鲁科版 (2019)必修 第一册第2章 匀变速直线运动第2节 位移变化规律学案

位移变化规律

知识点一　匀变速直线运动的位移—时间关系

[情境导学]

如图所示为匀速直线运动的v­t图像，图像中的v­t图线与对应的时间轴所包围的矩形的(阴影部分)“面积”有什么意义？

提示：表示物体在0～t1时间内的位移。

[知识梳理]

1．匀速直线运动的位移

(1)位移公式：s＝vt。

(2)v­t图像：是一条与时间轴平行的直线。

(3)匀速直线运动的位移等于v­t图像中的图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积，如图所示。

2．匀变速直线运动的位移

(1)位移在v­t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v­t图像中的图线和时间轴包围的“面积”。如图所示，在0～t时间内的位移大小等于梯形的“面积”。

(2)位移公式：s＝v0t＋at2，式中v0表示初速度，s表示物体在时间t内运动的位移。

3．匀变速直线运动的位移—时间图像

(1)s­t图像

根据匀变速直线运动的位移公式s＝v0t＋at2，可画出位移—时间图像，如图所示，图线为通过原点的抛物线的一部分。

(2)位移—时间图像描述的是物体的位移与时间的关系，它并不表示物体运动的轨迹。因为匀变速直线运动的位移与时间的平方成正比，所以在s­t图像中图线不是直线。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)匀变速直线运动的位移与时间的平方成正比。(×)

(2)位移公式s＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动。(×)

(3)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。(×)

(4)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。(√)

2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2 m/s2，则2 s末速度和位移分别为(　　)

A．4 m/s　4 m　　　　　 B．2 m/s　4 m

C．4 m/s　2 m D．2 m/s　2 m

解析：选A　由匀变速直线运动规律s＝v0t＋at2和v＝v0＋at，得s2＝×2×22 m＝4 m，v＝2×2 m/s＝4 m/s，则A正确，B、C、D错误。

知识点二　匀变速直线运动的位移—速度关系

[情境导学]

某城市的交通部门规定，交通繁忙路段机动车辆的速度限制在25 km/h以内，并要求驾驶员必须保持至少5 m的车距。一旦发生交通事故，我们会看到交警测量有关距离(如图)，其中非常重要的是刹车距离。你知道测量刹车距离的目的吗？

提示：测量刹车距离，由公式v－v＝2as即可算出汽车刹车前的速度，从而判断汽车是否超速。

[知识梳理]

1．公式推导：已知匀变速直线运动的速度公式vt＝v0＋at①

匀变速直线运动的位移公式s＝v0t＋at2②

联立①②式消去t可得v－v＝2as。

2．位移—速度(s­v)关系式：v－v＝2as。

3．特点

已知量和未知量都不涉及时间。

[初试小题]

1．判断正误。

(1)公式v－v＝2as适用于任何直线运动。(×)

(2)物体的末速度越大，则位移越大。(×)

(3)对匀减速直线运动，公式v－v＝2as中的a必须取负值。(×)

(4)由公式v－v＝2as知，位移s的大小由v0、vt、a共同决定。(√)

2.某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s 增加到10 m/s时位移为s。则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是(　　)

A.s　　　　　　　　　　 B.s

C．2s D．3s

解析：选B　由公式v－v＝2as，得＝＝，所以B选项正确。

　　[问题探究]

在匀速直线运动中，物体运动速度不变，其位移s＝vt，可用其v­t图像与t轴所围矩形的面积表示位移。在匀变速直线运动中，物体运动速度是变化的。

(1)我们如何将变化的速度转化为不变的速度？用解决不变速度的方法来解决变化速度的问题。

(2)如何计算某段时间内匀变速直线运动的位移？ 

提示：(1)把匀变速直线运动的v­t图像分成无数小段(如图)，每一小段上速度的变化几乎为零，可看作匀速直线运动。

(2)由于每小段可看作匀速直线运动，这样就可以将v­t图像与t轴围成的面积看作物体在这段时间内运动的位移，然后将各段v­t图像与t轴所围面积相加，就可求出这段时间内匀变速直线运动的总位移。

[要点归纳]

