1时，取等号，
所以a+b+2c≤3；
(2)证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，
即0由权方和不等式知1a+1c=12a+224c≥1+22a+4c=9a+4c≥3，
当且仅当1a=24c，即a=1，c=12时取等号，
所以1a+1c≥3.
2．【2022年全国乙卷文科23】已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：
(1)abc≤19；
(2)ab+c+ba+c+ca+b≤12abc；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)证明：因为a>0，b>0，c>0，则a32>0，b32>0，c32>0，
所以a32+b32+c323≥3a32⋅b32⋅c32，
即abc12≤13，所以abc≤19，当且仅当a32=b32=c32，即a=b=c=319时取等号．
(2)证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，
所以ab+c≤a2bc=a322abc，ba+c≤b2ac=b322abc，ca+b≤c2ab=c322abc
ab+c+ba+c+ca+b≤a322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc
当且仅当a=b=c时取等号．
3．【2021年全国甲卷文科23】已知函数f(x)=|x−2|,g(x)=|2x+3|−|2x−1|．
（1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像；
（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）a≥112
（1）可得f(x)=|x−2|={2−x,x<2x−2,x≥2，画出图像如下：
g(x)=|2x+3|−|2x−1|={−4,x<−324x+2,−32≤x<124,x≥12，画出函数图像如下：
（2）f(x+a)=|x+a−2|，
如图，在同一个坐标系里画出f(x),g(x)图像，
y=f(x+a)是y=f(x)平移了|a|个单位得到，
则要使f(x+a)≥g(x)，需将y=f(x)向左平移，即a>0，
当y=f(x+a)过A(12,4)时，|12+a−2|=4，解得a=112或−52（舍去），
则数形结合可得需至少将y=f(x)向左平移112个单位，∴a≥112.
4．【2021年全国乙卷文科23】已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集;
（2）若f(x)>−a，求a的取值范围．
【答案】（1）(−∞,−4]∪[2,+∞).（2）(−32,+∞).
（1）当a=1时，f(x)=|x−1|+|x+3|，|x−1|+|x+3|表示数轴上的点到1和−3的距离之和，
则f(x)≥6表示数轴上的点到1和−3的距离之和不小于6，
当x=−4或x=2时所对应的数轴上的点到1，−3所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到1，−3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是x≤−4或x≥2，
所以f(x)≥6的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞).
（2）依题意f(x)>−a，即|x−a|+|x+3|>−a恒成立，
|x−a|+|x+3|=|a−x|+|x+3|≥|a+3|，
当且仅当(a−x)(x+3)≥0时取等号，∴f(x)min=|a+3|,
故|a+3|>−a，
所以a+3>−a或a+3解得a>−32.
所以a的取值范围是(−32,+∞).
5．【2020年全国1卷文科23】已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．
（1）画出y=f(x)的图像；
（2）求不等式f(x)>f(x+1)的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）−∞,−76.
【解析】
（1）因为fx=x+3, x≥15x−1, −13（2）将函数fx的图象向左平移1个单位，可得函数fx+1的图象，如图所示：
由−x−3=5x+1−1，解得x=−76．
所以不等式的解集为−∞,−76．
6．【2020年全国2卷文科23】已知函数f(x)=x−a2+|x−2a+1|.
（1）当a=2时，求不等式f(x)⩾4的解集；
（2）若f(x)⩾4，求a的取值范围.
【答案】（1）xx≤32或x≥112；（2）−∞,−1∪3,+∞.
【解析】
（1）当a=2时，fx=x−4+x−3.
当x≤3时，fx=4−x+3−x=7−2x≥4，解得：x≤32；
当3当x≥4时，fx=x−4+x−3=2x−7≥4，解得：x≥112；
综上所述：fx≥4的解集为xx≤32或x≥112.
（2）fx=x−a2+x−2a+1≥x−a2−x−2a+1=−a2+2a−1=a−12（当且仅当2a−1≤x≤a2时取等号），
∴a−12≥4，解得：a≤−1或a≥3，
∴a的取值范围为−∞,−1∪3,+∞.
7．【2020年全国3卷文科23】设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】
（1）∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，
∴ab+bc+ca=−12a2+b2+c2.
∵abc=1,∴a,b,c均不为0，则a2+b2+c2>0，∴ab+bc+ca=−12a2+b2+c2<0；
（2）不妨设max{a,b,c}=a，
由a+b+c=0,abc=1可知，a>0,b<0,c<0，
∵a=−b−c,a=1bc，∴a3=a2⋅a=b+c2bc=b2+c2+2bcbc≥2bc+2bcbc=4.
当且仅当b=c时，取等号，
∴a≥34，即max{a,b,c}⩾34.
8．【2019年新课标3文科23】设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．
（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；
（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1．
【答案】解：（1）x，y，z∈R，且x+y+z＝1，
由柯西不等式可得
（12+12+12）[（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2]≥（x﹣1+y+1+z+1）2＝4，
可得（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2≥43，
即有（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为43；
（2）证明：由x+y+z＝1，柯西不等式可得
（12+12+12）[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2]≥（x﹣2+y﹣1+z﹣a）2＝（a+2）2，
可得（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥(a+2)23，
即有（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2的最小值为(a+2)23，
由题意可得(a+2)23≥13，
解得a≥﹣1或a≤﹣3．
9．【2019年新课标2文科23】已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），
∵f（x）＜0，∴当x＜1时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；
当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x∈∅；
综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；
（2）当a≥1时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x∈（﹣∞，1）上恒成立；
当a＜1时，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满足题意，
∴a的取值范围为：[1，+∞）
10．【2019年新课标1文科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
【答案】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
要证（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2；因为abc＝1．
就要证：abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2；
即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；
即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．
即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．
故1a+1b+1c≤a2+b2+c2得证．
（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；
即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；
（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；
当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）≥2ab；（b+c）≥2bc；（c+a）≥2ac；
当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8ab•bc•ac=24abc＝24；
当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；
故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．
故得证．
11．【2018年新课标1文科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|=2，x＞12x，−1≤x≤1−2，x＜−1，
由f（x）＞1，
∴2x＞1−1≤x≤1或2＞1x＞1，
解得x＞12，
故不等式f（x）＞1的解集为（12，+∞），
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即|ax﹣1|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜2a，
∴a＜2x
∵2x＞2，
∴0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2]．
12．【2018年新课标2文科23】设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=2x+4，x≤−12，−1＜x＜2−2x+6，x≥2．
当x≤﹣1时，f（x）＝2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，
当﹣1＜x＜2时，f（x）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，
当x≥2时，f（x）＝﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，
∴|x+a|+|x﹣2|≥4，
∴|x+a|+|x﹣2|＝|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|＝|a+2|，
∴|a+2|≥4，
解得a≤﹣6或a≥2，
故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．
13．【2018年新课标3文科23】设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
【答案】解：（1）当x≤−12时，f（x）＝﹣（2x+1）﹣（x﹣1）＝﹣3x，
当−12＜x＜1，f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝x+2，
当x≥1时，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x，
则f（x）=−3x，x≤−12x+2，−12＜x＜13x，x≥1对应的图象为：
画出y＝f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，
当x＝0时，f（0）＝2≤0•a+b，∴b≥2，
当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，
则函数f（x）的图象都在直线y＝ax+b的下方或在直线上，
∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，
即a+b的最小值为5．
14．【2017年新课标1文科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=12的二次函数，
g（x）＝|x+1|+|x﹣1|=2x，x＞12，−1≤x≤1−2x，x＜−1，
当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x=17−12，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，17−12]；
当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，17−12]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需12−a⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是[﹣1，1]．
15．【2017年新课标2文科23】已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
【答案】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（a⋅a5+b⋅b5）2＝（a3+b3）2≥4，
当且仅当ab5=ba5，即a＝b＝1时取等号，
（2）∵a3+b3＝2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，
∴(a+b)3−23(a+b)=ab，
由均值不等式可得：(a+b)3−23(a+b)=ab≤（a+b2）2，
∴（a+b）3﹣2≤3(a+b)34，
∴14（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
16．【2017年新课标3文科23】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【答案】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|=−3，x＜−12x−1，−1≤x≤23，x＞2，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）=−x2+x−3，x≤−1−x2+3x−1，−1＜x＜2−x2+x+3，x≥2，
当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=12＞−1，
∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=32∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（32）=−94+92−1=54；
