河南省实验中学2021-2022学年高三数学（文）上学期期中试题（Word版附解析）

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（时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意求出集合，然后通过分式不等式的解法求出集合，再利用集合间的运算即可求解.
【详解】由题意，易知，
因为，
所以且，解得，或，
故或，
又因为
所以，
故.
故选：C.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解.
【详解】因为，
所以，
，
所以|z|=.
故选：C.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果.
【详解】，
故选：A.
4. 已知命题：“，”否定是“，”；命题：，．下列说法不正确的是( )．
A. 为真命题B. 为真命题
C. 为真命题D. 为假命题
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据命题的否定概念判断命题的真假，然后再根据特值法判断命题的真假，最后根据逻辑联结词的含义即可求解.
【详解】因为“，”的否定是“，”，故命题为假命题，
当时，，故，，所以命题为真命题．
所以为真命题，为假命题，为真命题，为假命题，为真命题．故A，C，D正确，B错误.
故选:B．
5. 已知实数x，y满足，则的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出，的图象，由图象结合几何概型求解.
【详解】作出，的图象，如图，
由图象可知概率，
故选：A
6. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 1B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三视图易知该几何体为锥体，求得底面积与高即可求出几何体的体积．
【详解】由三视图易知该几何体为锥体，所以V＝Sh，其中S指的是锥体的底面积，
即俯视图中四边形的面积，易知S＝1，h指的是锥体的高，
从正视图和侧视图易知h＝1，所以V＝Sh＝
故选：C
7. 下列函数既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数奇偶性和单调性的判断方法，分别对各选项逐个分析，即可得出在其定义域内，既是奇函数又是减函数的选项.
【详解】对于A：是指数函数，为非奇非偶函数，A错误；
对于B：在定义域R上是减函数，又，所以函数在定义域上是奇函数，B正确；
对于C：在定义域上没有单调性，C错误；
对于D：是对数函数，是非奇非偶函数，D错误.
故选：B
8. 已知，，且，则的最小值是（ ）
A. 10B. 15C. 18D. 23
【答案】C
【解析】
【分析】利用“1的代换”的方法，结合基本不等式求得正确结论.
【详解】∴，
（当且仅当，即，时，等号成立）.
故选：C
9. 已知函数，下面结论错误的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上是增函数
C. 函数的图像关于直线对称
D. 函数是偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】先化简函数得，然后逐个分析判断即可
【详解】解：，
对于A，的最小正周期为，所以A正确；
对于B，在区间上是减函数，所以B错误；
对于C，因为，所以的图像关于直线对称，所以C正确；
对于D，因为，所以是偶函数，所以D正确，
故选：B
10. 在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则直线与所成角的大小是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先把两条直线平移了有交点，再求其直线所成角.
【详解】如图连接，，则是的中点，

又为的中点，所以，连接，则是的中点，
又为的中点，所以，
于是是直线与所成的角或其补角．
易知是正三角形，所以．
故选：C
11. 已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】设椭圆的左焦点为，由题可知，，利用，即可得出．
【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，则
，
则，
，
的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号．
的周长最大值等于18．
故选：C．
12. 若不等式对任意x>0恒成立，则正实数m的最大值为（ ）
A. 2B. eC. 3D. e2
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得，构造函数，根据单调性可得，即，构造函数，利用导数求出单调性，求出的最小值即可.
【详解】由题意得，，即，
令，易知函数在（0，+∞）上单调递增，
从而不等式转化为，则，即，
令，则，
当01时，，单调递增，
则当x=1时，有最小值，即，则m的最大值为e.
故选：B.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，，，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算求，然后结合已知条件利用向量的数量积的坐标运算公式即可求解.
【详解】因为，，所以，
又因为，，
所以，解得.
故答案为：.
14. 若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为60°，则它的离心率为________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】根据已知条件求得或，由此求得双曲线的离心率.
【详解】当时，离心率为，
当时，离心率为，
当时，离心率为，
当时，离心率为.
所以双曲线的离心率为：或.
故答案为：或
15. 已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由约束条件画出可行域，将问题转化为在轴截距最大值的求解，利用数形结合的方式可求得结果.
【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
当最大时，在轴截距最大，
由图象可知：当过时，在轴截距最大，
由得：，，
.
故答案为：.
