2021-2022学年河南省信阳市市直中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省信阳市市直中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在下列四个实数中，最小的实数是

A.  B.  C.  D.

2. 年，中国举办第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是

A.
B.
C.
D.

3. 如图，，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

4. 下列各式正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 已知，下列变形正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 九章算术卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为

A.  B.
C.  D.

7. 为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法

A.  B.  C.  D.

8. 若取，计算的结果是

A.  B.  C.  D.

9. 点的位置如图所示，则关于点的位置下列说法中正确的是

A. 距点处
B. 北偏东方向上处
C. 在点北偏东方向上处
D. 在点北偏东方向上处
 

10. 我们可以用图示所示方法过直线外的一点折出直线的平行线，下列判定不能作为这种方法依据的是

A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 写出一个二元一次方程组，使它的解为，该方程组可以是______．
12. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围是______．
13. 下列四个命题：对顶角相等；等角的补角相等；如果，，那么；如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中是真命题的有______．
14. 如图所示，半圆平移到半圆的位置时所扫过的面积为______．
    
     

15. 如图，，将长方形纸片沿直线折叠成图，再沿折痕折叠成图，则的度数为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：
    ；
    ．
17. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形的顶点、的坐标分别为，．
    请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
    将三角形向右平移个单位长度，然后再向下平移个单位长度，得到三角形画出三角形，并写出三角形三个顶点的坐标．
    求三角形的面积．
    点是一动点，若三角形的面积等于三角形的面积，请直接写出点的坐标．
19. 已知：如图，，求证：．
    
     

20. 甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购买超过元后，超过元的部分按收费．设累计购物元．
    若，顾客到______商场购物花费少．填“甲”或“乙”当时．
    顾客到甲商场购物，花费______元，到乙商场购物，花费______元．用含的式子表示
    顾客到哪家商场购物花费少？
21. 某校为表彰在美术展览活动中获奖的同学，决定购买一些水笔和颜料盒作为奖品，请你根据图中所给的信息，解答下列问题：
    求出每个颜料盒，每支水笔各多少元？
    若学校计划购买颜料盒和水笔的总数目为，所用费用不超过元，则颜料盒至多购买多少个？

22. 我们把关于，的两个二元一次方程与叫做互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组．
    若关于，的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则______，______．
    若二元一次方程中，的值满足下列表格：

则这个方程的共轭二元一次方程是______．
直接写出方程组的解：的解为______；的解为______；的解为______．
发现：若共轭二元一次方程组的解是，则，之间的数量关系是______．
应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并直接写出它的解．

23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动．
    如图，三角尺的角的顶点在上．若，则的度数为______．
    如图，小颖把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系．
    如图，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请直接写出与的数量关系用含，的式表示．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因为，
所以所给的四个实数中，最小的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】

【解析】【解析】

解：根据平移的性质，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是

．
故选：．
根据平移的性质进行判断．
本题考查了平移的性质：平移前后两图形的形状和大小完全相同、各个部分的方向不会变．
 

3.【答案】

【解析】解：由图得的补角和是同位角，
且，
的同位角也是，
，
故选：．
先根据图得出的补角，再由得出结论即可．
本题主要考查平行线的性质，平行线的性质与判定是中考必考内容，平行线的三个性质一定要牢记．
 

4.【答案】

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B正确，符合题意；
，故C错误，不符合题意；
无意义，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据立方根与算术平方根逐项判断即可．
本题考查立方根与算术平方根，解题的关键是掌握立方根、算术平方根的定义．
 

5.【答案】

【解析】解：、两边都减，不等号的方向不变，故A错误；
B、两边都乘以，再加，不等号的方向不变，故B错误；
C、两边都乘以，不等号的方向改变，故C正确；
D、两边都除以，不等号的方向不变，故D错误；
故选：．
根据不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以或除以同一个数时，不仅要考虑这个数不等于，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
 

6.【答案】

【解析】解：设甲需持钱，乙持钱，
根据题意，得：，
故选：．
设甲需持钱，乙持钱，根据题意可得，甲的钱乙的钱的一半，乙的钱甲所有钱的，据此列方程组可得．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
 

7.【答案】

【解析】解：截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长米时，不造成浪费，
设截成米长的彩绳根，米长的根，
由题意得，，
因为，都是非负整数，所以符合条件的解为：
、、，
则共有种不同截法，
故选：．
截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长米时，不造成浪费，设截成米长的彩绳根，米长的根，由题意得到关于与的方程，求出方程的正整数解即可得到结果．
此题考查了二元一次方程的应用，弄清题意列出方程是解本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：取，
原式

．
故选：．
根据立方根的概念直接代入式子进行计算可得答案．
此题考查的是立方根，掌握其概念是解决此题关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了有序数对确定位置，注意方向角的确定方法．根据点的位置确定应该有参照物，方向以及距离，进而利用图象得出即可．
【解答】
解： ，
点 在点 北偏东 方向上 处．
故选： ．   

