河南省实验中学2021-2022学年高二数学（理）上学期期中试题（Word版附解析）

这是一份河南省实验中学2021-2022学年高二数学（理）上学期期中试题（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】，当时，A不正确；利用不等式性质可推出B不正确；作差后，可知当时，C不正确；利用基本不等式可推出D正确.
【详解】对于A，当时，不成立，故A不正确；
对于B，若，则，又，所以，故B不正确；
对于C，因为，，
所以当时，，此时，故C不正确；
对于D，因为，所以，，所以，故D正确.
故选：D
2. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则角（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理即可求解．
【详解】在中，由正弦定理可得，
所以，
因，所以，
因为，所以或，
故选：D.
3. 已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（ ）
A. B. C. D. 58
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.
【详解】设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，
因为，，依次成等比数列，，
所以有，即，整理得，
因为，所以，，
因此，
故选：A.
4. 已知中，角、、所对的边分别为、、，若的面积为，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形的面积公式整理得出，利用二倍角的正弦和余弦公式化简得出，结合角的取值范围可求得结果.
【详解】在中，因为，则，
，则，则，
所以，，可得，，故.
故选：D.
5. 在中，，，边上的中线的长度为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设条件结合余弦定理可求得，从而可得，结合三角形面积公式，即可求解.
【详解】∵，，边上的中线的长度为
∴根据余弦定理可得，即，解得
∴
∴的面积为
故选：B
6. 一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)（ ）
A 300米B. 299米
C. 199米D. 166米
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到小球经过的里程，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，可得小球10次着地共经过的路程为：
米
故选：A.
7. 在中，，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据，利用正弦定理转化为：，整理为再转化为角判断.
【详解】因为，
所以由正弦定理得：，
所以 ，
即 ，
所以或 ，
所以或，
所以是等腰或直角三角形.
故选：C
【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8. 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.同时这是几何法构造基本不等式及其推论的一种方法.
【详解】
连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.
在中，由射影定理可得，即，
由得，
故选：A
9. 设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案．
【详解】由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴＋＝＝＝＝＝＝
故选：C．
10. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式得出关于的不等式，解之可得．
【详解】因为，
所以，当且仅当时取等号．
，解得或（舍去），
所以，即的最小值.4．此时．
故选：C．
11. 已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（ ）
A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项
【答案】D
【解析】
【分析】由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.
【详解】当时，；
由，当时，，
两式相减，可得，
解得，当时，也符合该式，故．
所以
由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，
故选：D．
12. 数列满足，，，设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先通过构造等比数列求出数列的通项公式，并进而用累加法求出的通项公式及的通项公式.最后利用裂项相消法将化简后取整，整理的最小值后得解
【详解】由题意得：，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
又，，…，，，由累加法
，；
，，
，
，
，，，，
对恒成立，，则实数的最大值为.
故选：C.
【点睛】本题考查数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、累加法求得数列的通项公式，进而用裂项相消法化简的形式，并最终将恒成立问题转化为最值问题.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 在锐角三角形中，，，，则________
【答案】
【解析】
【分析】由三角形面积公式求A，再由余弦定理求BC.
【详解】∵ ，
∴，又，，
∴ ，又A为锐角，
∴ ，
由余弦定理可得，
∴ ，
∴ ，
故答案为：.
14. 设等比数列的前项和为，若，则数列的公比________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列的前项和公式，和，对进行分类讨论，列出方程，即可求出结果.
【详解】当时，
，；
当时， ，
得，
∴，
解得或 (舍去)或 (舍去)，
∴.
故答案为：.
15. 设，满足约束条件若有最小值，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论，当，，时，目标函数是否有最小值即可．
【详解】作出可行域，如图所示阴影部分（含边界），
当时，目标函数是平行于轴的直线，存在最小值，满足题意，
当时，目标函数的斜率为负，此时目标函数有最大值，无最小值，当时，目标函数的斜率为正，此时目标函数有最小值，满足题意，综上可得，．
故答案为：
16. 已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则下列命题正确的有__________．（填序号）
（1）；
（2）；
（3）的值是中最大的；
（4）使成立的最大正整数数的值为．
【答案】（1）（2）（4）
【解析】
【分析】根据可知；由和，可确定，可知（1）正确；利用等比数列性质和可知（2）正确；根据知（3）错误；根据，可知（4）正确.
