河南省漯河市郾城区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份河南省漯河市郾城区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下面是防控新冠知识的图片，图上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生B．打喷嚏捂口鼻
C．喷嚏后慎揉眼D．勤洗手勤通风
2．△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形
3．要用长度为3m，4m，xm的木棒做一个三角形，则x的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．一个多边形每一个外角都等于20°，则这个多边形的边数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
5．如图，B，C，D三点在一条直线，∠B＝56°，∠ACD＝120°，则∠A的度数为（ ）
A．56°B．64°C．60°D．76°
6．如图，∠ABD＝∠CBD，添加以下条件不能判定△ABD≌△CBD的是（ ）
A．∠BDA＝∠BDCB．AD＝CDC．AB＝CBD．∠A＝∠C
7．已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，则AB的长为（ ）
A．1B．3C．5D．7
8．卞师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们在∠AOB两边上分别取OM＝ON，前者使角尺两边相同刻度分别与M，N重合，角尺顶点为P；后者分别过M，N作OA，OB的垂线，交点为P，则射线OP平分∠AOB，均可由△OMP≌△ONP得知，其依据分别是（ ）
A．SSS；HLB．SAS；HLC．SSS；SASD．SAS；SSS
9．如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60°B．55°C．50°D．无法计算
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 ．
12．在三角板拼角活动中，小明将一副三角板按如图方式叠放，则拼出的∠α度数为 ．
13．如图，△ABC，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE＝8，AD＝5，则AB的值为 ．
14．如图，AD是等边△ABC底边上的中线，AC的垂直平分线交AC于点E，交AD于点F，若AD＝9，则DF长为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝7cm，BC＝3cm，CD为斜边AB上的高，点E从点B出发，沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，则点E的运动时间t＝ s时，CF＝AB．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝50°，∠BCE＝25°，求∠AOC和∠ADB的度数．
17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的顶点A1、B1、C1的坐标；
（3）求S△ABC．
18．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AD是EF的垂直平分线；
（2）若△ABC的面积是8cm2，AB＝5cm，AC＝3cm，求DE的长．
19．下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BE，CE
∵BA＝ ．
∴点B在线段AE的垂直平分线上（ ），（填推理的依据）
同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上．
∴BC垂直平分AE．（ ），（填推理的依据）
∴AD是△ABC的高．
20．已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
21．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 度．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
22．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN处在图1的位置时，填空：
①△ADC和△CEB的关系是 ；
②线段DE、AD和BE三者之间的大小关系是 ；
（2）当直线MN处在图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN处在图3的位置时，且BE＝3，AD＝1，直接写出DE的长．（不需要证明）
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题有四个选项，其中只有一个选项是正确的。
1．下面是防控新冠知识的图片，图上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生B．打喷嚏捂口鼻
C．喷嚏后慎揉眼D．勤洗手勤通风
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对几个常见图形进行判断．
解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
2．△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形
【分析】根据题意，设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，由三角形内角和定理即可求解．
解：∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180°，
解得：x＝15，
∴∠C＝5x＝75°，
∴△ABC是锐角三角形，
故选：A．
3．要用长度为3m，4m，xm的木棒做一个三角形，则x的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边应大于两边之差，而小于两边之和，从中进行选择符合条件的即可．
解：根据三角形的三边关系，得
4﹣3＜x＜3+7，即1＜x＜7．
观察选项，不能选用的第三根木棒长度为1m．
故选：A．
4．一个多边形每一个外角都等于20°，则这个多边形的边数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【分析】根据外角与外角和的关系，可求出边数．
解：因为多边形的外角和是360°，
又因为多边形的每个外角都是20°，
所以这个多边形的边数为：360÷20＝18．
故选：D．
5．如图，B，C，D三点在一条直线，∠B＝56°，∠ACD＝120°，则∠A的度数为（ ）
A．56°B．64°C．60°D．76°
【分析】直接利用三角形外角的性质解答即可．
解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝120°，∠B＝56°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣56°＝64°，
故选：B．
6．如图，∠ABD＝∠CBD，添加以下条件不能判定△ABD≌△CBD的是（ ）
A．∠BDA＝∠BDCB．AD＝CDC．AB＝CBD．∠A＝∠C
【分析】利用三角形全等的判定方法对各选项进行判断即可．
解：∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴当添加∠BDA＝∠BDC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△CBD，故A不符合题意；
当添加AD＝CD时，不能判断△ABD≌△CBD，故B符合题意；