当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=12＜2，
∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；
综上，g（x）max=54，
∴m的取值范围为（﹣∞，54]．
17．【2016年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．
【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x−4，x≤−13x−2，−1＜x＜324−x，x≥32，
由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：
（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得
当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；
当﹣1＜x＜32时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜13，
即有﹣1＜x＜13或1＜x＜32；
当x≥32时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或32≤x＜3．
综上可得，x＜13或1＜x＜3或x＞5．
则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，13）∪（1，3）∪（5，+∞）．
18．【2016年新课标2文科24】已知函数f（x）＝|x−12|+|x+12|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
【答案】解：（I）当x＜−12时，不等式f（x）＜2可化为：12−x﹣x−12＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜−12，
当−12≤x≤12时，不等式f（x）＜2可化为：12−x+x+12=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴−12≤x≤12，
当x＞12时，不等式f（x）＜2可化为：−12+x+x+12＜2，
解得：x＜1，
∴12＜x＜1，
综上可得：M＝（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，
（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
即a2b2+1＞a2+b2，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
即（ab+1）2＞（a+b）2，
即|a+b|＜|1+ab|．
19．【2016年新课标3文科24】已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，
|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，
∴﹣2≤x﹣1≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．
（2）∵g（x）＝|2x﹣1|，
∴f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，
2|x−12|+2|x−a2|+a≥3，
|x−12|+|x−a2|≥3−a2，
当a≥3时，成立，
当a＜3时，|x−12|+|x−a2|≥12|a﹣1|≥3−a2＞0，
∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，
解得2≤a＜3，
∴a的取值范围是[2，+∞）．
20．【2015年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，
即x＜−1−x−1−2(1−x)＞1①，或−1≤x＜1x+1−2(1−x)＞1②，
或x≥1x+1−2(x−1)＞1③．
解①求得x∈∅，解②求得23＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
综上可得，原不等式的解集为（23，2）．
（Ⅱ）函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|=x−1−2a，x＜−13x+1−2a，−1≤x≤a−x+1+2a，x＞a，
由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （2a−13，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），
由△ABC的面积大于6，
可得12[2a+1−2a−13]•（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a的范围为（2，+∞）．
21．【2015年新课标2文科24】设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则a+b＞c+d；
（2）a+b＞c+d是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【答案】证明：（1）由于（a+b）2＝a+b+2ab，
（c+d）2＝c+d+2cd，
由a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，
则ab＞cd，
即有（a+b）2＞（c+d）2，
则a+b＞c+d；
（2）①若a+b＞c+d，则（a+b）2＞（c+d）2，
即为a+b+2ab＞c+d+2cd，
由a+b＝c+d，则ab＞cd，
于是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
（c﹣d）2＝（c+d）2﹣4cd，
即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；
②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，
即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，
由a+b＝c+d，则ab＞cd，
则有（a+b）2＞（c+d）2．
综上可得，a+b＞c+d是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
22．【2014年新课标1文科24】若a＞0，b＞0，且1a+1b=ab．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且1a+1b=ab，
∴ab=1a+1b≥21ab，∴ab≥2，
当且仅当a＝b=2时取等号．
∵a3+b3 ≥2(ab)3≥223=42，当且仅当a＝b=2时取等号，
∴a3+b3的最小值为42．
（Ⅱ）∵2a+3b≥22a⋅3b=26ab，当且仅当2a＝3b时，取等号．
而由（1）可知，26ab≥212=43＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．
23．【2014年新课标2文科24】设函数f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|≥|（x+1a）﹣（x﹣a）|＝|a+1a|＝a+1a≥2a⋅1a=2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）＝|3+1a|+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+1a＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜5+212．
当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+1a＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得1+52＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（1+52，5+212）．
24．【2013年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．
（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[−a2，12]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．
设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=−5x，x＜12−x−2，12≤x≤13x−6，x＞1，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[−a2，12]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，
故x≥a﹣2对x∈[−a2，12]都成立．
故−a2≥a﹣2，
解得a≤43，
故a的取值范围为（﹣1，43]．
25．【2013年新课标2文科24】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ca≤13
（Ⅱ）a2b+b2c+c2a≥1．
【答案】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：
a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
由题设得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，
所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤13．
（Ⅱ）因为a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c，
故a2b+b2c+c2a+（a+b+c）≥2（a+b+c），即a2b+b2c+c2a≥a+b+c．
所以a2b+b2c+c2a≥1．
模拟好题
1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x=a+2csαy=2sinα（α为参数），直线l的参数方程为x=2t,y=2t（t为参数），设原点O在圆C的内部，直线l与圆C交于M，N两点；以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l和圆C的极坐标方程；
(2)求证：|OM|2+|ON|2为定值．
【答案】(1)θ=π4(ρ∈R)；ρ2−(2acsθ)ρ+a2−4=0．
(2)证明见解析．
【解析】
(1)将直线l的参数方程化为普通方程，得y=x，所以直线l的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)；
将圆C的参数方程化为直角坐标方程，得(x−a)2+y2=4，所以圆C的极坐标方程为ρ2−(2acsθ)ρ+a2−4=0．
(2)证明：将θ=π4代入ρ2−(2acsθ)ρ+a2−4=0，得ρ2−2aρ+a2−4=0．
则ρ1+ρ2=2a,ρ1ρ2=a2−4，所以|OM|2+|ON|2=ρ12+ρ22=ρ1+ρ22−2ρ1ρ2=(2a)2−2a2−4=8，
故|OM|2+|ON|2为定值．
2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2csθ+1y=2sinθ−3（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcsθ−3ρsinθ+11=0
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l距离的最大值．
【答案】(1)(x−1)2+(y+3)2=4;2x−3y+11=0
(2)167+147
【解析】
(1)曲线C的参数方程为x=2csθ+1y=2sinθ−3 （θ为参数），
则曲线C的普通方程为(x−1)2+(y+3)2=4 ，
将x=ρcsθy=ρsinθ 代入直线l的极坐标方程为2ρcsθ−3ρsinθ+11=0，
可得直线l的直角坐标方程为2x−3y+11=0 ；
(2)曲线C的普通方程为(x−1)2+(y+3)2=4，其圆心为(1,−3) ，
圆心(1,−3)到直线2x−3y+11=0的距离为：d=|2+3+11|22+3=1677 ，
故曲线C上的点到直线l距离的最大值为1677+2=167+147.
3．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点A(−2,−4)，倾斜角为α．曲线C的参数方程为x=2t2y=2t（t为参数）．
(1)设α=3π4，P，Q分别为直线l和曲线C上的两个动点，求|PQ|的最小值；
(2)若直线l和曲线C交于M，N两点，且|AM|,|MN|,|AN|成等比数列，求tanα的值．
【答案】(1)1124；
(2)−19或1.
【解析】
(1)当α=3π4时，直线l的斜率k=tanα=−1，
则直线l的方程为y+4=−(x+2)，即x+y+6=0，
设Q(2t2,2t)，则Q到直线l的距离为d=2t2+2t+62，
又2t2+2t+6=2(t+12)2+112≥112，所以dmin=1122=1124，
即PQ的最小值为1124；
(2)由x=2t2y=2t(t为参数)，得曲线C的普通方程为y2=2x，
由题意得直线l的参数方程为x=−2+tcsαy=−4+tsinα(t为参数)，
代入曲线C的普通方程得sin2αt2−(8sinα+2csα)t+20=0(sinα≠0)，
Δ=(8sinα+2csα)2−80sin2α>0，
由csα≠0，得1+8tanα−4tan2α>0，
设M(−2+mcsα,−4+msinα)、N(−2+ncsα,−4+nsinα)，
则m+n=8sinα+2csαsin2α，mn=20sin2α>0，
又AM=(−2+mcsα+2)2+(4+msinα−4)2=m2(cs2α+sin2α)=m，
同理，AN=n，MN=m−n，因为AM、MN、AN成等比数列，
所以MN2=AMAN，即m−n2=mn，
所以(m+n)2−4mn=mn，即(m+n)2=5mn，
即(8sinα+2csαsin2α)2=100sin2α，化简得9sin2α−8sinαcsα−cs2α=0，
即9tan2α−8tanα−1=0，解得tanα=−19或tanα=1，
当tanα=−19时，1+8tanα−4tan2α=581>0，符合题意，
当tanα=1时，1+8tanα−4tan2α=5>0，符合题意，
所以tanα=−19或tanα=1.
4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y−12=1．P为曲线C1上一动点，且OQ=2OP，点Q的轨迹为曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)曲线C3的极坐标方程为ρ2=21+sin2θ，点M为曲线C3上一动点，求MQ的最大值．
【答案】(1)ρ=2sinθ；ρ=4sinθ
(2)5
【解析】
(1)由题意可知，将x=ρcsθy=ρsinθ代入x2+y−12=1得ρ=2sinθ，
则曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，
设点P的极坐标为ρ0,θ0，则ρ0=2sinθ0，
点Q的极坐标为ρ,θ，由OQ=2OP得ρ=2ρ0θ=θ0，即ρ0=12ρθ=θ0，
将ρ0=12ρθ=θ0代入ρ0=2sinθ0得ρ=4sinθ，
所以点Q轨迹曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ；
(2)曲线C3直角坐标方程为x22+y2=1，设点M2csφ,sinφ，
曲线C2的直角坐标方程为x2+y−22=4，则圆心为N0,2，
MQmax=MNmax+2，
即MN=2csφ2+sinφ−22=−sin2φ−4sinφ+6
当sinφ=−1时，MNmax=3 ，所以MQmax=3+2=5.