1．公式中各个量的意义

2．适用条件：匀变速直线运动。

3．矢量性：公式s＝v0t＋at2为矢量式，其中的s、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。

一般选初速度v0的方向为正方向。

4．两种特殊形式

(1)当a＝0时，s＝v0t——匀速直线运动的位移公式。

(2)当v0＝0时，s＝at2——由静止开始的匀加速直线运动的位移公式。

[例题1]　“十一黄金周”我国实施高速公路免费通行，全国许多高速公路车流量明显增加，京沪、京港澳、广深等一些干线高速公路的热点路段出现了拥堵。一小汽车以v＝24 m/s 的速度行驶，由于前方堵车，刹车后做匀减速运动，在2 s末速度减为零，求这个过程中的位移大小和加速度的大小。

[解析]　由匀变速直线运动的速度公式vt＝v0＋at，可得a＝＝ m/s2＝－12 m/s2，位移大小s＝v0t＋at2＝24×2 m－×12×22 m＝24 m。

[答案]　24 m　12 m/s2

应用位移公式解题的一般步骤

(1)确定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)。

(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。

(3)根据位移—时间关系式或其变形式列式、求解。

(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。　　　　

[针对训练]

1．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是(　　)

A．6 m　　　　　　　　 B．8 m

C．4 m D．1.6 m

解析：选A　根据速度公式v1＝at，得a＝＝ m/s2＝4 m/s2。第1 s末的速度等于第2 s初的速度，所以物体在第2 s内的位移s2＝v1t＋at2＝4×1 m＋×4×12 m＝6 m，故A正确。

2．一辆汽车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为(　　)

A．1∶1 B．3∶4

C．3∶1 D．4∶3

解析：选B　汽车的刹车时间t0＝ s＝4 s，故刹车后2 s内及6 s内汽车的位移大小分别为s1＝v0t1＋at＝20×2 m＋×(－5)×22 m＝30 m，s2＝20×4 m＋×(－5)×42 m＝40 m，s1∶s2＝3∶4，B正确。

3．一辆以v0＝90 km/h的速度做匀速运动的汽车，司机发现前方的障碍物后立即刹车，刹车过程可看成匀减速运动，加速度大小为2.5 m/s2，从刹车开始计时，求：

(1)t＝4 s时的速度大小；

(2)汽车运动120 m所用的时间；

(3)前15 s内汽车的位移大小。

解析：(1)由题意得v0＝90 km/h＝25 m/s，由于汽车做匀减速运动，所以a＝－2.5 m/s2，

当t＝4 s时，

可得vt＝v0＋at＝15 m/s。

(2)设刹车时间为t0，则0＝v0＋at0

解得t0＝10 s

由s＝v0t＋at2，当s＝120 m时

解得t＝8 s或t＝12 s＞10 s(舍)。

(3)t0＝10 s＜15 s

故15 s时车已停下，前15 s内的位移为

s＝－＝125 m。

答案：(1)15 m/s　(2)8 s　(3)125 m

[问题探究]

如图所示，狙击步枪射击时，若把子弹在枪筒中的运动看作是匀加速直线运动，假设枪筒长s，子弹的加速度为a。

(1)若求子弹射出枪口时的速度有几种方法？

(2)采用哪种方法更简捷，为什么？

提示：(1)方法一：由s＝v0t＋at2求出时间t，再由vt＝v0＋at求出射出时的速度。

方法二：根据位移s与速度v的关系式v－v＝2as，可得vt＝。

(2)此问题中，并不知道时间t，时间只是一个中间量，可用一个不含时间的公式v－v＝2as直接解决。所以方法二更简捷。

[要点归纳]

对公式v－v＝2as的理解

[例题2]　2019年12月17日，我国首艘国产航母“山东舰”服役，中国海军迎来“双航母”时代。军事专家预测中国的下一艘国产航空母舰上将使用弹射系统。已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。问：

(1)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？

(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，则该舰身长至少应为多少？

[解析]　(1)根据公式v－v＝2as

得v0＝＝30 m/s。

(2)不装弹射系统时，v＝2aL

解得L＝＝250 m。

[答案]　(1)30 m/s　(2)250 m

[针对训练]