16. 如图所示，点D在线段AB上，∠CAD＝30°，∠CDB＝45°．给出下列三组条件（已知线段的长度）：①AC，BC；②AD，DB；③CD，DB．其中，使△ABC唯一确定的条件的所有序号为____．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】由已知求得∠ACD＝15°，∠CDA＝130°．然后利用正弦定理与三角形的解法逐一判断即可．
【详解】解：∵∠CAD＝30°，∠CDB＝45°．∴∠ACD＝15°，∠CDA＝130°．
①在△ABC中，知道AC，BC的长度及角A，由，求得sinB，AC与BC的大小不定，角B不一定唯一，则△ABC不一定唯一．
②在△ADC中，知道AD长及各角度，由正弦定理可得出AC长度．BD长度已知，CD长度可求，△ABC唯一确定．
③同②可知，△ADC中，已知一边及各角度，在△ACB中，已知一角及其夹边△ABC唯一确定．
故答案为：②③．
三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示：
（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程，其中.
参考数据：，.
【答案】（1）；（2）是.
【解析】
【分析】（1）先由表中的数据求出，再利用已知的数据和公式求出，从而可求出关于的回归直线方程；
（2）当时，求出的值，再与15比较即可得结论
【详解】（1）因为，，
所以，
得，
于是关于的回归直线方程为；
（2）当时，，
则，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.
18. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，且，.
（1）证明：平面平面；
（2）求四棱锥的侧面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由平面得，再结合几何关系得，进而平面，再根据判定定理即可得平面平面.
（2）由（1）知平面四棱锥的四个侧面均为直角三角形，再计算即可得答案.
【详解】（1）由，知，故，
又，，，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又在直角梯形中，易求得，
所以，故.
又，，平面，
所以平面.
又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知平面四棱锥的四个侧面均为直角三角形，
所以，，，
.
故四棱锥的侧面积为.
19. 已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求数列通项公式
（2）设，求数列的前项和
【答案】（1）或；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式结合等比数列的性质即可得解；
（2）由分组求和法结合等差、等比数列的前n项和公式即可得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意，得，解得或，
所以或；
（2）当时，，
此时；
当时，，
此时.
20. 已知双曲线：(，)的左、右焦点分别为，，双曲线的右顶点在圆：上，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，问(为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
【答案】(1) ；(2)的面积是为定值，定值为1.
【解析】
【分析】(1)首先根据以及求出，然后利用在圆：上求出即可；(2)根据已知条件设出动直线：，并与双曲线方程联立，结合已知可得到与之间的关系，然后令分别与渐近线联立方程求点、，从而可求出的长度，再结合点到直线的距离，可表示出的面积，结合与之间的关系即可求解.
【详解】(1)不妨设，，因为，从而，，
故由，又因为，所以，
又因为在圆：上，所以，
所以双曲线的标准方程为：.
(2)由于动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，
当动直线的斜率不存在时，，，
当动直线的斜率存在时，且斜率，
不妨设直线：，
故由，
从而，化简得，，
又因为双曲线的渐近线方程为：，
故由，从而点，同理可得，，
所以，
又因为原点到直线：的距离，
所以，又由，
所以，
故的面积是为定值，定值为1.
21. 已知函数.
（1）设，若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若对任意，，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出，由在上恒成立，转化为求函数的最值，得出结论．
（2）求出导函数，的分母在已知区间上恒为负，因此对分子引入新函数，由新函数的导数分类讨论确定正负，得的单调性，先定性分析确定的零点，再证明其唯一性得具体值，从而得出结论．
【详解】（1）因为，
所以，，
因为在区间上单调递增，
所以，即，即在恒成立，
令，，
所以在上单调递减.
则，所以，
故实数的取值范围为.
（2）
因为，所以，
令，
当时，因为，所以，则，在单调递增，
又，所以当时，，不满足题意；
当时，，，又，
所以在单调递减，存在，使得，
且当时，，即；
当时，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
在有唯一的最小值点.
因为，要使得恒成立，当且仅当，则，
即，解得，
综上，实数的值为.
【点睛】本题考查用由函数的单调区间确定参数范围，用导数证明不等式．解题关键是问题的转化，本题证明不等式时，一是确定要求函数的最小值，因此求出导函数，二是对分行拆解，分子与分母分别确定正负．复杂的分子需再引入新函数，由新函数的导数确定零点，推导结论．本题属于难题．
（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22. 已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为其中为参数，，曲线的参数方程为其中为参数.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）若，曲线，交于，两点，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】(1)先将参数方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式求解；
（2）将代入的极坐标方程，根据极坐标的几何意义求解即可.
【详解】解：（1）依题意，曲线的普通方程为
即曲线的极坐标方程为；
曲线的普通方程为，即，
故曲线的极坐标方程为.
（2）将代入曲线的极坐标方程中，可得，
设上述方程的两根分别是，则，故.
[选修4—5:不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集；
（2）分析可得知，使得或成立，利用二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，．
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时．
因此，当时，不等式的解集为；
（2）当时，可化为，
所以，或，
即存在，使得或．
，因为，所以，则，
，因为，所以，所以，
因此，实数的取值范围为．
月份
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