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：x=tcsαy=1+tsinα（t为参数，α∈0,π2），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcsθ=4tanθ．
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P0,1，设曲线C1与曲线C2的交点分别为A，B，若PA⋅PB=−2，求α．
【答案】(1)y=xtanα+1 ,(α∈(0,π2))，x2=4y
(2)不存在
【解析】
(1)由题{x=tcsαy−1=tsinα，两式相除化简有C1的普通方程为y=xtanα+1,α∈(0,π2)，
∵ρcsθ=4tanθ ∴ ρcs2θ=4sinθ
∴ ρ2cs2θ=4ρsinθ ∴ x2=4y
∴C2的直角坐标方程为：x2=4y
(2)将{x=tcsαy=1+tsinα（t为参数）代入x2=4y中得，t2cs2α−4tsinα−4=0
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1⋅t2=−4cs2α
∵PA⋅PB=−2，即t1⋅t2=−2，
即 cs2α=2>1，∴满足条件的α不存在
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2+3sinα(α为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ=φρ∈R.
(1)求C1的极坐标方程；
(2)设C1与C2交于M,N两点，若OM+ON=42，求C2的直角坐标方程.
【答案】(1)ρ2−4ρsinθ−5=0
(2)3x±y=0
【解析】
(1)因为C1的参数方程为x=3csαy=2+3sinα（α为参数），所以消去参数α可得C1的直角坐标方程为x2+(y−2)2=9，即x2+y2−4y−5=0，
又y=ρsinθx2+y2=ρ2，所以C1的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ−5=0.
(2)由于C1与C2交于M,N两点，联立ρ2−4ρsinθ−5=0θ=φ得ρ2−4ρsinφ−5=0，
设M,N两点所对应的极径为ρM,ρN，则ρM+ρN=4sinφ,ρMρN=−5，
故OM+ON=ρM−ρN=ρM+ρN2−4ρMρN=16sin2φ−4×−5=42，
整理得sin2φ=34，则sinφ=±32，
所以C2的直角坐标方程为3x±y=0.
7．在平面直角坐标系中，已知直线l：mx+y−2m=0m∈R．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4csθ+sinθ．
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的一个参数方程；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且AB=26，求m的值．
【答案】(1)mρcsθ+ρsinθ−2m=0，x=2+22csty=2+22sint；
(2)±1.
【解析】
(1)将x=ρcsθy=ρsinθ代入mx+y−2m=0m∈R
得：ρ(mcsθ+sinθ)=2m⇒mρcsθ+ρsinθ−2m=0.
即直线l的极坐标方程为mρcsθ+ρsinθ−2m=0.
由圆C的极坐标方程为ρ=4csθ+sinθ可得：
ρ2=4ρ(csθ+sinθ)⇒x2+y2−4x−4y=0⇒(x−2)2+(y−2)2=8
故圆C的参数方程为x=2+22csty=2+22sint.
(2)点 C(2,2)到直线l：mx+y−2m=0m∈R的距离d=|2m+2−2m|m2+1=2m2+1，
则28−(2m2+1)2=|AB|=26⇒4m2+1=2⇒m=±1.
8．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为2,π3，将点A按逆时针方向旋转2π3得到点B，按顺时针方向转2π3得到点C．
(1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；
(2)设P为坐标系中的任意一点，求PA2+2PB2+PC2的最小值．
【答案】(1)点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3
(2)15
【解析】
(1)由极坐标的定义可得点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，
则点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3．
(2)因为A的极坐标为2,π3，所以A的直角坐标为1,3．
设P的直角坐标为x,y，
则PA2+2PB2+PC2=x−12+y−32+2x+22+y2+x−12+y+32
=4x+122+4y2+15，
当x=−12，y=0时，PA2+2PB2+PC2取得最小值，且最小值为15．
9．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为x=2+22ty=22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcsθ+22ρsinθ−1=0.
(1)写出l的普通方程和曲线C的参数方程；
(2)点P在圆C上，当点P到直线l的距离最大时，求点P的直角坐标.
【答案】(1)x−y−2=0，x=1+2csφ,y=−2+2sinφ（φ为参数）
(2)P1+2,−22
【解析】
(1)由x=2+22ty=22t可得x−y=2
所以l的普通方程为x−y−2=0，
由ρ2−2ρcsθ+22ρsinθ−1=0可得x2+y2−2x+22y−1=0，
所以曲线C的直角坐标方程为x−12+y+22=4，参数方程为x=1+2csφ,y=−2+2sinφ（φ为参数）.
(2)设点P1+2csφ,−2+2sinφ，则点P到l的距离d=1+2csφ+2−2sinφ−22=1−22sinφ−π42，
所以sinφ−π4=−1时，d最大，
此时φ=2kπ−π4k∈Z，csφ=22，sinφ=−22，
所以P1+2,−22.
10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=tcsα,y=tsinα,其中t为参数，α∈[0,π)，曲线C2的参数方程为x=2+3csθ,y=3sinθ（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)若α=π4，曲线C1，C2交于M，N两点，求1OM+1ON的值．
【答案】(1)θ=α(ρ∈R)，ρ2−4ρcsθ+1=0
(2)22
【解析】
(1)依题意，曲线C1的普通方程为csα⋅y−sinα⋅x=0，
即曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)．
曲线C2的普通方程为(x−2)2+y2=3，即x2+y2−4x+1=0，
故曲线C2的极坐标方程为ρ2−4ρcsθ+1=0．
(2)由α=π4，得θ=π4，
将θ=π4代入曲线C2的极坐标方程ρ2−4ρcsθ+1=0中，
可得ρ2−22ρ+1=0，
设上述方程的两根分别是ρ1，ρ2，则ρ1ρ2=1，ρ1+ρ2=22，
故1|OM|+1|ON|=|OM|+|ON||OM|⋅|ON|=ρ1+ρ2ρ1⋅ρ2=22．
11．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=csα+sinαy=3csα−3sinα（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcsθ+π4=−2．
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点P−1,1，直线l和曲线C相交于M、N两点，求1PM+1PN的值
【答案】(1)x22+y26=1，x−y+2=0；
(2)6
【解析】
(1)由x=csα+sinαy=3csα−3sinα得3x+y23=csα3x−y23=sinα
利用sin2α+cs2α=1，得x22+y26=1，即为C的普通方程，
由ρcsθ+π4=−2，得ρ(csθcsπ4−sinθsinπ4)=−2，
即ρcsθ−ρsinθ=−2，即x−y=−2，直线l的直角坐标方程为x−y+2=0；
(2)点P−1,1在直线l上，可得其参数方程为x=−1+22ty=1+22t（t为参数），
把x=−1+22ty=1+22t代入x22+y26=1得，t2−2t−1=0，
所以t1+t2=2，t1t2=−1，t1,t2不同号．
1PM+1PN=1t1+1t2=t1−t2t1t2=t1+t22−4t1t2t1t2=6．
12．已知中心在原点，焦点为F1 (−2,0)，F2 (2,0)的椭圆经过点(52,−32).
（1）求椭圆方程；
（2）若M是椭圆上任意一点，MF1交椭圆于点A，MF2交椭圆于点B，求|MF1||F1A|+|MF2||F2B|的值.
【答案】（1）x210+y26=1；（2）143.
【解析】
（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由椭圆定义知：2a=(52+2)2+(−32)2+(52−2)2+(−32)2=210，即a=10，又c=2，
∴b2=a2−c2=6，故椭圆方程为x210+y26=1.
（2）法一：以左焦点为极点，F1F2为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=ep1−ecsθ(e为离心率且p=a2c−c).
设M(ρ1,θ)，A(ρ2,π+θ)，则|MF1|=ρ1=ep1−ecsθ，|F1A|=ep1+ecsθ.
∴|MF1||F1A|=1+ecsθ1−ecsθ=21−ecsθ−1，即|MF1||F1A|=2|MF1|ep−1.同理，有|MF2||F2B|=2|MF2|ep−1.
∴|MF1||F1A|+|MF2||F2B|=2|MF1|ep−1+2|MF2|ep−1=2(|MF1|+|MF2|)ep−2=4a2b2−2=4×106−2=143.
法二：设M，A， F1在左准线x=−a2c上的射影分别为M1，A1，Q，如下图，
∴|MM1|=|MF1|e，|F1Q|=a2c−c=b2c，|AA1|=|AF1|e，
由相似形及和分比定理得|AM||AF1|=|AF1|+|F1M||AF1| =|MF1|e−|AF1|eb2c−|AF1|e=|MF1|−|AF1|eb2c−|AF1|=2|MF1|eb2c，
∴|MF1||AF1|=2|MF1|eb2c−1，同理，得|MF2||BF2|=2|MF2|eb2c−1，
∴|MF1||AF1|+|MF2||BF2|=2eb2c(|MF1|+|MF2|)−2=4a2b2−2=406−2=143.
