2021-2022学年河南省实验中学高二下学期期期中考试 数学文 Ｗord版

河南省实验中学2021——2022学年下期期中试卷

高二  文科数学 

（时间：120分钟，满分：150分）

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若复数的实部为a，虚部为b，则（       ）

A． B． C．2 D．3

2．如果，则下列不等式中正确的是（       ）

A． B． C． D．

3．在用反证法证明命题“已知，，且．求证：，中至少有一个小于4”时，假设正确的是（       ）

A．假设，都不大于 B．假设，都不小于

C．假设，都小于 D．假设，都大于

4．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（       ）

A．极差         B．方差        C．平均数        D．中位数

5．抛物线过点，则的准线方程为(       )

A．B． C．D．

6．某单位开展全民健身运动，其中有一项活动是定点投篮．10名参赛者每人定点投篮20次，得出投中球数（，2，3，…，10）分别为12，15，9，16，11，10，9，16，12，10，这些数据的平均值记为，将这10名参赛者的投中球数依次输人程序框图进行运算，则输出的S的值为（       ）

A．12 B．1.2 C．68 D．6.8

7．选做题：从（4-4），（4-5）中任选一题作答

（4-4）参数方程（为参数）所表示的曲线是（       ）

A．圆               B．直线            C．射线            D．线段

（4-5）关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ）

A．  B．  C． D．

8．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（       ）．

A．3 B．1 C．0 D．﹣1

9．在区间上随机地取一个数，则该数满足的概率为（       ）

A． B． C． D．

10．观察下列等式，，，，，根据上述规律，（       ）

A． B． C． D．

11．下列说法错误的是（       ）．

A．命题“，”的否定是“，”

B．若“”是“或”的充分不必要条件，则实数m的最大值为2021

C．“”是“函数在内有零点”的必要不充分条件

D．已知，且，则的最小值为9

12．已知函数，若函数的零点有两个或三个，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知，若在点处的切线方程为，___________

14．已知与之间的一组数据如下，且它们之间存在较好的线性关系.则与的回归直线方程必过定点___________.

15．数列满足，且，则___________.

16．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的离心率是____________.

三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分） 已知命题：函数有意义；命题：实数满足.

(1)当且为真，求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）中国棋手柯洁与AlphaGo的人机大战引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，并根据调查结果绘制了学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40的学生称为“围棋迷”.

(1)请根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关；

(2)为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛首轮该校需派2名学生出赛，若从5名学生中随机抽取2人出赛，求2人恰好一男一女的概率.

附表：

（参考公式：，其中）

19．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）若的面积，且，求.

20．（12分）已知函数．

Ⅰ若函数在区间上为增函数，求a的取值范围；

Ⅱ若对任意恒成立，求实数m的最大值．

21．（12分）已知椭圆：过三点，，中的两点，且短轴长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)椭圆的上､下顶点分别为､点，是椭圆上异于､的任意一点，直线交直线于点，连接，，记，的斜率分别为，，证明：为定值.

（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．

[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的，得到曲线．以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，射线的极坐标方程为，与曲线，分别交于，两点．

（1）求曲线的直角坐标方程和极坐标方程；

（2）求的值．

[选修4—5:不等式选讲]

23．已知.

(1)求不等式的解集.

(2)若，且，证明：，，.

河南省实验中学2021--2022学年下期期中

高二年级  文科数学   参考答案

一、    选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13．      14.      15.      16.

三、解答题

17(12分）(1)由，可得，其中，

得，则，，.......2分

若，则；.......3分

由，解得........4分

即.        若为真，则，同时为真，即，解得，........5分

所以实数的取值范围为........6分

(2)由是的充分不必要条件，是的真子集．........8分

所以或，........10分，解得 ，

实数的取值范围为.........12分

18.（12分）(1)由频率分布直方图可知，，........1分

所以在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，

从而2×2列联表如下：

的观测值.........5分

因为，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.........6分

(2)由（1）中列联表可知25名“围棋迷”中有男生15名，女生10名，

所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5名学生中，

有男生3名，记为，，；有女生2名，记为，.

则从5名学生中随机抽取2人出赛，基本事件有：

，，，，，，

，，，，共10种；........9分

其中2人恰好一男一女的有：

，，，，，，共6种.........11分

故2人恰好一男一女的概率为.........12分

19.（12分）（Ⅰ）因为，所以由，

即，由正弦定理得，........2分

即，

∵，

∴，即，........4分

∵，∴，∴，∵，∴.........6分

（Ⅱ）∵，∴，........8分

∵，，

∴，即，........10分

∴ .........12分

20.（12分）(1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1.

∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，........1分

即ln x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立．∴a≥－1－ln x.

令h(x)＝－ln x－1，∴a≥h(x)max，........3分

当x∈[e2，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)，

∴h(x)∈(－∞，－3]，........4分

∴a≥－3，即实数a的取值范围是[－3，＋∞)． ........6分

(2)∵2f(x)≥－x2＋mx－3，即mx≤2xln x＋x2＋3，

又x＞0，∴m≤在x∈(0，＋∞)上恒成立．........8分

记t(x)＝＝2ln x＋x＋.∴m≤t(x)min.

∵t′(x)＝＋1－＝＝，

令t′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍去)．

当x∈(0,1)时，t′(x)＜0，函数t(x)在(0,1)上单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，t′(x)＞0，函数t(x)在(1，＋∞)上单调递增，........10分

∴t(x)min＝t(1)＝4.

∴m≤t(x)min＝4，即m的最大值为4.........12分

21.（12分）（1）由椭圆的对称性易知椭圆：必过点，，所以.........2分

又短轴长为，所以，代入上式解得.........3分

所以椭圆的标准方程为.........4分

(2)证明：设，，直线的方程为.

由，消去可得，

所以，代入直线方程中，可得，........6分

所以.........8分

因为直线：过点，所以，即，........10分

代入上式，可得，

故为定值.........12分

选做题：共10分

22.解：（1）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的，

得到曲线，即．........2分

把代入得，即．........5分

（2）设，，曲线的极坐标方程为，........7分

则，．........9分

所以．........10分

23.(1).........1分

当时，，解得，无实数解；........2分

当时，，解得，即........3分

当时，，解得，即........4分

综上所述，不等式的解集为........5分

(2)由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，........6分

又，........8分

当且仅当，即时，取等号，........9分

所以

所以，一定存在，使得成立，命题得证.........10分