1．如图所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车加速行驶18 m时的速度为(　　)

A．8 m/s B．12 m/s

C．10 m/s D．14 m/s

解析：选C　由v－v＝2as和v0＝8 m/s、a＝1 m/s2、s＝18 m，得出vt＝10 m/s，故C正确。

2．在一次交通事故中，交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30 m，该车辆的刹车加速度是15 m/s2，该路段限速为60 km/h，则该车(　　)

A．超速　　　　　　　 B．不超速

C．是否超速无法判断 D．行驶速度刚好是60 km/h

解析：选A　该车辆的末速度为零，由v－v＝2as，可计算出初速度v0＝＝ m/s＝30 m/s＝108 km/h＞60 km/h，该车严重超速，选项A正确。

3．列车长为l，铁路桥长为2l，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，则车尾过桥尾时速度为(　　)

A．3v2－v1 B．3v2＋v1

C.  D.

解析：选C　由v－v＝2as得v－v＝2a·2l，v－v＝2a·3l，故v3＝ ，选项C正确，选项A、B、D错误。

在v­t图像中，图线与时间轴所围成的“面积”表示物体的位移。所以已知v­t图像求位移时采用“面积”法计算，可以快速解题。

[例题3]　某一物体做直线运动的v­t图像如图所示，根据图像求：

(1)物体距出发点的最远距离；

(2)前4 s内物体的位移；

(3)前4 s内物体通过的路程。

[思路点拨]

(1)t＝1 s时物体速度最大，t＝3 s时物体速度方向将发生改变，此时位移最大。

(2)利用v­t图像求位移一般采用“面积”法计算，即计算v­t图像中图线与时间轴所围成的面积。

[解析]　(1)物体距出发点的最远距离

sm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m。

(2)前4 s内的位移

s＝s1＋s2＝v1t1＋v2t2

＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m。

(3)前4 s内通过的路程

L＝s1＋|s2|＝v1t1＋

＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m。

[答案]　(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m

利用v­t图像的“面积”求位移的几点提醒

(1)v­t图像与t轴所围成“面积”的绝对值表示位移的大小。

(2)“面积”在t轴以上表示位移沿正方向，取正值；在t轴以下表示位移沿负方向，取负值。

(3)物体的总位移等于各部分位移(正、负“面积”)的代数和。

(4)物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。　　　　

[针对训练]

1．(多选)某物体运动的v­t图像如图所示，根据图像可知，该物体(　　)

A．在0到2 s末的时间内，加速度为1 m/s2

B．4 s末质点运动方向改变

C．在0到6 s末的时间内，位移为7.5 m

D．在0到6 s末的时间内，位移为6.5 m

解析：选AD　在0到2 s末的时间内，物体做匀加速直线运动，加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故A正确；4 s末质点速度方向未发生改变，B错误；0～5 s内物体的位移等于t轴上的梯形面积，s1＝ m＝7 m, 5～6 s内物体的位移等于t轴下的三角形面积，s2＝－m＝－0.5 m，故0～6 s内物体的位移s＝s1＋s2＝6.5 m，C错误，D正确。

2．(多选)我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验，从水面开始竖直下潜，最后返回水面，其v­t图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．0～4 min和6～10 min两时间段平均速度大小相等

B．全过程中的最大加速度为0.025 m/s2

C．3～4 min和6～8 min加速度方向相反

D．本次下潜的最大深度为360 m

解析：选AD　根据v­t图像与横轴围成的面积表示位移，则0～4 min内的位移大小s＝×(120＋240)×2.0 m＝360 m,6～10 min内位移大小 s′＝×3.0×240 m＝360 m，可知，0～4 min和6～10 min两时间段位移大小相等，所用时间相等，则平均速度大小相等，故A正确；第1 s内加速度最大，大小为a＝＝ m/s2≈0.033 m/s2，故B错误；v­t图线的斜率的符号反映加速度的方向，可知3～4 min和6～8 min加速度方向相同，故C错误；由题图可知t＝4 min时“蛟龙号”下潜到最深处，最大深度s＝×(120＋240)×2.0 m＝360 m，故D正确。