13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=tcsα,y=−2+tsinα（t∈R,t为参数α∈0,π2）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈π4,3π4．
（1）求半圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（2）直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，△ABD的面积为1+3，求α的值．
【答案】（1）C：x=csφ,y=1+sinφ（φ为参数，φ∈(0,π)），l：y=xtanα−2,α∈0,π2；（2）α=π3
【解析】
（1）半圆C的参数方程为x=csφ,y=1+sinφ（其中φ为参数，φ∈(0,π)），
直线l的直角坐标方程为y=xtanα−2,α∈0,π2.
（2）由题意可知，可设D(cs2α,1+sin2α)，其中α∈0,π2
所以点D到直线AB的距离为：d=tanα⋅cs2α−(1+sin2α)−21+tan2α
=sinαcs2α−csαsin2α−3csα=sinα+3csα,
又A2tanα,0, B(0,−2)，∴AB=(−2)2+2tanα2=2sinα.
∴三角形ABD的面积S=12⋅AB⋅d=12⋅2sinα⋅sinα+3csα=1+3tanα=1+3.
∴tanα=3，
又∵α∈0,π2，∴α=π3.
14．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2sinα, α为参数，曲线C1上的点A,B的极坐标分别为Aρ1,θ1,Bρ2,θ2,θ2−θ1=90°．
（1）过O作线段AB的垂线，垂足为H，求点H的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）求A,B两点间的距离的取值范围．
【答案】（1）x2+y2=3613；（2）121313,13
【解析】
（1）因为曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2sinα,所以曲线C1的普通方程为x29+y24=1．
因为曲线C1上的点A,B的极坐标分别为Aρ1,θ1,Bρ2,θ2,θ2−θ1=90°，
所以点A,B的直角坐标分别为
Aρ1csθ1,ρ1sinθ1,Bρ2csθ1+90°,ρ2sinθ1+90°，
代入曲线C1的方程得ρ1csθ129+ρ1sinθ124=1,−ρ2sinθ129+ρ2csθ124=1，
所以csθ129+sinθ124=1ρ12,sinθ129+csθ124=1ρ22，
所以两个式子相加得1ρ12+1ρ22=19+14=1336．
由题意可知OH⋅AB=OA⋅OB，所以OH2=OA2⋅OB2OA2+OB2=ρ12⋅ρ22ρ12+ρ22=3613，
所以点H的轨迹是圆， 所以点H的轨迹C2的方程为x2+y2=3613．
（2）A,B两点间的距离为|AB|=ρ12+ρ22，设x=ρ12∈[4,9]，则ρ22=36x13x−36，
令函数f(x)=x+36x13x−36=13x213x−36，
所以f'(x)=1313x2−72x(13x−36)2，所以f(x)在区间4,7213上是减函数，
在区间7213,9上是增函数． 又f(4)=f(9)=13,f7213=14413，
所以函数f(x)的最大值为13，最小值为14413，
所以A,B两点间的距离|AB|的取值范围是121313,13．
15．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ=22sinx+34π，曲线C的参数方程为x=2s2y=22s（s为参数）．
（1）若直线l1平行于直线l，且与曲线C只有一个公共点，求直线l1的方程；
（2）若直线l与曲线C交于两点P，Q，求△PQO的面积．
【答案】（1）y=x+1；（2）22.
【解析】
（1）因为直线l的极坐标方程为ρ=22sinx+34π，
所以化为平面直角坐标系下的方程为x−y−1=0，
因为曲线C的参数方程为x=2s2y=22s（s为参数），所以化为普通方程为y2=4x．
因为直线l1平行于直线l，所以可设直线l1的方程为y=x+m，
代入曲线C的方程，可得x2+2m−4x+m2=0，
因为直线l1与曲线C只有一个公共点，
所以Δ=2m−42−4m2=0，解得m=1，
所以直线l1的方程为y=x+1．
（2）由（1）知直线l的方程为x−y−1=0，曲线C的方程为y2=4x，
联立方程组x−y−1=0y2=4x，整理得x2−6x+1=0，所以x1+x2=6，x1x2=1，
所以弦长PQ=1+1x1−x2=2x1+x22−4x1x2=8，
点O到直线l的距离为d=−11+1=12，
所以△PQO的面积为S=12×8×12=22．
16．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为2,π3，将点A按逆时针方向旋转2π3得到点B，按顺时针方向转4π3得到点C．
(1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；
(2)设P为坐标系中的任意一点，求PA2+2PB2+PC2的最小值．
【答案】(1)点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3
(2)15
【解析】
(1)由极坐标的定义可得点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，
则点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3．
(2)因为A的极坐标为2,π3，所以A的直角坐标为1,3．
设P的直角坐标为x,y，
则PA2+2PB2+PC2=x−12+y−32+2x+22+y2+x−12+y+32
=4x+122+4y2+15，
当x=−12，y=0时，PA2+2PB2+PC2取得最小值，且最小值为15．
17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:x=csφy=−1+sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2csθ．
(1)写出曲线C1的极坐标方程，曲线C2的直角坐标方程；
(2)设点M的极坐标为M(2,0)，射线θ=α−π4<α<0,ρ≥0与曲线C1、C2分别交于A、B两点（异于极点），当∠AMB=π4时，求线段AB的长．
【答案】(1)ρ=−2sinθ，(x−1)2+y2=1
(2)255
【解析】
(1)C1:x2+(y+1)2=1，将x=ρcsθy=ρsinθ代入得：
C1的极坐标方程为ρ=−2sinθ
曲线C2：由ρ=2csθ得
ρ2=2ρcsθ
∴x2+y2=2x
∴曲线C2的直角坐标方程为(x−1)2+y2=1
(2)将θ=α代入曲线C1、曲线C2的极坐标方程可得|OA|=ρA=−2sinα,|OB|=ρB=2csα
∵−π4<α<0
∴由题意得|AB|=|OB|−|OA|=ρB−ρA =2csα+2sinα
∵OM为曲线C2的直径
∴∠OBM=π2，又∠AMB=π4，∴∠BAM=∠AMB=π4
∴|AB|=|MB|=2sin∠BOM=2sin(−α)=−2sinα
∴2csα+2sinα=−2sinα，即tanα=−12
∵−π4<α<0
∴sinα=−15
∴|AB|=|MB|=−2sinα=255
18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2−45t,y=4+35t,（其中t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为42csθ+π4=ρ．
(1)求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
【答案】(1)3x+4y−22=0，x2+y2−4x+4y=0
(2)22+245
【解析】
(1)解：直线l的参数方程为x=2−45t,y=4+35t,（其中t为参数），
消去参数t可得3x+4y−22=0，即直线l的普通方程为3x+4y−22=0．
因为曲线C的极坐标方程为42csθ+π4=ρ，
展开为4222csθ−22sinθ=ρ，
所以4ρcsθ−4ρsinθ=ρ2，因为x=ρcsθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，
所以曲线C的平面直角坐标方程为x2+y2−4x+4y=0．
(2)解：将曲线C的方程配方得(x−2)2+(y+2)2=8，
它表示圆心坐标为(2,−2)，半径为22的圆，
因为圆心到直线l:3x+4y−22=0的距离d=|6−8−22|32+42=245，
所以圆上的点到直线l的距离的最大值为22+245．
19．已知直线l的参数方程为：x=22ty=2+22t（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2=71+2sin2θ.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知直线l和曲线C交于A,B两点，设点M0,2，求1MA+1MB.
【答案】(1)直线l:x−y+2=0；曲线C:x2+y2+4xy=7
(2)23
【解析】
(1)由直线l参数方程得：y−x=2，即直线l的普通方程为：x−y+2=0；
由ρ2=71+2sin2θ得：ρ2+2ρ2sin2θ=ρ2+4ρ2sinθcsθ=7，
∴x2+y2+4xy=7，即曲线C的直角坐标方程为：x2+y2+4xy=7.
(2)将l参数方程代入曲线C直角坐标方程整理得：t2+22t−1=0；
设A,B对应的参数分别为t1,t2，则t1+t2=−22，t1t2=−1，
∴1MA+1MB=1t1+1t2=t1+t2t1t2=t1−t2t1t2=t1+t22−4t1t2t1t2=23.
20．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1方程为：x=t+1ty=2t−1t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ−1sinθ−3csθ=0
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P、点Q分别是曲线C1和C2上的动点，求|PQ|的最小值以及取得最小值时P点坐标．
【答案】(1)3x−y+1=0；
(2)最小值102−1010，P(−655,−855).
【解析】
(1)由C2:ρsinθ−3ρcsθ−1=0，而x=ρcsθ,y=ρsinθ，
所以C2的直角坐标方程为3x−y+1=0.
(2)设P(t+1t,2(t−1t))，则P到C2的距离为：|PQ|=|3(t+1t)−2(t−1t)+1|32+12=|t+5t+1|10，
∵t+5t+1≥25+1或t+5t+1≤−25+1，则|t+5t+1|≥25−1，
∴|PQ|≥102−1010，即|PQ|min=102−1010，此时t=−5,则P(−655,−855).
