2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷

这是一份2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷，共20页。

2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有2题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分。
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝　 　．
2．（4分）已知1+i是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根（i为虚数单位），则2a+b＝　 　．
3．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则xy＝　 　．
4．（4分）已知球的主视图的面积为，则该球的体积为　 　．
5．（4分）若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为　 　．
6．（4分）已知实数x、y满足条件，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为　 　．
7．（5分）方程（log3x）2+log93x＝2的解集为　 　．
8．（5分）某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
高一
6
6.5
7
7.5
8



高二
6
7
8
9
10
11
12

高三
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为　 　．
9．（5分）已知A（1，0）、B（0，﹣1），若曲线C：y＝上存在两个不同的点P满足条件•＝t，则t的取值范围为　 　．

10．（5分）将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的y＝g（x）图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个零点，则b的最小值为　 　．
11．（5分）已知a、b、m、n均为正实数，且满足2021a+2020b﹣ab＝0，m+n＝8（），则（m+）•（n+）的取值范围为　 　．
12．（5分）已知a、b、c为正整数，方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1，x2，且|x1|＜1，|x2|＜1，则a+b+c的最小值为　 　．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．（5分）已知实数a≠0，则“a＜1”是“＞1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．（5分）以圆x2+y2+4x+3＝0的圆心为焦点的抛物线标准方程为（　　）
A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝﹣8x D．y2＝8x
15．（5分）已知函数f（x）（x∈D），若对任意的x∈D，都存在t∈D，使f（t）＝﹣f（x）成立，称f（x）是“拟奇函数”，下列函数是“拟奇函数”的个数是（　　）
①f（x）＝x2；②f（x）＝lnx；③f（x）＝x+；④f（x）＝cosx．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝m，且对任意的n∈N*都有an+an+1＝2n+1，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（　　）
①存在实数m，使得{an}为等差数列；
②存在实数m，使得{an}为等比数列；
③若存在k∈N*使得Sk＝Sk+1＝55，则实数m唯一．
A．① B．①② C．①③ D．①②③
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（14分）如图，已知圆锥SO底面圆的半径r＝1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为．
（1）求圆锥SO的侧面积；
（2）若E为母线SA的中点，求二面角E﹣CD﹣B的大小（结果用反三角函数值表示）．

18．（14分）已知函数f（x）＝sinx，x∈R．
（1）设g（x）＝f（2x）+2f2（x+），求函数g（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．若f（A）＝，b＝1，△ABC的面积为，求sinC的值．
19．（14分）在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x吨需另外投入可变成本h（x）万元，已知h（x）＝．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为y万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．
（1）求a的值；
（2）求年利润y的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．
20．（16分）已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点A（0，2）的直线l交椭圆C于不同的两点P、Q．
（1）若直线l经过F2，求△F1PQ的周长；
（2）若以线段PQ为直径的圆过点F2，求直线l的方程；
（3）若＝λ，求实数λ的取值范围．
21．（18分）已知无穷实数列{an}，n∈N*，若存在M＞0，使得对任意n∈N*，|an|≤M恒成立，则称{an}为有界数列；记bi＝|ai+1﹣ai|，（i＝1，2，3，…，n﹣1），若存在T＞0，使得对任意n≥2，n∈N*，b1+b2+b3+…+bn﹣1≤T恒成立，则称{an}为有界变差数列．
（1）已知无穷数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，判断{an}是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；
（2）已知首项为c1＝1，公比为实数q的等比数列{cn}为有界变差数列，求q的取值范围；
（3）已知两个单调递增的无穷数列{dn}和{en}都为有界数列，记fn＝dn•en，n∈N*，证明：数列{fn}为有界变差数列．