3.一质点的v­t图像如图所示，求它在前2 s内和前4 s内的位移。

解析：位移大小等于v­t图像与时间(t)轴所围成的面积。在前2 s内的位移s1＝2×5× m＝5 m，在后2 s内的位移s2＝(4－2)×(－5)× m＝－5 m，所以质点在前4 s内的位移s＝s1＋s2＝5 m－5 m＝0。

答案：5 m　0

物理模型探究两类匀减速直线运动

[示例1]　飞机着陆做匀减速直线运动可获得大小为a＝6 m/s2的加速度，飞机着陆时的速度为v0＝60 m/s，求它着陆后t＝12 s内滑行的距离。

[解析]　设飞机从着陆到停止所需时间为t0，由速度公式vt＝v0－at0，得t0＝10 s。

可见，飞机在t＝12 s内的前10 s内做匀减速直线运动，后2 s内保持静止。

所以有s＝v0t0－at＝300 m或s＝＝300 m。

[答案]　300 m

(1)本题的易错点在于不考虑“刹车”的实际情况，盲目套用位移公式s＝v0t－at2，将t＝12 s直接代入得到s＝288 m。

(2)解答该类问题时应先计算出物体停止运动实际需要的时间，才能判断给定时间内物体的运动情况。　　　　

[示例2]　如图所示，小球以6 m/s的速度由足够长的光滑斜面中部沿着斜面向上滑。已知小球在斜面上运动的加速度大小为2 m/s2。分别求出经过2 s、3 s、4 s、6 s、8 s小球的位移。(提示：小球在光滑斜面上运动时，加速度的大小、方向都不变)

[解析]　以小球的初速度方向，即沿斜面向上为正方向，则小球的加速度沿斜面向下，为负值。将t2＝2 s，t3＝3 s，t4＝4 s，t6＝6 s，t8＝8 s代入s＝v0t＋at2，解得s2＝8 m，s3＝9 m，s4＝8 m，s6＝0，s8＝－16 m。

[答案]　8 m　9 m　8 m　0　－16 m　其中负号表示小球位移沿斜面向下

1．关于公式s＝，下列说法正确的是(　　)

A．此公式只适用于匀加速直线运动

B．此公式适用于匀减速直线运动

C．此公式只适用于位移为正的情况

D．此公式不可能出现a、s同时为负值的情况

解析：选B　公式s＝适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误；当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、s就会同时为负值，选项D错误。

2．一物体的位移与时间的关系式为s＝6t－2t2＋5(m)，那么它的初速度和加速度分别是(　　)

A．4 m/s, 6 m/s2　　　　　 B．6 m/s, 4m/s2

C．6 m/s，－4 m/s2 D．－4 m/s, 6 m/s2

解析：选C　将关系式s＝6t－2t2＋5(m)和位移公式s＝v0t＋at2进行对比，可知物体的初速度v0＝6 m/s，加速度为－4 m/s2，故A、B、D错误，C正确。

3．一物体以2 m/s的初速度做匀加速直线运动，4 s内位移为16 m，则(　　)

A．物体的加速度为2 m/s2

B．4 s内的平均速度为6 m/s

C．4 s末的瞬时速度为6 m/s

D．第1 s内的位移为1.5 m

解析：选C　物体做匀加速直线运动的位移时间关系x＝v0t＋at2，解得a＝1 m/s2，故A错误；平均速度为＝＝4 m/s，故B错误；由速度时间公式可得v＝v0＋at＝6 m/s，故C正确；第1 s内的位移为x1＝v0t1＋at＝2.5 m，故D错误。

4．随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违规事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶，发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时则为5 m/s2)。

(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？

(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着总质量为1 t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小。

解析：(1)设货车刹车时的速度大小为v0，加速度大小为a，末速度大小为vt，刹车距离为s，根据匀变速直线运动的位移与速度的关系式得s＝

代入数据，得超载时s1＝45 m

不超载时s2＝22.5 m。

(2)超载货车与轿车碰撞时，由v－v＝－2as知

相撞时货车的速度vt＝＝  m/s＝10 m/s。

答案：(1)45 m　22.5 m　(2)10 m/s