当添加AB＝CB时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CBD，故C不符合题意；
当添加∠A＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△CBD，故D不符合题意；
故选：B．
7．已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，则AB的长为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【分析】利用ASA证明三角形ADE和CEF全等，进而得出AD＝CF＝5，即可求出AB的长．
解：∵FC∥AB，
∴∠ADF＝∠F．
∵∠AED＝∠CEF，DE＝EF，
∴△ADE≌△CEF（ASA）．
∴AD＝CF＝5．
又∵BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝5+2＝7，
故选：D．
8．卞师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们在∠AOB两边上分别取OM＝ON，前者使角尺两边相同刻度分别与M，N重合，角尺顶点为P；后者分别过M，N作OA，OB的垂线，交点为P，则射线OP平分∠AOB，均可由△OMP≌△ONP得知，其依据分别是（ ）
A．SSS；HLB．SAS；HLC．SSS；SASD．SAS；SSS
【分析】根据作图过程可得MO＝NO，MP＝NP，再利用SSS可判定△MPO≌△PNO，可得OP是∠AOB的平分线；根据题意得出Rt△MOP≌Rt△NOP（HL），进而得出射线OP为∠AOB的角平分线．
解：如图①：
在△MPO和△NPO中，
，
∴△MPO≌△PNO（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP；
如图②，在Rt△MOP和Rt△NOP中，
，
∴Rt△MOP≌Rt△NOP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
即射线OP为∠AOB的角平分线．
故选：A．
9．如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，
∴S△ABD＝S△ABC＝4，
∵E是AB的中点，
∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2，
故选：A．
10．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60°B．55°C．50°D．无法计算
【分析】利用“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而得到∠ABD＝∠2＝30°，然后根据三角形外角性质计算∠3的度数．
解：∵∠BAC＝∠DAE，
即∠1+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12．在三角板拼角活动中，小明将一副三角板按如图方式叠放，则拼出的∠α度数为 105° ．
【分析】根据三角形的外角性质计算即可．
解：由题意可得：∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，∠A＝90°，
∴∠DBA＝∠ABC﹣∠DBC＝45°﹣30°＝15°，
∴∠α＝∠A+∠DBA＝90°+15°＝105°．
故答案为：105°．
13．如图，△ABC，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE＝8，AD＝5，则AB的值为 13 ．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△DBE是等腰三角形，从而可得DB＝DE＝8，然后利用等量代换进行计算即可解答．
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE＝8，
∵AD＝5，
∴AB＝AD+DB＝5+8＝13，
故答案为：13．
14．如图，AD是等边△ABC底边上的中线，AC的垂直平分线交AC于点E，交AD于点F，若AD＝9，则DF长为 3 ．
【分析】连接CF，根据等边三角形的性质得出AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°，根据线段垂直平分线的性质得出AF＝CF，求出∠DCF，根据含30°角的直角三角形的性质求出CF＝2DF，即可得出3DF＝AD，代入求出即可．
解：连接CF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC底边上的中线，
∴BD＝DC，∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴AD⊥BC，
∵AC的垂直平分线交AC于点E，交AD于点F，
∴AF＝CF，
∴∠CAD＝∠ACF＝30°，
∴∠FCD＝60°﹣30°＝30°．
∵∠ADC＝90°，
∴CF＝2DF＝AF，
即3DF＝AD＝9，
解得，DF＝3，
故答案为：3．
15．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝7cm，BC＝3cm，CD为斜边AB上的高，点E从点B出发，沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，则点E的运动时间t＝ 2或5 s时，CF＝AB．
【分析】先证明△CEF≌△ACB（AAS），得出CE＝AC＝7cm，①当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝＝10cm，即可求出E移动了5s；②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝4cm，即可求出E移动了2s．
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠CBD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠A，
∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F，
∴∠CEF＝90°＝∠ACB，
在△CEF和△ACB中，
，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7cm，
①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：＝5（s）；
②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了：＝2（s）；
综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB；
故答案为：2或5．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝50°，∠BCE＝25°，求∠AOC和∠ADB的度数．
【分析】由角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD＝25°，再由CE是高，从而可求得∠B＝65°，从而可求∠ADB的度数，再由三角形的外角性质可求∠AOC的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，
∴∠CAD＝∠BAD＝25°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠BCE＝65°，∠AEC＝90°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝90°，
∠AOC＝∠BAD+∠AEC＝115°．
