2022年上海市浦东新区高考二模数学试题（含答案）

浦东新区2021学年度第二学期期中教学质量检测

高三数学试卷          

考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；

2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 .

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．

1.已知集合，，则        .

2..复数z满足（i为虚数单位），则________.

3.若函数的反函数图像经过点，则

4.直线（为参数,）的斜率为________.

5.首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和为______.

6.的二项展开式中的常数项为_______.

7.已知x、y满足，则的最小值为        .

8.甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为________.

9.如果一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥母线与底面所成角的大小为       . （用反三角函数值表示）

10.已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为_________．

11.若各项均为正数的有穷数列满足，（，，），2022，则满足不等式的正整数的最大值为________.

12.若函数的最大值为2，则由满足条件的实数的值组成的集合是__________．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13.“”是“”的（    ） 

A.充分不必要条件             B.必要不充分条件       

C.充要条件                   D.既不充分也不必要条件

14.甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：

甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（   ）

A.甲平均产量高，甲产量稳定     B.甲平均产量高，乙产量稳定

C.乙平均产量高，甲产量稳定     D.乙平均产量高，乙产量稳定

15.将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，设为以上两个函数图像不共线的三个交点，则的面积不可能为（    ）

 A.     B.     C.     D.

16.已知，，，实数满足，

设，，现有如下两个结论：

①对于任意的实数，存在实数，使得；

②存在实数，对于任意的，都有；则（    ）

A.①②均正确            B.①②均不正确

C.①正确，②不正确    D.①不正确，②正确

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，直三棱柱中，，，点是线段的中点.

（1）求三棱柱的体积；

（2）已知为侧棱的中点，求点到平面的距离.

解：

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数

（1）若函数为偶函数，求实数的值；

（2）当时，在中（角、、所对的边分别为、、），若,，且的面积为，求的值.

解：

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．

（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？

（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？

解：

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知分别为椭圆：的左、右焦点， 过的直线交椭圆于、两点.

（1）当直线垂直于轴时，求弦长；

（2）当时，求直线的方程；

（3）记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.

解:

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知数列. 若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”.

(1) 是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由；

(2) 已知2022项的数列中，（）. 求使得为型数列的实数的取值范围；

(3) 已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列. 证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列.

解：

浦东数学答案

22.06         

1.      2..      3.4      4.-1      5.      6. -160    7.       8. 0.98   9.       10.       11.109.        12.

13. A   14.B   15.D   16.C

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，直三棱柱中，，，点是线段的中点.

（1）求三棱柱的体积；

（2）已知为侧棱的中点，求点到平面的距离.

解：（1）； ……………6分

（面积求对给3分）

（2）（法一）设点到平面的距离为,

由题知平面，即到平面的距离为2，

因为点是线段的中点，

所以到平面的距离为1.……………8分

在中，，……………9分

在中，，……………10分

，……………11分

又=，……………12分

又由，.……………14分

（法二）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为轴建立空间直角坐标系，

由已知得B（2，0，0），P（2，0，1），D（1，1，2），……………9分

则,,

设平面的一个法向量是，由得，……………11分

令，……………12分

设点到平面的距离为，.   ……………14分

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数

（1）若函数为偶函数，求实数的值；

（2）当时，在中（角、、所对的边分别为、、），若,，且的面积为，求的值.

解：（1）（法一：定义法），，       ……………………1分

任取                           ……………………3分

                                       ……………………5分

所以，函数为偶函数时.                             ……………………6分

（法二：特值法，再验证）由函数为偶函数知,（可取不同特殊值）

得,t=0                                               ……………………2分

又当时，,，函数为偶函数，   ………………6分

（法三:观察法，需举反例），，

时，函数为偶函数，                  ……………………2分

任选，则有   …………………4分

当时，举反例，如，      ……………………5分

此时为非奇非偶函数，所以，函数为偶函数时；    ……………………6分

（2），                   …………………8分

则有（说明）                …………………10分

由题意，                          …………………12分

在中，，

则.                                                   …………………14分

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．

（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？

（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？

解：

（1）解1：设服用1粒，经过小时能有效抗病毒，

即血液含药量须不低于4微克，可得，           ……3分

解得，                                       ……5分

所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．              ……6分

（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；

若，药物浓度，                        ……7分

解得，                                       ……8分

若，药物浓度，         ……9分

解得，所以；                ……10分

若，药物浓度，                ……11分

解得，所以；                          ……12分

综上，                                      ……13分

所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．        ……14分

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知分别为椭圆：的左、右焦点， 过的直线交椭圆于、两点.

（1）当直线垂直于轴时，求弦长；

（2）当时，求直线的方程；

（3）记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.

解:（1）由题知,将代入椭圆方程得,......4分

（2）由（1）知当直线的斜率不存在时，此时，不符合题意，舍去............................................................5分

直线的斜率存在，设直线的方程为：

联立得,设,则,.........................................................7分

由,解得,..............9分

直线的方程为............................................10分

（3）①当直线的斜率不存在时，

直线AT的方程为，C点坐标为，

直线BT的方程为，D点坐标为，以CD为直径的圆方程为，

由椭圆的对称性知若以CD为直径的圆恒过定点则定点在轴上，令，得

即圆过点.......................................................12分

②当直线的斜率存在时，同（2）联立，直线AT的方程为，

C点坐标为，同理D点坐标为，

（法一）以CD为直径的圆的方程为，

令，得，

由，........................14分

得，解得，即圆过点.........................15分

综上可得，以CD为直径的圆恒过定点...............................................16分

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知数列. 若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”.

(1) 是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由；

(2) 已知2022项的数列中，（）. 求使得为型数列的实数的取值范围；

(3) 已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列. 证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列.

解：(1) 是. ....1分

如：取，则为递减数列. （时均可） ....3分

(2) 当（）时，，解得.  ....3分

同理，当（）时，解得.

而此时确为型数列，故为所求. ....3分

(3) 首先证明：对任意，①存在，使得；②存在，使得.

用反证法证明①，②可同理得到.  ....1分

若存在，使得当时，均有，则由型数列定义，.  ....1分

设. 由题意，. 

当时，. 而当时，，故. 因此，也是型数列，与的唯一性矛盾. 证毕.  ....2分

根据①、②可知，存在，使得，存在，使得. 由此，若，则存在，使得，又存在，使得. 由①的证明知，如此递归选择的使得递增且递减，即为所求.  ....4分