1．【2022年全国甲卷文科23】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：
(1)a+b+2c≤3；
(2)若b=2c，则1a+1c≥3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
(1)证明：由柯西不等式有a2+b2+2c212+12+12≥a+b+2c2，
所以a+b+2c≤3，
当且仅当a=b=2c=1时，取等号，
所以a+b+2c≤3；
(2)证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，
即0
当且仅当1a=24c，即a=1，c=12时取等号，
所以1a+1c≥3.
2．【2022年全国乙卷文科23】已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：
(1)abc≤19；
(2)ab+c+ba+c+ca+b≤12abc；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)证明：因为a>0，b>0，c>0，则a32>0，b32>0，c32>0，
所以a32+b32+c323≥3a32⋅b32⋅c32，
即abc12≤13，所以abc≤19，当且仅当a32=b32=c32，即a=b=c=319时取等号．
(2)证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，
所以ab+c≤a2bc=a322abc，ba+c≤b2ac=b322abc，ca+b≤c2ab=c322abc
ab+c+ba+c+ca+b≤a322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc
当且仅当a=b=c时取等号．
3．【2021年全国甲卷文科23】已知函数f(x)=|x−2|,g(x)=|2x+3|−|2x−1|．
（1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像；
（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）a≥112
（1）可得f(x)=|x−2|={2−x,x<2x−2,x≥2，画出图像如下：
g(x)=|2x+3|−|2x−1|={−4,x<−324x+2,−32≤x<124,x≥12，画出函数图像如下：
（2）f(x+a)=|x+a−2|，
如图，在同一个坐标系里画出f(x),g(x)图像，
y=f(x+a)是y=f(x)平移了|a|个单位得到，
则要使f(x+a)≥g(x)，需将y=f(x)向左平移，即a>0，
当y=f(x+a)过A(12,4)时，|12+a−2|=4，解得a=112或−52（舍去），
则数形结合可得需至少将y=f(x)向左平移112个单位，∴a≥112.
4．【2021年全国乙卷文科23】已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集;
（2）若f(x)>−a，求a的取值范围．
【答案】（1）(−∞,−4]∪[2,+∞).（2）(−32,+∞).
（1）当a=1时，f(x)=|x−1|+|x+3|，|x−1|+|x+3|表示数轴上的点到1和−3的距离之和，
则f(x)≥6表示数轴上的点到1和−3的距离之和不小于6，
当x=−4或x=2时所对应的数轴上的点到1，−3所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到1，−3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是x≤−4或x≥2，
所以f(x)≥6的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞).
（2）依题意f(x)>−a，即|x−a|+|x+3|>−a恒成立，
|x−a|+|x+3|=|a−x|+|x+3|≥|a+3|，
当且仅当(a−x)(x+3)≥0时取等号，∴f(x)min=|a+3|,
故|a+3|>−a，
所以a+3>−a或a+3
所以a的取值范围是(−32,+∞).
5．【2020年全国1卷文科23】已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．
（1）画出y=f(x)的图像；
（2）求不等式f(x)>f(x+1)的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）−∞,−76.
【解析】
（1）因为fx=x+3, x≥15x−1, −13
由−x−3=5x+1−1，解得x=−76．
所以不等式的解集为−∞,−76．
6．【2020年全国2卷文科23】已知函数f(x)=x−a2+|x−2a+1|.
（1）当a=2时，求不等式f(x)⩾4的解集；
（2）若f(x)⩾4，求a的取值范围.
【答案】（1）xx≤32或x≥112；（2）−∞,−1∪3,+∞.
【解析】
（1）当a=2时，fx=x−4+x−3.
当x≤3时，fx=4−x+3−x=7−2x≥4，解得：x≤32；
当3
综上所述：fx≥4的解集为xx≤32或x≥112.
（2）fx=x−a2+x−2a+1≥x−a2−x−2a+1=−a2+2a−1=a−12（当且仅当2a−1≤x≤a2时取等号），
∴a−12≥4，解得：a≤−1或a≥3，
∴a的取值范围为−∞,−1∪3,+∞.
7．【2020年全国3卷文科23】设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】
（1）∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，
∴ab+bc+ca=−12a2+b2+c2.
∵abc=1,∴a,b,c均不为0，则a2+b2+c2>0，∴ab+bc+ca=−12a2+b2+c2<0；
（2）不妨设max{a,b,c}=a，
由a+b+c=0,abc=1可知，a>0,b<0,c<0，
∵a=−b−c,a=1bc，∴a3=a2⋅a=b+c2bc=b2+c2+2bcbc≥2bc+2bcbc=4.
当且仅当b=c时，取等号，
∴a≥34，即max{a,b,c}⩾34.
8．【2019年新课标3文科23】设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．
（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；
（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1．
【答案】解：（1）x，y，z∈R，且x+y+z＝1，
由柯西不等式可得
（12+12+12）[（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2]≥（x﹣1+y+1+z+1）2＝4，
可得（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2≥43，
即有（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为43；
（2）证明：由x+y+z＝1，柯西不等式可得
（12+12+12）[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2]≥（x﹣2+y﹣1+z﹣a）2＝（a+2）2，
可得（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥(a+2)23，
即有（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2的最小值为(a+2)23，
由题意可得(a+2)23≥13，
解得a≥﹣1或a≤﹣3．
9．【2019年新课标2文科23】已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），
∵f（x）＜0，∴当x＜1时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；
当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x∈∅；
综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；
（2）当a≥1时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x∈（﹣∞，1）上恒成立；
当a＜1时，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满足题意，
∴a的取值范围为：[1，+∞）
10．【2019年新课标1文科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
【答案】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
要证（1）1a+1b+1c≤a2+b2+c2；因为abc＝1．
就要证：abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2；
即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；
即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．
即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．
故1a+1b+1c≤a2+b2+c2得证．
（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；
即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；
（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；
当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）≥2ab；（b+c）≥2bc；（c+a）≥2ac；
当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8ab•bc•ac=24abc＝24；
当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；
故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．
故得证．
11．【2018年新课标1文科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|=2，x＞12x，−1≤x≤1−2，x＜−1，
由f（x）＞1，
∴2x＞1−1≤x≤1或2＞1x＞1，
解得x＞12，
故不等式f（x）＞1的解集为（12，+∞），
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即|ax﹣1|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜2a，
∴a＜2x
∵2x＞2，
∴0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2]．
12．【2018年新课标2文科23】设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=2x+4，x≤−12，−1＜x＜2−2x+6，x≥2．
当x≤﹣1时，f（x）＝2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，
当﹣1＜x＜2时，f（x）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，
当x≥2时，f（x）＝﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，
∴|x+a|+|x﹣2|≥4，
∴|x+a|+|x﹣2|＝|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|＝|a+2|，
∴|a+2|≥4，
解得a≤﹣6或a≥2，
故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．
13．【2018年新课标3文科23】设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
【答案】解：（1）当x≤−12时，f（x）＝﹣（2x+1）﹣（x﹣1）＝﹣3x，
当−12＜x＜1，f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝x+2，
当x≥1时，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x，
则f（x）=−3x，x≤−12x+2，−12＜x＜13x，x≥1对应的图象为：
画出y＝f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，
当x＝0时，f（0）＝2≤0•a+b，∴b≥2，
当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，
则函数f（x）的图象都在直线y＝ax+b的下方或在直线上，
∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，
即a+b的最小值为5．
14．【2017年新课标1文科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=12的二次函数，
g（x）＝|x+1|+|x﹣1|=2x，x＞12，−1≤x≤1−2x，x＜−1，
当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x=17−12，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，17−12]；
当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，17−12]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需12−a⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是[﹣1，1]．
15．【2017年新课标2文科23】已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
【答案】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（a⋅a5+b⋅b5）2＝（a3+b3）2≥4，
当且仅当ab5=ba5，即a＝b＝1时取等号，
（2）∵a3+b3＝2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，
∴(a+b)3−23(a+b)=ab，
由均值不等式可得：(a+b)3−23(a+b)=ab≤（a+b2）2，
∴（a+b）3﹣2≤3(a+b)34，
∴14（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
16．【2017年新课标3文科23】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【答案】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|=−3，x＜−12x−1，−1≤x≤23，x＞2，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）=−x2+x−3，x≤−1−x2+3x−1，−1＜x＜2−x2+x+3，x≥2，
当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=12＞−1，
∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=32∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（32）=−94+92−1=54；