17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的顶点A1、B1、C1的坐标；
（3）求S△ABC．
【分析】（1）根据点的坐标的确定方法写出点A、B、C的坐标；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求解；
（3）利用面积的和差计算△ABC的面积．
解：（1）A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）；
（2）A1（1，﹣3），B1（﹣1，﹣2），C1（2，0）；
（3）S△ABC＝3×3﹣×2×3﹣×1×3﹣×2×1＝．
18．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AD是EF的垂直平分线；
（2）若△ABC的面积是8cm2，AB＝5cm，AC＝3cm，求DE的长．
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DF，再根据等角的余角相等可得∠EDO＝∠FDO，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得DO⊥EF，从而得到AD⊥EF；
（2）根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠EDO＝∠FDO，
在△DEF中，DE＝DF，∠EDO＝∠FDO，
∴DO⊥EF，
∴AD⊥EF．
（2）解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积是8cm2，AB＝5cm，AC＝3cm，
∴×5×DE+×3×DF＝8，
∴DE＝DF＝2（cm），
即DE的长是2cm．
19．下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BE，CE
∵BA＝ BE ．
∴点B在线段AE的垂直平分线上（ 与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ），（填推理的依据）
同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上．
∴BC垂直平分AE．（ 两点确定一条直线 ），（填推理的依据）
∴AD是△ABC的高．
【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到BA＝BE，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到点B、点C也在线段AE的垂直平分线上，从而得到BC垂直平分AE．
解：（1）如图，AD为所作；
（2）连接BE，CE，如图，
∵BA＝BE，
∴点B在线段AE的垂直平分线上（与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上．
∴BC垂直平分AE（两点确定一条直线），
∴AD是△ABC的高．
故答案为BE；与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
20．已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
21．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 50 度．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM＝BM，然后求出△MBC的周长＝AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA＝50°，
故答案为：50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，
∵AB＝8，△MBC的周长是14，
∴BC＝14﹣8＝6；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，
理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，
∴P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，
∴△PBC周长的最小值＝AC+BC＝8+6＝14．
22．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得：AB＝6cm，∠B＝60°，当t＝2时，计算BP和BQ的长，根据等边三角形的判定可得结论；
（2）若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，根据直角三角形含30度角的性质列方程可解答．
解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，
当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，
∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，
∴AB＝6cm，∠B＝60°，
∴BP＝4cm，
∴BP＝BQ，
∴△BPQ是等边三角形；
（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝BP，即t＝，
解得：t＝2；
②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ，
即6﹣t＝t，解得：t＝4，
答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．
23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN处在图1的位置时，填空：
①△ADC和△CEB的关系是 △ADC≌△CEB ；
②线段DE、AD和BE三者之间的大小关系是 DE＝AD+BE ；
（2）当直线MN处在图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN处在图3的位置时，且BE＝3，AD＝1，直接写出DE的长．（不需要证明）
【分析】（1）①根据同角的余角相等得到∠CAD＝∠BCE，利用AAS定理证明△ADC≌△CEB；
②根据全等三角形的性质得到CE＝AD，BE＝CD，结合图形得出结论；
（2）证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质得到CE＝AD，BE＝CD，结合图形证明结论；
（3）仿照（2）的作法分别求出CD、CE，计算即可．
【解答】（1）解：①∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
故答案为：△ADC≌△CEB；
②由①可知：△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，BE＝CD，
∴DE＝DC+CE＝AD+BE，
故答案为：DE＝AD+BE；
（2）证明：∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）解：由（2）可知：△ACD≌△CBE，
∴CD＝BE＝3，CE＝AD＝1，
∴DE＝CD﹣CE＝3﹣1＝2．
已知：△ABC
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：
（1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；
（2）作直线AE交BC边于点D．
所以线段AD就是所求作的高．
已知：△ABC
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：
（1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；
（2）作直线AE交BC边于点D．
所以线段AD就是所求作的高．