2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有2题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分。
1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝　{﹣1，0，1}　．
【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故答案为：{﹣1，0，1}．
【点评】本题考查了集合的列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（4分）已知1+i是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根（i为虚数单位），则2a+b＝　﹣2　．
【分析】利用实系数一元二次方程的两个虚数根互为共轭复数，结合韦达定理求出a和b，即可得到答案．
【解答】解：因为1+i是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根，
所以1﹣i也是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根，
故，解得a＝﹣2，b＝2，
所以2a+b＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了实系数一元二次方程的两个虚数根互为共轭复数的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
3．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则xy＝　2　．
【分析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，即可得到xy的值．
【解答】解：二元一次方程组的增广矩阵为，
则二元一次方程组为：，解得，
则xy＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题
4．（4分）已知球的主视图的面积为，则该球的体积为　　．
【分析】由圆面积得到半径，再由体积公式得体积．
【解答】解：πR2＝，R＝，V＝πR3＝．
故答案为：．
【点评】本题考查球的体积公式，属于简单题．
5．（4分）若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为　20　．
【分析】利用二项式的系数和列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项．
【解答】解：展开式的二项式系数和为2n
∴2n＝64解得n＝6
∴展开式的通项为Tr+1＝C6rx6﹣2r
令6﹣2r＝0得r＝3
故展开式的常数项为C63＝20
故答案为20
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；本题考查二项式系数的性质．
6．（4分）已知实数x、y满足条件，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为　2　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，A（1，0），
由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
7．（5分）方程（log3x）2+log93x＝2的解集为　　．
【分析】根据对数的换底公式及对数的运算性质可将原方程变成，从而可解出x的值，然后即可得出原方程的解集．
【解答】解：将原方程变成，解得log3x＝1或，
∴x＝3或，
∴原方程的解集为．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
8．（5分）某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
高一
6
6.5
7
7.5
8



高二
6
7
8
9
10
11
12

高三
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为　140　．
【分析】计算样本数据中对应的数据，由此估计总体中的数据．
【解答】解：样本数据中该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为20﹣6＝14（人），
估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为200×＝140（人）．
故答案为：140．
【点评】本题考查了利用样本数据估计总体数字特征的应用问题，是基础题．
9．（5分）已知A（1，0）、B（0，﹣1），若曲线C：y＝上存在两个不同的点P满足条件•＝t，则t的取值范围为　[2，+1）　．

【分析】化简向量的数量积，利用向量在上的投影值，判断求解即可．
【解答】解：由题意，可知t＝•＝||||cos∠PBA，当||cos∠PBA，是向量在上的投影，曲线C：y＝上存在两个不同的点P满足条件•＝t，如图中的红色直线与半个圆有两个交点，红色直线的斜率为﹣1，直线方程设为：y＝﹣x+b，直线与圆x2+y2＝1（y≥0）有2个交点，可知b≥1，，解得＜b，
此时t＝•∈[，），即t＝•∈[2，+1）．
故答案为：[2，+1）．