当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=12＜2，
∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；
综上，g（x）max=54，
∴m的取值范围为（﹣∞，54]．
17．【2016年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．
【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x−4，x≤−13x−2，−1＜x＜324−x，x≥32，
由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：
（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得
当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；
当﹣1＜x＜32时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜13，
即有﹣1＜x＜13或1＜x＜32；
当x≥32时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或32≤x＜3．
综上可得，x＜13或1＜x＜3或x＞5．
则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，13）∪（1，3）∪（5，+∞）．
18．【2016年新课标2文科24】已知函数f（x）＝|x−12|+|x+12|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
【答案】解：（I）当x＜−12时，不等式f（x）＜2可化为：12−x﹣x−12＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜−12，
当−12≤x≤12时，不等式f（x）＜2可化为：12−x+x+12=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴−12≤x≤12，
当x＞12时，不等式f（x）＜2可化为：−12+x+x+12＜2，
解得：x＜1，
∴12＜x＜1，
综上可得：M＝（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，
（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
即a2b2+1＞a2+b2，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
即（ab+1）2＞（a+b）2，
即|a+b|＜|1+ab|．
19．【2016年新课标3文科24】已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
【答案】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，
|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，
∴﹣2≤x﹣1≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．
（2）∵g（x）＝|2x﹣1|，
∴f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，
2|x−12|+2|x−a2|+a≥3，
|x−12|+|x−a2|≥3−a2，
当a≥3时，成立，
当a＜3时，|x−12|+|x−a2|≥12|a﹣1|≥3−a2＞0，
∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，
解得2≤a＜3，
∴a的取值范围是[2，+∞）．
20．【2015年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，
即x＜−1−x−1−2(1−x)＞1①，或−1≤x＜1x+1−2(1−x)＞1②，
或x≥1x+1−2(x−1)＞1③．
解①求得x∈∅，解②求得23＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
综上可得，原不等式的解集为（23，2）．
（Ⅱ）函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|=x−1−2a，x＜−13x+1−2a，−1≤x≤a−x+1+2a，x＞a，
由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （2a−13，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），
由△ABC的面积大于6，
可得12[2a+1−2a−13]•（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a的范围为（2，+∞）．
21．【2015年新课标2文科24】设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则a+b＞c+d；
（2）a+b＞c+d是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【答案】证明：（1）由于（a+b）2＝a+b+2ab，
（c+d）2＝c+d+2cd，
由a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，ab＞cd，
则ab＞cd，
即有（a+b）2＞（c+d）2，
则a+b＞c+d；
（2）①若a+b＞c+d，则（a+b）2＞（c+d）2，
即为a+b+2ab＞c+d+2cd，
由a+b＝c+d，则ab＞cd，
于是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
（c﹣d）2＝（c+d）2﹣4cd，
即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；
②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，
即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，
由a+b＝c+d，则ab＞cd，
则有（a+b）2＞（c+d）2．
综上可得，a+b＞c+d是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
22．【2014年新课标1文科24】若a＞0，b＞0，且1a+1b=ab．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且1a+1b=ab，
∴ab=1a+1b≥21ab，∴ab≥2，
当且仅当a＝b=2时取等号．
∵a3+b3 ≥2(ab)3≥223=42，当且仅当a＝b=2时取等号，
∴a3+b3的最小值为42．
（Ⅱ）∵2a+3b≥22a⋅3b=26ab，当且仅当2a＝3b时，取等号．
而由（1）可知，26ab≥212=43＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．
23．【2014年新课标2文科24】设函数f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|≥|（x+1a）﹣（x﹣a）|＝|a+1a|＝a+1a≥2a⋅1a=2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）＝|3+1a|+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+1a＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜5+212．
当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+1a＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得1+52＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（1+52，5+212）．
24．【2013年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．
（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[−a2，12]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．
设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=−5x，x＜12−x−2，12≤x≤13x−6，x＞1，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[−a2，12]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，
故x≥a﹣2对x∈[−a2，12]都成立．
故−a2≥a﹣2，
解得a≤43，
故a的取值范围为（﹣1，43]．
25．【2013年新课标2文科24】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ca≤13
（Ⅱ）a2b+b2c+c2a≥1．
【答案】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：
a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
由题设得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，
所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤13．
（Ⅱ）因为a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c，
故a2b+b2c+c2a+（a+b+c）≥2（a+b+c），即a2b+b2c+c2a≥a+b+c．
所以a2b+b2c+c2a≥1．
模拟好题
1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x=a+2csαy=2sinα（α为参数），直线l的参数方程为x=2t,y=2t（t为参数），设原点O在圆C的内部，直线l与圆C交于M，N两点；以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l和圆C的极坐标方程；
(2)求证：|OM|2+|ON|2为定值．
【答案】(1)θ=π4(ρ∈R)；ρ2−(2acsθ)ρ+a2−4=0．
(2)证明见解析．
【解析】
(1)将直线l的参数方程化为普通方程，得y=x，所以直线l的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)；
将圆C的参数方程化为直角坐标方程，得(x−a)2+y2=4，所以圆C的极坐标方程为ρ2−(2acsθ)ρ+a2−4=0．
(2)证明：将θ=π4代入ρ2−(2acsθ)ρ+a2−4=0，得ρ2−2aρ+a2−4=0．
则ρ1+ρ2=2a,ρ1ρ2=a2−4，所以|OM|2+|ON|2=ρ12+ρ22=ρ1+ρ22−2ρ1ρ2=(2a)2−2a2−4=8，
故|OM|2+|ON|2为定值．
2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2csθ+1y=2sinθ−3（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcsθ−3ρsinθ+11=0
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l距离的最大值．
【答案】(1)(x−1)2+(y+3)2=4;2x−3y+11=0
(2)167+147
【解析】
(1)曲线C的参数方程为x=2csθ+1y=2sinθ−3 （θ为参数），
则曲线C的普通方程为(x−1)2+(y+3)2=4 ，
将x=ρcsθy=ρsinθ 代入直线l的极坐标方程为2ρcsθ−3ρsinθ+11=0，
可得直线l的直角坐标方程为2x−3y+11=0 ；
(2)曲线C的普通方程为(x−1)2+(y+3)2=4，其圆心为(1,−3) ，
圆心(1,−3)到直线2x−3y+11=0的距离为：d=|2+3+11|22+3=1677 ，
故曲线C上的点到直线l距离的最大值为1677+2=167+147.
3．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点A(−2,−4)，倾斜角为α．曲线C的参数方程为x=2t2y=2t（t为参数）．
(1)设α=3π4，P，Q分别为直线l和曲线C上的两个动点，求|PQ|的最小值；
(2)若直线l和曲线C交于M，N两点，且|AM|,|MN|,|AN|成等比数列，求tanα的值．
【答案】(1)1124；
(2)−19或1.
【解析】
(1)当α=3π4时，直线l的斜率k=tanα=−1，
则直线l的方程为y+4=−(x+2)，即x+y+6=0，
设Q(2t2,2t)，则Q到直线l的距离为d=2t2+2t+62，
又2t2+2t+6=2(t+12)2+112≥112，所以dmin=1122=1124，
即PQ的最小值为1124；
(2)由x=2t2y=2t(t为参数)，得曲线C的普通方程为y2=2x，
由题意得直线l的参数方程为x=−2+tcsαy=−4+tsinα(t为参数)，
代入曲线C的普通方程得sin2αt2−(8sinα+2csα)t+20=0(sinα≠0)，
Δ=(8sinα+2csα)2−80sin2α>0，
由csα≠0，得1+8tanα−4tan2α>0，
设M(−2+mcsα,−4+msinα)、N(−2+ncsα,−4+nsinα)，
则m+n=8sinα+2csαsin2α，mn=20sin2α>0，
又AM=(−2+mcsα+2)2+(4+msinα−4)2=m2(cs2α+sin2α)=m，
同理，AN=n，MN=m−n，因为AM、MN、AN成等比数列，
所以MN2=AMAN，即m−n2=mn，
所以(m+n)2−4mn=mn，即(m+n)2=5mn，
即(8sinα+2csαsin2α)2=100sin2α，化简得9sin2α−8sinαcsα−cs2α=0，
即9tan2α−8tanα−1=0，解得tanα=−19或tanα=1，
当tanα=−19时，1+8tanα−4tan2α=581>0，符合题意，
当tanα=1时，1+8tanα−4tan2α=5>0，符合题意，
所以tanα=−19或tanα=1.
4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y−12=1．P为曲线C1上一动点，且OQ=2OP，点Q的轨迹为曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)曲线C3的极坐标方程为ρ2=21+sin2θ，点M为曲线C3上一动点，求MQ的最大值．
【答案】(1)ρ=2sinθ；ρ=4sinθ
(2)5
【解析】
(1)由题意可知，将x=ρcsθy=ρsinθ代入x2+y−12=1得ρ=2sinθ，
则曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，
设点P的极坐标为ρ0,θ0，则ρ0=2sinθ0，
点Q的极坐标为ρ,θ，由OQ=2OP得ρ=2ρ0θ=θ0，即ρ0=12ρθ=θ0，
将ρ0=12ρθ=θ0代入ρ0=2sinθ0得ρ=4sinθ，
所以点Q轨迹曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ；
(2)曲线C3直角坐标方程为x22+y2=1，设点M2csφ,sinφ，
曲线C2的直角坐标方程为x2+y−22=4，则圆心为N0,2，
MQmax=MNmax+2，
即MN=2csφ2+sinφ−22=−sin2φ−4sinφ+6
当sinφ=−1时，MNmax=3 ，所以MQmax=3+2=5.