【详解】对于（1），，，，
，，又，，
，（1）正确；
对于（2），，又，，即，
，（2）正确；
对于（3），，不是中最大的，（3）错误；
对于（4），，
，
使成立的最大正整数数的值为，（4）正确.
故答案为：（1）（2）（4）
三、解答题（本题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤）
17. 已知不等式的解集是，求不等式的解集.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.
【详解】因为不等式的解集是，则，
且关于的二次方程的两根分别为、，
所以，解得，
不等式即为，解得.
故不等式的解集为.
18. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可．
【详解】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．
又，∴．
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，
即，解得．
（2）由正弦定理，得，
∴，．
∴
．
由，得．
所以当时，即时，．
19. 已知数列的前n项和.求：
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前n项和.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
【分析】（）当时，，当时，，即可求得数列的通项公式；
（）当时，，当时，，
利用裂项法，即可求解数列的前项和.
【详解】（）当时，，
当时，，，
两式相减得，
经验证不满足上式．
故．
（）当时，，
当时，，
∴
．
经检验满足上式，故．
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解、及数列求和的“裂项法”，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
20. 为响应国家号召开，积极引进外资，现欲在南京紫金东创建一工厂，目前两条公路，的交汇点处有一居民区，现拟在两条公路之间的区域内建造工厂，同时在两公路旁，（异于点）处设两个销售点，且满足，（千米），（千米），设.（注：）
（1）试用表示，并写出的范围；
（2）当为多大时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小（即工厂与学校的距离最远）.
【答案】（1），；（2）当时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理求得，由三角形内角和求得范围；
（2）由余弦定理求得，并由三角函数恒等变换公式，结合正弦函数性质得最大值．
【详解】解：（1）因为，
所以.
在中，由正弦定理得：
因为，所以，
（2）在中，
当且仅当，即时，取得最大值144，即取得最大值12.
答：当时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小.
21. 某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车．经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车万台需投入资金万元，且，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000（单位：元/台）时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完．
（1）求的值，并写出2021年该款摩托车的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；
（2）当2021年该款摩托车的年产量为多少时，年利润最大？最大年利润是多少？
（年利润销售所得投入资金设备改造费）
【答案】（1），；（2）年产量为5万台时，年利润最大，最大年利润是4000万元．
【解析】
【分析】（1）根据生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元，求出的值，然后年利润销售额投入资金改造费，从而可求出所求；
（2）分段函数求最值分段求，利用二次函数的性质和基本不等式分别求出最值，比较即可求出所求．
【详解】（1）由题意，所以，
当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，，
所以当时，．
当时，，
因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
所以当时，，因为，
所以，当2021年该款摩托车的年产量为5万台时，年利润最大，最大年利润是4000万元．
22. 设数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，若对任意的正整数，恒有，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，可求的值，当时，与两式相减即可得两边同时乘以，得，令，可得是等差数列，求出的通项即可求的通项；
（2）由（1）知，利用乘公比错位相减求和求出，当，时单独讨论，当时，化为，即.令（，），则，计算判断的单调性求出的最小值，即可求得实数的取值范围．
【详解】（1）由已知，，
当时，，解得.
当时，．
两式相减，得．
两边同时乘以，得，
令，则，
所以数列是公差为1等差数列，其首项为
所以，即，
所以.
（2）由（1）知，，所以．
则，①
，②
①-②，得，
即，
，则.
由已知，对任意正整数，恒有．
当时，化为，得.
当时，化为，
此时，为任意实数不等式都成立．
当时，化为，
即.
令（，），
则，
所以
．
当时，，则，
所以（，）单调递增，
所以的最小值为，则.
综上可知，，即的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：第一问的关键点是需要讨论，当时求得，当时，与已知条件两式相减得，这种类型需要两边同时乘以得，第二问是根据不等式恒成立求参数的值，求出可得，此时不是恒大于，当，时单独讨论，当时，分离化为，即，再构造（，），利用作差法判断单调性求最小值即可.