专题12立体几何解答题-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科）

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新课标文科卷）

专题12立体几何解答题 

1．【2022年全国甲卷文科19】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

(1)证明：平面；

(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

2．【2022年全国乙卷文科18】如图，四面体中，，E为AC的中点．

(1)证明：平面平面ACD；

(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

3．【2021年全国甲卷文科19】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.

（1）求三棱锥的体积；

（2）已知D为棱上的点，证明：.

4．【2021年全国乙卷文科18】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

5．【2020年全国1卷文科19】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.

6．【2020年全国2卷文科20】如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．

7．【2020年全国3卷文科19】如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：

（1）当时，；

（2）点在平面内．

8．【2019年新课标3文科19】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的四边形ACGD的面积．

9．【2019年新课标2文科17】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．

10．【2019年新课标1文科19】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

11．【2018年新课标1文科18】如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQDA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．

12．【2018年新课标2文科19】如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．

13．【2018年新课标3文科19】如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

14．【2017年新课标1文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．

15．【2017年新课标2文科18】如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BCAD，∠BAD＝∠ABC＝90°．

（1）证明：直线BC∥平面PAD；

（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

16．【2017年新课标3文科19】如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

17．【2016年新课标1文科18】如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．

（Ⅰ）证明：G是AB的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

18．【2016年新课标2文科19】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；

（Ⅱ）若AB＝5，AC＝6，AE，OD′＝2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．

19．【2016年新课标3文科19】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；

（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．

20．【2015年新课标1文科18】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

21．【2015年新课标2文科19】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）

（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

22．【2014年新课标1文科19】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．

（1）证明：B1C⊥AB；

（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．

23．【2014年新课标2文科18】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设AP＝1，AD，三棱锥P﹣ABD的体积V，求A到平面PBC的距离．

24．【2013年新课标1文科19】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°

（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB＝CB＝2，A1C，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．

25．【2013年新课标2文科18】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点

（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；

（Ⅱ）AA1＝AC＝CB＝2，AB，求三棱锥C﹣A1DE的体积．

1．如图：四棱锥中,

(1)证明：⊥平面；

(2)求点到平面的距离.

2．如图，在圆柱中，四边形ABCD是其轴截面，EF为的直径，且EF⊥CD，AB=2，．

(1)求证：BE=BF；

(2)若直线AE与平面DEF所成角为，求三棱锥的体积．

3．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．

(1)证明：平面；

(2)若，求点到平面的距离．

4．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．

(1)求证：平面平面PAD；

(2)当F为PC的中点，且时，求点P到平面AEF的距离．

5．如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面圆的一条直径，且点是弧的中点，点是的中点，，．

(1)求圆锥的表面积；

(2)求证：平面平面．

6．如图，在四面体ABCD中，，E为BD的中点，F为AC上一点．

(1)求证：平面平面BDF；

(2)若，，求点B到平面ACD的距离．

7．如图，在三棱锥中，D，E分别为的中点，且平面.

(1)证明：；

(2)若，求的周长.

8．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．

(1)求证：；

(2)求三棱锥的体积．

9．如图，在三棱锥P－ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AC＝BC＝PA＝2，M是PB的中点，求点M到平面PAC的距离．

10．如图，在直三棱柱中，E，F分别为棱，BC的中点，且.

(1)求证：；

(2)若，求点到平面AEF的距离.

11．如图，四棱锥中，平面 .M是CD中点，N是PB上一点.

(1)若求三棱锥的体积；

(2)是否存在点N,使得 平面,若存在求PN的长；若不存在，请说明理由.

12．如图，四棱锥中，，底面ABCD是正方形．且平面平面ABCD，．

(1)若，，F为AB的中点，N为BC的中点，证明四边形MENF为梯形；

(2)试判断在线段PC是否存在一点E，使得三棱锥的体积为？若存在求出的值．若不存在说明理由．

13．已知空间几何体中，与均为等边三角形，平面平面平面．

(1)求证：；

(2)若点E在平面上的射影落在的平分线上，求点A到平面的距离．

14．如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱，，的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)若点在底面ABCD的投影是四边形ABCD的中心，，求三棱锥的体积.

15．如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，点是的中点.

(1)求证：；

(2)求点到平面的距离.

16．如图所示，在直三棱柱中，

(1)当P为的中点时，求证：平面；

(2)当时，求三棱锥的体积.

17．如图，在四棱锥的三视图中，俯视图为边长为1的正方形，正视图与侧视图均为直角边长等于1的等腰直角三角形，M是SD的中点，交SC于点N．

(1)求证：；

(2)求的面积．

18．如图所示，四边形为菱形，，，将沿折起（折起后到的位置），设，点在线段上.

(1)证明：平面平面；

(2)当 平面时，求三棱锥的体积.

19．如图，在平行四边形中，，，，，分别为线段，上的点，且，，将沿折起至，连接，.

(1)点为上一点，且，求证： 平面；

(2)当三棱锥的体积达到最大时，求点到平面的距离.

20．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA＝PD＝DC＝CB＝AB，E是BP的中点．

(1)求证：EC∥平面APD；

(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值；