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：x=tcsαy=1+tsinα（t为参数，α∈0,π2），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcsθ=4tanθ．
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P0,1，设曲线C1与曲线C2的交点分别为A，B，若PA⋅PB=−2，求α．
【答案】(1)y=xtanα+1 ,(α∈(0,π2))，x2=4y
(2)不存在
【解析】
(1)由题{x=tcsαy−1=tsinα，两式相除化简有C1的普通方程为y=xtanα+1,α∈(0,π2)，
∵ρcsθ=4tanθ ∴ ρcs2θ=4sinθ
∴ ρ2cs2θ=4ρsinθ ∴ x2=4y
∴C2的直角坐标方程为：x2=4y
(2)将{x=tcsαy=1+tsinα（t为参数）代入x2=4y中得，t2cs2α−4tsinα−4=0
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1⋅t2=−4cs2α
∵PA⋅PB=−2，即t1⋅t2=−2，
即 cs2α=2>1，∴满足条件的α不存在
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2+3sinα(α为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ=φρ∈R.
(1)求C1的极坐标方程；
(2)设C1与C2交于M,N两点，若OM+ON=42，求C2的直角坐标方程.
【答案】(1)ρ2−4ρsinθ−5=0
(2)3x±y=0
【解析】
(1)因为C1的参数方程为x=3csαy=2+3sinα（α为参数），所以消去参数α可得C1的直角坐标方程为x2+(y−2)2=9，即x2+y2−4y−5=0，
又y=ρsinθx2+y2=ρ2，所以C1的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ−5=0.
(2)由于C1与C2交于M,N两点，联立ρ2−4ρsinθ−5=0θ=φ得ρ2−4ρsinφ−5=0，
设M,N两点所对应的极径为ρM,ρN，则ρM+ρN=4sinφ,ρMρN=−5，
故OM+ON=ρM−ρN=ρM+ρN2−4ρMρN=16sin2φ−4×−5=42，
整理得sin2φ=34，则sinφ=±32，
所以C2的直角坐标方程为3x±y=0.
7．在平面直角坐标系中，已知直线l：mx+y−2m=0m∈R．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4csθ+sinθ．
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的一个参数方程；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且AB=26，求m的值．
【答案】(1)mρcsθ+ρsinθ−2m=0，x=2+22csty=2+22sint；
(2)±1.
【解析】
(1)将x=ρcsθy=ρsinθ代入mx+y−2m=0m∈R
得：ρ(mcsθ+sinθ)=2m⇒mρcsθ+ρsinθ−2m=0.
即直线l的极坐标方程为mρcsθ+ρsinθ−2m=0.
由圆C的极坐标方程为ρ=4csθ+sinθ可得：
ρ2=4ρ(csθ+sinθ)⇒x2+y2−4x−4y=0⇒(x−2)2+(y−2)2=8
故圆C的参数方程为x=2+22csty=2+22sint.
(2)点 C(2,2)到直线l：mx+y−2m=0m∈R的距离d=|2m+2−2m|m2+1=2m2+1，
则28−(2m2+1)2=|AB|=26⇒4m2+1=2⇒m=±1.
8．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为2,π3，将点A按逆时针方向旋转2π3得到点B，按顺时针方向转2π3得到点C．
(1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；
(2)设P为坐标系中的任意一点，求PA2+2PB2+PC2的最小值．
【答案】(1)点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3
(2)15
【解析】
(1)由极坐标的定义可得点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，
则点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3．
(2)因为A的极坐标为2,π3，所以A的直角坐标为1,3．
设P的直角坐标为x,y，
则PA2+2PB2+PC2=x−12+y−32+2x+22+y2+x−12+y+32
=4x+122+4y2+15，
当x=−12，y=0时，PA2+2PB2+PC2取得最小值，且最小值为15．
9．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为x=2+22ty=22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcsθ+22ρsinθ−1=0.
(1)写出l的普通方程和曲线C的参数方程；
(2)点P在圆C上，当点P到直线l的距离最大时，求点P的直角坐标.
【答案】(1)x−y−2=0，x=1+2csφ,y=−2+2sinφ（φ为参数）
(2)P1+2,−22
【解析】
(1)由x=2+22ty=22t可得x−y=2
所以l的普通方程为x−y−2=0，
由ρ2−2ρcsθ+22ρsinθ−1=0可得x2+y2−2x+22y−1=0，
所以曲线C的直角坐标方程为x−12+y+22=4，参数方程为x=1+2csφ,y=−2+2sinφ（φ为参数）.
(2)设点P1+2csφ,−2+2sinφ，则点P到l的距离d=1+2csφ+2−2sinφ−22=1−22sinφ−π42，
所以sinφ−π4=−1时，d最大，
此时φ=2kπ−π4k∈Z，csφ=22，sinφ=−22，
所以P1+2,−22.
10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=tcsα,y=tsinα,其中t为参数，α∈[0,π)，曲线C2的参数方程为x=2+3csθ,y=3sinθ（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)若α=π4，曲线C1，C2交于M，N两点，求1OM+1ON的值．
【答案】(1)θ=α(ρ∈R)，ρ2−4ρcsθ+1=0
(2)22
【解析】
(1)依题意，曲线C1的普通方程为csα⋅y−sinα⋅x=0，
即曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)．
曲线C2的普通方程为(x−2)2+y2=3，即x2+y2−4x+1=0，
故曲线C2的极坐标方程为ρ2−4ρcsθ+1=0．
(2)由α=π4，得θ=π4，
将θ=π4代入曲线C2的极坐标方程ρ2−4ρcsθ+1=0中，
可得ρ2−22ρ+1=0，
设上述方程的两根分别是ρ1，ρ2，则ρ1ρ2=1，ρ1+ρ2=22，
故1|OM|+1|ON|=|OM|+|ON||OM|⋅|ON|=ρ1+ρ2ρ1⋅ρ2=22．
11．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=csα+sinαy=3csα−3sinα（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcsθ+π4=−2．
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点P−1,1，直线l和曲线C相交于M、N两点，求1PM+1PN的值
【答案】(1)x22+y26=1，x−y+2=0；
(2)6
【解析】
(1)由x=csα+sinαy=3csα−3sinα得3x+y23=csα3x−y23=sinα
利用sin2α+cs2α=1，得x22+y26=1，即为C的普通方程，
由ρcsθ+π4=−2，得ρ(csθcsπ4−sinθsinπ4)=−2，
即ρcsθ−ρsinθ=−2，即x−y=−2，直线l的直角坐标方程为x−y+2=0；
(2)点P−1,1在直线l上，可得其参数方程为x=−1+22ty=1+22t（t为参数），
把x=−1+22ty=1+22t代入x22+y26=1得，t2−2t−1=0，
所以t1+t2=2，t1t2=−1，t1,t2不同号．
1PM+1PN=1t1+1t2=t1−t2t1t2=t1+t22−4t1t2t1t2=6．
12．已知中心在原点，焦点为F1 (−2,0)，F2 (2,0)的椭圆经过点(52,−32).
（1）求椭圆方程；
（2）若M是椭圆上任意一点，MF1交椭圆于点A，MF2交椭圆于点B，求|MF1||F1A|+|MF2||F2B|的值.
【答案】（1）x210+y26=1；（2）143.
【解析】
（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由椭圆定义知：2a=(52+2)2+(−32)2+(52−2)2+(−32)2=210，即a=10，又c=2，
∴b2=a2−c2=6，故椭圆方程为x210+y26=1.
（2）法一：以左焦点为极点，F1F2为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=ep1−ecsθ(e为离心率且p=a2c−c).
设M(ρ1,θ)，A(ρ2,π+θ)，则|MF1|=ρ1=ep1−ecsθ，|F1A|=ep1+ecsθ.
∴|MF1||F1A|=1+ecsθ1−ecsθ=21−ecsθ−1，即|MF1||F1A|=2|MF1|ep−1.同理，有|MF2||F2B|=2|MF2|ep−1.
∴|MF1||F1A|+|MF2||F2B|=2|MF1|ep−1+2|MF2|ep−1=2(|MF1|+|MF2|)ep−2=4a2b2−2=4×106−2=143.
法二：设M，A， F1在左准线x=−a2c上的射影分别为M1，A1，Q，如下图，
∴|MM1|=|MF1|e，|F1Q|=a2c−c=b2c，|AA1|=|AF1|e，
由相似形及和分比定理得|AM||AF1|=|AF1|+|F1M||AF1| =|MF1|e−|AF1|eb2c−|AF1|e=|MF1|−|AF1|eb2c−|AF1|=2|MF1|eb2c，
∴|MF1||AF1|=2|MF1|eb2c−1，同理，得|MF2||BF2|=2|MF2|eb2c−1，
∴|MF1||AF1|+|MF2||BF2|=2eb2c(|MF1|+|MF2|)−2=4a2b2−2=406−2=143.