【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是难题．
10．（5分）将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的y＝g（x）图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个零点，则b的最小值为　　．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得b的值．
【解答】解：将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，
得到函数的y＝g（x）＝2sin（2x+）﹣1图象．
若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个零点，
即方程sin（2x+）＝在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个解．
则当b最小时，满足2b+＝+2020π，求得b＝，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11．（5分）已知a、b、m、n均为正实数，且满足2021a+2020b﹣ab＝0，m+n＝8（），则（m+）•（n+）的取值范围为　[2﹣2，+∞）　．
【分析】化简得到（m+）•（n+）＝mn+﹣2，由2021a+2020b﹣ab＝0，得＝1，进而得到m+n＝8，代入即可求解．
【解答】解：（m+）•（n+）＝mn+＝mn+
＝mn+＝mn+﹣2，
因为2021a+2020b﹣ab＝0，
所以＝1，∴m+n＝8（）＝8，
则（m+）（n+）
＝mn+﹣2，
设t＝mn＝m（8﹣m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，
∵0＜m＜8，∴t∈（0，16），
∴（m+）（n+）＝mn+﹣2＝t﹣2≥2﹣2，
当且仅当t＝，即t＝时取等号，
∴（m+）（n+）≥2﹣2，
∴（m+）（n+）的取值范围为[2﹣2，+∞）．
故答案为：[2﹣2，+∞）．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”，属于中档题．
12．（5分）已知a、b、c为正整数，方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1，x2，且|x1|＜1，|x2|＜1，则a+b+c的最小值为　9　．
【分析】依题意知，从而可得x1，x2∈（﹣1，0），则有，结合a，b，c为正整数可求a+b+c得最小值
【解答】解：依题意，可知，
从而可知x1，x2∈（﹣1，0），
所以有，
故，
又a，b，c为正整数，取c＝1，则a+1＞b⇒a≥b，
所以a2≥b2＞≥4ac＝4a⇒a≥4，
所以b2≥4ac≥16，
又b＜4+1＝5，所以b＝4，
因此a+b+c有最小值为9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的分布问题的求解，主要应用了方程的根与系数的关系及，还考查了一定的运算推理的能力．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．（5分）已知实数a≠0，则“a＜1”是“＞1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：实数a≠0，则“a＜1”，“＞1”不一定成立，
如a＜0，＜0，所以充分性不成立；
＞1时，﹣1＞0，化为＜0，解得0＜a＜1，
所以a＜1，必要性成立；
是必要非充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
14．（5分）以圆x2+y2+4x+3＝0的圆心为焦点的抛物线标准方程为（　　）
A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝﹣8x D．y2＝8x
【分析】求出圆的圆心坐标，然后求解抛物线方程．
【解答】解：x2+y2+4x+3＝0的圆心（﹣2，0），
圆心为焦点的抛物线标准方程为y2＝﹣8x．
故选：C．
【点评】本题考查圆的圆心的求法，抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基础题．
15．（5分）已知函数f（x）（x∈D），若对任意的x∈D，都存在t∈D，使f（t）＝﹣f（x）成立，称f（x）是“拟奇函数”，下列函数是“拟奇函数”的个数是（　　）
①f（x）＝x2；②f（x）＝lnx；③f（x）＝x+；④f（x）＝cosx．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意，依次分析4个函数是否为“拟奇函数”，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析4个函数，
①f（x）＝x2，有f（x）≥0，一定不满足f（t）＝﹣f（x），不是“拟奇函数”；
②f（x）＝lnx，设D＝（0，+∞），若对任意的x∈D，都存在t＝∈D，满足f（t）＝﹣f（x），则f（x）＝lnx是“拟奇函数”；
③f（x）＝x+，定义域为{x|x≠0}，设其定义域为D，若对任意的x∈D，都存在t＝﹣x∈D，满足f（t）＝﹣f（x），则f（x）＝x+是“拟奇函数”；
④f（x）＝cosx，设D＝（0，π），若对任意的x∈D，都存在t＝π﹣x∈D，满足f（t）＝﹣f（x），在f（x）＝cosx是“拟奇函数”；
故选：C．
【点评】本题考查学生对函数性质的理解，涉及函数的值域，属于基础题．
16．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝m，且对任意的n∈N*都有an+an+1＝2n+1，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（　　）
①存在实数m，使得{an}为等差数列；
②存在实数m，使得{an}为等比数列；
③若存在k∈N*使得Sk＝Sk+1＝55，则实数m唯一．
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【分析】先求得数列，由此容易判断①②，对于③，当n为偶数时，，当n为奇数时，，且依题意，Sk＝55，且ak+1＝0，由此可分k为偶数，奇数讨论，进而得出结论．
【解答】解：∵an+an+1＝2n+1，
∴，则an+2﹣an＝2，
由a1+a2＝3，a1＝m得，a2＝3﹣m，故，
①当m＝1时，{an}为等差数列，①对；
②{an}不可能为等比数列，②错；
③当n为偶数时，，当n为奇数时，，
∵Sk＝Sk+1＝55，
∴Sk＝55，且ak+1＝0，
（i）当k为偶数时，，解得；
（ii）当k为奇数时，，解得，
∴m不唯一，③错．
故选：A．
【点评】本题考查数列的递推关系，根据递推关系求出数列{an}的通项公式是解题的关键，考查逻辑推理及运算求解能力，属于中档题．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．（14分）如图，已知圆锥SO底面圆的半径r＝1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为．
（1）求圆锥SO的侧面积；
（2）若E为母线SA的中点，求二面角E﹣CD﹣B的大小（结果用反三角函数值表示）．