10.【答案】

【解析】解：如图，由折叠可得，
，，故A选项能作为这种方法依据；
，，故B选项能作为这种方法依据；
，，故C选项能作为这种方法依据；
，，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故D选项不能作为这种方法依据；
故选：．
依据平行线的判定方法进行分析，即可得到正确结论．
本题考查的是平行线的判定定理，解题时注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
 

11.【答案】

【解析】解：由，得：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕，列一组算式，如，，然后用，代换，得答案不唯一．
此题考查的知识点是二元一次方程组的解，本题是开放题，注意方程组的解的定义．围绕解列不同的算式即可列不同的方程组．
 

12.【答案】

【解析】解：点在第二象限，
，
解得，
故答案为：．
先根据第二象限内点的坐标符号特点列出关于的不等式，解之即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

13.【答案】

【解析】解：对顶角相等，是真命题；
等角的补角相等，是真命题；
如果，，那么，是真命题；
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，是假命题；
故答案为：．
根据平行线，相交线的相关定理逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握相交线，平行线的相关定理．
 

14.【答案】

【解析】解：由图示可知：
扫过的面积．
故答案为：．
半圆平移到半圆的位置时所扫过的部分是一个矩形，根据矩形的面积公式计算即可．
本题主要考查了平移的性质，结合图形，找到所扫过的部分是一个矩形是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：四边形为长方形，
，
．
由翻折的性质可知：
图中，，，
图中，．
故答案为：．
由矩形的性质可知，由此可得出，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个的度数，由此即可算出度数．
本题考查了平行线的性质，翻折变换以及矩形的性质，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
 

16.【答案】解：

；
，
得，，
得，，
将代入得，，
原方程组的解为．

【解析】分别计算绝对值，平方根，偶次方根，立方根，再运算即可．
用代入消元法解二元一次方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

18.【答案】解：如图，建立平面直角坐标系；

如图，为所作；

；
三角形的面积等于三角形的面积，
，
，
解得，
或．

【解析】利用点、的坐标建立直角坐标系；
利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后连线即可得到；
用个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算的面积；
根据三角形的面积公式即可求得结论．
本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

19.【答案】证明：与互补，
同旁内角互补两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
已知
由等式的性质得：
，
即，
内错角相等，两直线平行，
由两直线平行，内错角相等．

【解析】已知与互补，根据同旁内角互补两直线平行，可得，再根据平行线的判定与性质及等式相等的性质即可得出答案．
本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质．
 

20.【答案】乙   

【解析】解：，顾客到甲商场应花费元，到乙商场应花费元，
，
顾客到乙商场购物花费少，
故答案为：乙；
当时，
顾客到甲商场应花费元，
到乙商场应花费元，
故答案为：，；
由，得，
当时，到甲商场花费少；
由，得，
当时，到两个商场花费相同；
由，得，
当时，到乙商场花费少．
答：当时，到甲商场花费少；当时，到两个商场花费相同；当时，到乙商场花费少．
求出时，顾客到甲商场和乙商场应花费费用，比较即可得答案；
根据优惠方案，即可求出当时，顾客到甲商场应花费，到乙商场应花费；
分三种情况：，到甲商场花费少；，到两个商场花费相同；，到乙商场花费少，分别解不等式、方程即可得答案．
本题考查列代数式，解题的关键时读懂题意，能用含的代数式表示时，两个商场所需费用．
 

21.【答案】解：设每个颜料盒元，每支水笔元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个颜料盒元，每支水笔元．
设购买颜料盒个，则购买水笔支，
根据题意得：，
解得：．
为整数，
．
答：颜料盒至多购买个．

【解析】设每个颜料盒元，每支水笔元，根据总价单价数量结合图中所给的信息，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买颜料盒个，则购买水笔支，根据总价单价数量结合所用费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】        

【解析】解：是共轭二元一次方程组，
，，
解得，，
故答案为：，；
将，；，代入方程中，
，，
，
二元一次方程是，
共轭二元一次方程是，
故答案为：；
，
得，，
得，，
将代入，得，
方程组的解为；
，
得，，
得，，
得，，
将代入，得，
方程组的解为；
，
得，，
得，，
将代入得，，
方程组的解为；
故答案为：，，；
的解为，
，
，得，
，
，
，
故答案为：；
，
，得，
得，，
将代入得，，
方程组的解为．
由定义直接可求；
分别将，；，代入方程中，即可求解；
用加减消元法分别求解每一个二元一次方程组即可；
通过的计算可得；
写出符合条件的一组方程组即可．
本题考查二元一次方程组的解法，理解定义，灵活应用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
 

23.【答案】

【解析】解：，
，
，，
，
解得；
，理由如下：
如图，过点作，

，
，
，，
，
，
；
，理由如下：
，
，
，，
，
，
．
根据平行线的性质可知，依据，可求出的度数；
过点作，得到，通过平行线的性质把和转化到上即可；
依据，可知，再根据，，代入，即可求出．
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．