13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=tcsα,y=−2+tsinα（t∈R,t为参数α∈0,π2）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈π4,3π4．
（1）求半圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（2）直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，△ABD的面积为1+3，求α的值．
【答案】（1）C：x=csφ,y=1+sinφ（φ为参数，φ∈(0,π)），l：y=xtanα−2,α∈0,π2；（2）α=π3
【解析】
（1）半圆C的参数方程为x=csφ,y=1+sinφ（其中φ为参数，φ∈(0,π)），
直线l的直角坐标方程为y=xtanα−2,α∈0,π2.
（2）由题意可知，可设D(cs2α,1+sin2α)，其中α∈0,π2
所以点D到直线AB的距离为：d=tanα⋅cs2α−(1+sin2α)−21+tan2α
=sinαcs2α−csαsin2α−3csα=sinα+3csα,
又A2tanα,0, B(0,−2)，∴AB=(−2)2+2tanα2=2sinα.
∴三角形ABD的面积S=12⋅AB⋅d=12⋅2sinα⋅sinα+3csα=1+3tanα=1+3.
∴tanα=3，
又∵α∈0,π2，∴α=π3.
14．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2sinα, α为参数，曲线C1上的点A,B的极坐标分别为Aρ1,θ1,Bρ2,θ2,θ2−θ1=90°．
（1）过O作线段AB的垂线，垂足为H，求点H的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）求A,B两点间的距离的取值范围．
【答案】（1）x2+y2=3613；（2）121313,13
【解析】
（1）因为曲线C1的参数方程为x=3csα,y=2sinα,所以曲线C1的普通方程为x29+y24=1．
因为曲线C1上的点A,B的极坐标分别为Aρ1,θ1,Bρ2,θ2,θ2−θ1=90°，
所以点A,B的直角坐标分别为
Aρ1csθ1,ρ1sinθ1,Bρ2csθ1+90°,ρ2sinθ1+90°，
代入曲线C1的方程得ρ1csθ129+ρ1sinθ124=1,−ρ2sinθ129+ρ2csθ124=1，
所以csθ129+sinθ124=1ρ12,sinθ129+csθ124=1ρ22，
所以两个式子相加得1ρ12+1ρ22=19+14=1336．
由题意可知OH⋅AB=OA⋅OB，所以OH2=OA2⋅OB2OA2+OB2=ρ12⋅ρ22ρ12+ρ22=3613，
所以点H的轨迹是圆， 所以点H的轨迹C2的方程为x2+y2=3613．
（2）A,B两点间的距离为|AB|=ρ12+ρ22，设x=ρ12∈[4,9]，则ρ22=36x13x−36，
令函数f(x)=x+36x13x−36=13x213x−36，
所以f'(x)=1313x2−72x(13x−36)2，所以f(x)在区间4,7213上是减函数，
在区间7213,9上是增函数． 又f(4)=f(9)=13,f7213=14413，
所以函数f(x)的最大值为13，最小值为14413，
所以A,B两点间的距离|AB|的取值范围是121313,13．
15．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ=22sinx+34π，曲线C的参数方程为x=2s2y=22s（s为参数）．
（1）若直线l1平行于直线l，且与曲线C只有一个公共点，求直线l1的方程；
（2）若直线l与曲线C交于两点P，Q，求△PQO的面积．
【答案】（1）y=x+1；（2）22.
【解析】
（1）因为直线l的极坐标方程为ρ=22sinx+34π，
所以化为平面直角坐标系下的方程为x−y−1=0，
因为曲线C的参数方程为x=2s2y=22s（s为参数），所以化为普通方程为y2=4x．
因为直线l1平行于直线l，所以可设直线l1的方程为y=x+m，
代入曲线C的方程，可得x2+2m−4x+m2=0，
因为直线l1与曲线C只有一个公共点，
所以Δ=2m−42−4m2=0，解得m=1，
所以直线l1的方程为y=x+1．
（2）由（1）知直线l的方程为x−y−1=0，曲线C的方程为y2=4x，
联立方程组x−y−1=0y2=4x，整理得x2−6x+1=0，所以x1+x2=6，x1x2=1，
所以弦长PQ=1+1x1−x2=2x1+x22−4x1x2=8，
点O到直线l的距离为d=−11+1=12，
所以△PQO的面积为S=12×8×12=22．
16．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为2,π3，将点A按逆时针方向旋转2π3得到点B，按顺时针方向转4π3得到点C．
(1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；
(2)设P为坐标系中的任意一点，求PA2+2PB2+PC2的最小值．
【答案】(1)点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3
(2)15
【解析】
(1)由极坐标的定义可得点B和点C的极坐标分别为2,π，2,5π3，
则点B和点C的直角坐标分别为−2,0，1,−3．
(2)因为A的极坐标为2,π3，所以A的直角坐标为1,3．
设P的直角坐标为x,y，
则PA2+2PB2+PC2=x−12+y−32+2x+22+y2+x−12+y+32
=4x+122+4y2+15，
当x=−12，y=0时，PA2+2PB2+PC2取得最小值，且最小值为15．
17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:x=csφy=−1+sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2csθ．
(1)写出曲线C1的极坐标方程，曲线C2的直角坐标方程；
(2)设点M的极坐标为M(2,0)，射线θ=α−π4<α<0,ρ≥0与曲线C1、C2分别交于A、B两点（异于极点），当∠AMB=π4时，求线段AB的长．
【答案】(1)ρ=−2sinθ，(x−1)2+y2=1
(2)255
【解析】
(1)C1:x2+(y+1)2=1，将x=ρcsθy=ρsinθ代入得：
C1的极坐标方程为ρ=−2sinθ
曲线C2：由ρ=2csθ得
ρ2=2ρcsθ
∴x2+y2=2x
∴曲线C2的直角坐标方程为(x−1)2+y2=1
(2)将θ=α代入曲线C1、曲线C2的极坐标方程可得|OA|=ρA=−2sinα,|OB|=ρB=2csα
∵−π4<α<0
∴由题意得|AB|=|OB|−|OA|=ρB−ρA =2csα+2sinα
∵OM为曲线C2的直径
∴∠OBM=π2，又∠AMB=π4，∴∠BAM=∠AMB=π4
∴|AB|=|MB|=2sin∠BOM=2sin(−α)=−2sinα
∴2csα+2sinα=−2sinα，即tanα=−12
∵−π4<α<0
∴sinα=−15
∴|AB|=|MB|=−2sinα=255
18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2−45t,y=4+35t,（其中t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为42csθ+π4=ρ．
(1)求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
【答案】(1)3x+4y−22=0，x2+y2−4x+4y=0
(2)22+245
【解析】
(1)解：直线l的参数方程为x=2−45t,y=4+35t,（其中t为参数），
消去参数t可得3x+4y−22=0，即直线l的普通方程为3x+4y−22=0．
因为曲线C的极坐标方程为42csθ+π4=ρ，
展开为4222csθ−22sinθ=ρ，
所以4ρcsθ−4ρsinθ=ρ2，因为x=ρcsθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，
所以曲线C的平面直角坐标方程为x2+y2−4x+4y=0．
(2)解：将曲线C的方程配方得(x−2)2+(y+2)2=8，
它表示圆心坐标为(2,−2)，半径为22的圆，
因为圆心到直线l:3x+4y−22=0的距离d=|6−8−22|32+42=245，
所以圆上的点到直线l的距离的最大值为22+245．
19．已知直线l的参数方程为：x=22ty=2+22t（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2=71+2sin2θ.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知直线l和曲线C交于A,B两点，设点M0,2，求1MA+1MB.
【答案】(1)直线l:x−y+2=0；曲线C:x2+y2+4xy=7
(2)23
【解析】
(1)由直线l参数方程得：y−x=2，即直线l的普通方程为：x−y+2=0；
由ρ2=71+2sin2θ得：ρ2+2ρ2sin2θ=ρ2+4ρ2sinθcsθ=7，
∴x2+y2+4xy=7，即曲线C的直角坐标方程为：x2+y2+4xy=7.
(2)将l参数方程代入曲线C直角坐标方程整理得：t2+22t−1=0；
设A,B对应的参数分别为t1,t2，则t1+t2=−22，t1t2=−1，
∴1MA+1MB=1t1+1t2=t1+t2t1t2=t1−t2t1t2=t1+t22−4t1t2t1t2=23.
20．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1方程为：x=t+1ty=2t−1t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ−1sinθ−3csθ=0
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P、点Q分别是曲线C1和C2上的动点，求|PQ|的最小值以及取得最小值时P点坐标．
【答案】(1)3x−y+1=0；
(2)最小值102−1010，P(−655,−855).
【解析】
(1)由C2:ρsinθ−3ρcsθ−1=0，而x=ρcsθ,y=ρsinθ，
所以C2的直角坐标方程为3x−y+1=0.
(2)设P(t+1t,2(t−1t))，则P到C2的距离为：|PQ|=|3(t+1t)−2(t−1t)+1|32+12=|t+5t+1|10，
∵t+5t+1≥25+1或t+5t+1≤−25+1，则|t+5t+1|≥25−1，
∴|PQ|≥102−1010，即|PQ|min=102−1010，此时t=−5,则P(−655,−855).
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