2023年高考数学(理数)一轮复习课时52《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时52

《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》达标练习

一 、选择题

1.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有(　　)

A.18个        B.15个       C.12个         D.9个

【答案解析】答案为：B

解析：依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共计3＋6＋3＋3＝15(个).故选B.

2.在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止.若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　)

A.6种        B.12种        C.18种        D.20种

【答案解析】答案为：D

解析：分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C=6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C=12种情形.所有可能出现的情形共有2＋6＋12=20(种).

3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目.如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为(　　)

A.42          B.30         C.20           D.12

【答案解析】答案为：A

解析：将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，

插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种).故选A.

4.甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名(没有重名次).已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5名同学的名次排列情况可能有(　　)

A.27种          B.48种      C.54种          D.72种

【答案解析】答案为：C.

解析：分五步完成：第一步，决出第1名的情况有3种；第二步，决出第5名的情况有3种；第三步，决出第2名的情况有3种；第四步，决出第3名的情况有2种；第五步，决出第4名的情况有1种.因此，根据分步乘法计数原理可知，5名同学的名次排列情况可能有3×3×3×2×1=54(种).

5.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有(　　)

A.18个        B.15个        C.12个        D.9个

【答案解析】答案为：B

解析：由题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共计3＋6＋3＋3=15(个).

6.已知集合A={(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B={(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(  　)

A.77        B.49         C.45          D.30

【答案解析】答案为：C；

解析：A={(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}={(x，y)|x=±1，y=0；或x=0，y=±1；或x=0，y=0}，

B={(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={(x，y)|x=－2，－1,0,1,2；y=－2，－1,0,1,2}，A⊕B表示点集.由x1=－1,0,1，x2=－2，－1,0,1,2，得x1＋x2=－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能.同理，由y1=－1,0,1，y2=－2，－1,0,1,2，得y1＋y2=－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能.当x1＋x2=－3或3时，y1＋y2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点，当x1＋x2=－2，－1,0,1,2时，y1＋y2可以为－3，－2，－1，0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点，故A⊕B共有2×5＋5×7=45个元素.

7.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是(　　)

A.30         B.42       C.36         D.35

【答案解析】答案为：C；

解析：因为a＋bi为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6=36个虚数.

8.用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是(　 　)

A.18          B.16        C.12          D.9

【答案解析】答案为：D.

解析：根据题意，分3步进行分析：

①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况，

②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况，

③在最后2个数位安排2个1，有1种情况，则可组成3×3=9个不同四位数，故选D.

9.三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　B　)

A.4种       B.6种       C.10种         D.16种

【答案解析】答案为：B；

解析：分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，

同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式.

由分类加法计数原理可知，共有3＋3=6(种)传递方法.

10.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是(　 　)

A.30         B.42         C.36        D.35

【答案解析】答案为：C；

解析：因为a＋bi为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6=36个虚数.

11.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　 　)

A.144个          B.120个      C.96个          D.72个

【答案解析】答案为：B.

解析：当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数.

故符合条件的偶数共有2A＋CA=120(个).

12.集合P={x,1}，Q={y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　)

A.9        B.14        C.15        D.21

【答案解析】答案为：B

解析：当x=2时，x≠y，点的个数为1×7=7(个).

当x≠2时，由P⊆Q，∴x=y.∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.

因此满足条件的点共有7＋7=14(个).

二 、填空题

13.已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b=25，

则符合条件的三角形共有       个.

【答案解析】答案为：325.

解析：根据三边构成三角形的条件可知，c<25＋a.

第一类：当a=1，b=25时，c可取25，共1个值；

第二类：当a=2，b=25时，c可取25,26，共2个值；

……

当a=25，b=25时，c可取25,26，…，49，共25个值；

所以三角形的个数为1＋2＋…＋25=325.

14.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁 4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有      种(用数字作答).

【答案解析】答案为：8；

解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：

第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2=4种方法；

第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；

第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；

第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.

根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1=8种选派方法.

15.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2＋bx＋c的系数，则可组成18个不同的二次函数，其中偶函数有     个(用数字作答).

【答案解析】答案为：6；

解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2=18(个)二次函数.若二次函数为偶函数，则b=0，同上可知共有3×2=6(个)偶函数.

16.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有     种行车路线.

【答案解析】答案为：12.

解析：由分步乘法计数原理知4×3=12(种).