【分析】（1）推导出SA＝2，由此能求出圆锥SO的侧面积．
（2）推导出CD⊥SO，CD⊥平面SOA，OE⊥CD，再由AB⊥CD，得∠EOB是二面角E﹣CD﹣B的平面角，由此能求出结果．
【解答】解：（1）∵圆锥SO底面圆的半径r＝1，直径AB与直径CD垂直
母线SA与底面所成的角为．
∴SA＝2，
∴圆锥SO的侧面积S侧＝πrl＝2π．
（2）∵E为母线SA的中点，EA＝1，
SO垂直圆O所在的平面，CD⊂圆O所在的平面，
∴CD⊥SO，
∵CD⊥AB，SO∩AB＝O，SO、AB⊂平面SOA，
∴CD⊥平面SOA，
∵OE⊂平面SOA，∴OE⊥CD，
∵AB⊥CD，∴∠EOB是二面角E﹣CD﹣B的平面角，
在△BOE中，OB＝OE＝1，BE＝，
∴cos∠EOB＝﹣，
∴二面角E﹣CD﹣B的大小为．

【点评】本题考查圆锥的侧面积、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
18．（14分）已知函数f（x）＝sinx，x∈R．
（1）设g（x）＝f（2x）+2f2（x+），求函数g（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．若f（A）＝，b＝1，△ABC的面积为，求sinC的值．
【分析】（1）由已知结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；
（2）由已知f（A）＝sinA＝先求出A，然后结合正弦定理求出b，再由余弦定理可求．
【解答】解：（1）g（x）＝f（2x）+2f2（x+）＝sin2x+2sin2（x+），
＝sin2x+2cos2x＝sin2x+cos2x﹣1＝2sin（2x+）+1，
因为﹣1≤sin（2x+）≤1，
所以﹣1≤f（x）≤3，
故函数的值域[﹣1，3]；
（2）f（A）＝sinA＝，
所以A＝或A＝，
因为S△ABC＝＝＝，
所以c＝4，
当A＝时，a2＝b2+c2﹣bc＝16+1﹣4＝13，
所以a＝，
所以sinC＝＝；
当A＝时，a2＝b2+c2+bc＝16+1+4＝21，
故a＝，
所以sinC＝＝，
故sinC＝或sinC＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角及二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
19．（14分）在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x吨需另外投入可变成本h（x）万元，已知h（x）＝．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为y万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．
（1）求a的值；
（2）求年利润y的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．
【分析】（1）直接由基地产出该中药材40吨时的利润列式求解a值；
（2）分段写出年利润函数，然后分别利用函数的单调性与基本不等式求最值，取最大值中的最大值得答案．
【解答】解：（1）当基地产出该中药材40吨时，年成本为1600a+49×40+250万元，
利润为50×40﹣（1600a+49×40+250）＝190，解得a＝﹣；
（2）当x∈（0，50]时，y＝50x﹣（）＝，
∵对称轴方程为x＝﹣2＜0，则函数在（0，50]上为增函数，
∴当x＝50时，ymax＝425万元；
当x∈（50，100]时，y＝50x﹣（51x+﹣860+250）＝610﹣（x+）
＝610.5﹣（）≤610.5﹣2≈445.4．
当且仅当，即x＝≈82.1时取等号．
即当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.5万元．
【点评】本题考查函数模型的性质及应用，训练了利用函数的单调性与基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
20．（16分）已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点A（0，2）的直线l交椭圆C于不同的两点P、Q．
（1）若直线l经过F2，求△F1PQ的周长；
（2）若以线段PQ为直径的圆过点F2，求直线l的方程；
（3）若＝λ，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）利用椭圆的定义求解即可；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+2，联立方程组，利用韦达定理表示出＝0，求出k的值即可得到方程；
（3）当直线l的斜率不存在时，求出λ的值，当当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+2，求出，然后利用韦达定理求出λ的范围即可．
【解答】解：（1）因为椭圆C：+y2＝1，
所以椭圆C的长半轴长为，
由椭圆的定义可得，，
所以△F1PQ的周长为；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，此时Q（0，1），P（0，﹣1），
又F2（1，0），所以，
所以符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+2，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立直线与，则有（1+2k2）x2+8kx+6＝0，
所以，
Δ＝64k2﹣4（1+2k2）×6＞0，解得，
因为，
＝（x1﹣1）（x2﹣1）+（kx1+2）（kx2+2）＝0，
所以（k2+1）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5＝0，
故，解得，
故直线l的方程为11x+8y﹣16＝0，
综上所述，直线l的方程为x＝0或11x+8y﹣16＝0；
（3）①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，
若Q（0，1），P（0，﹣1），则，所以，此时；
若Q（0，﹣1），P（0，1），则，所以，此时λ＝3；
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+2，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
又A（0，2），所以，
因为＝λ，所以，故，
由（1）可知，，
所以，
则，即，
因为，
故3（1+2k2）＞12，，
所以，
因为，
由，可得，即，
所以，
综上所述，实数λ的取值范围为．
【点评】本题考查了椭圆定义的应用，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．
21．（18分）已知无穷实数列{an}，n∈N*，若存在M＞0，使得对任意n∈N*，|an|≤M恒成立，则称{an}为有界数列；记bi＝|ai+1﹣ai|，（i＝1，2，3，…，n﹣1），若存在T＞0，使得对任意n≥2，n∈N*，b1+b2+b3+…+bn﹣1≤T恒成立，则称{an}为有界变差数列．
（1）已知无穷数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，判断{an}是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；
（2）已知首项为c1＝1，公比为实数q的等比数列{cn}为有界变差数列，求q的取值范围；
（3）已知两个单调递增的无穷数列{dn}和{en}都为有界数列，记fn＝dn•en，n∈N*，证明：数列{fn}为有界变差数列．
【分析】（1）根据有界数列和有界变差数列的定义，结合数列的性质即可得出结论；
（2）根据等比数列的性质，结合有界变差数列的定义，即可得到q的取值范围；
（3）结合定义，使用归纳法进行求解证明．
【解答】解：（1）∵，
∴若使数列{an}为有界数列，则需使M≥1，
由知，an＞an+1，
则bi＝|ai+1﹣ai|＝ai﹣ai+1，（i＝1，2，3，4……，n﹣1），
∴b1+b2+b3+……+bn﹣1＝a1﹣an＜a1＝1，
则T≥1即可，则数列{an}为有界变差数列．
（2），则bi＝|ai+1﹣ai|＝|qi﹣qi﹣1|＝|q﹣1|•|q|i﹣1，
当q＝1时，则bi＝0，显然满足题意．
当q＝﹣1时，则bi＝2，则b1+b2+b3+…+bn﹣1＝2（n﹣1），
若2（n﹣1）≤T，则n≤，舍去．
当q≠1时，则{bn}是首项为|q﹣1|，公比为|q|的等比数列，
则b1+b2+b3+…+bn﹣1＝，
若0＜|q|＜1时，，则符合题意．
若|q|＞1时，趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去．
综上可得，q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，1]．
（3）证明：因为{dn}和{en}为有界数列，
则存在M1＞0，使得对任意的n∈N*，|dn|≤M1恒成立，
则存在M2＞0，使得对任意的n∈N*，|en|≤M2恒成立，
bi＝|di+1ei+1﹣diei|
＝|di+1ei+1﹣diei+1+diei+1﹣diei|
＝|（di+1﹣di）ei+1+（ei+1﹣ei）di|
≤|（di+1﹣di）ei+1|+|（ei+1﹣ei）di|，
又因为{dn}和{en}为单调递增的有界数列，
bi＝|di+1ei+1﹣diei|≤|di+1﹣di|•|ei+1|+|ei+1﹣ei|•|di|≤M1（di+1﹣di）+M2（ei+1﹣ei），
则bi≤M2（di+1﹣di）+M1（ei+1﹣ei），
则b1+b2+b3+…+bn﹣1≤M2（dn﹣d1）+M1（en﹣e1）≤M2（|dn|+|d1|）+M1（|en|+|e1|）≤M2•2M1+M1•2M2＝4M1M2，
所以存在T≥4M1M2即可，则数列{fn}为有界变差数列．
【点评】本题考查数列的性质，重点考查学生逻辑推理能力，属于难题．
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