【期末知识大串讲】第五单元《认识方程》章节复习巩固—2021-2022学年数学四年级下册重难点讲义精讲精练（原卷+解析）北师大版

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北师大版四年级下册同步重难点讲义精讲精练
第五单元 认识方程





知识点一：用字母表示数
1.用字母或含有字母的式子都可以表示数量。含有字母的式子既可以表示数量关系，还可以表示结果。
2.在式子中，字母要根据实际意义在一定范围内取值。
3.当字母和数相乘时，乘号可以简写为一个点，也可以省略不写，表示结果时，数字一般写在字母前面。
4.用字母表示运算律或计算公式时，所用字母一般比较固定，不能乱用
5. 用含有字母的式子表示数量关系，可以先写出数量关系，再把字母对应代入。
知识点二：等量关系
1.等量关系是数量间关系中的一种，它是指两边数量相等时的关系。
2. 相同的等量关系，可以用不同的式子表示，在解决问题时要合理选用。
知识点三：方程的意义
1. 含有未知数的等式是方程。 例：x+50=150、2x=200
2. 方程一定是等式，等式不一定是方程。
3.在等式中一般把含有字母的式子写在等式的左边。
知识点四：等式的性质
1.等式性质（一）：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
2.等式性质（二）：等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。
知识点五：解方程
1.使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。例如：y=19是方程y一7=12的解；x=22是方程23+x=45的解。
2.解形如“x士a=b”的方程时，方程的两边同时加上还是减去哪个数，是由方程左边的式子决定的，目的就是为了把方程化为“x=？”，这样就求出了方程的解。
3. 利用等式性质（二）解形如ax=b或x÷a=b（a不为0）的方程，具体过程如下：
解：ax÷a=b÷a 解：x÷a×a=b
x=b÷a x=ab
4.检验方程的解是否正确，步骤如下：（1）把求出的未知数的值代入原方程中；（2）计算，看等式是否成立；（3）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。
知识点六：列方程解决实际问题
列方程解应用题的思路：
A、审题并弄懂题目的已知条件和所求问题， B、理清题目的等量关系， C、设未知数，一般是把所求的数用X 表示D、根据等量关系列出方程， E、解方程， F、检验， G、作答。
注意：解完方程，要养成检验的好习惯。
=
考点1：用字母表示数
【典例分析01】（2021秋•寿宁县期末）在长是a米、宽是b米（a＞b）的长方形中剪去一个最大的正方形，剩下的图形的面积是（　　）平方米．
A．b2 B．ab C．（a﹣b）b D．ab+b2
【思路引导】在长方形中剪去的最大正方形的边长等于长方形的宽，所以剩下的长方形的长是b米，宽是（a﹣b）米，根据长方形的面积＝长×宽计算即可解答．
【完整解答】解：（a﹣b）×b
＝（a﹣b）b（平方米）．
答：剩下的图形的面积是（a﹣b）b平方米．
故选：C．
【考察注意点】解决本题关键是根据在长方形中剪去的最大正方形的边长等于长方形的宽求出剩下的图形的宽和长，进而根据长方形的面积公式计算．
【典例分析02】（2021春•乐陵市月考）每盒什锦糖x元，每盒巧克力的价钱比什锦糖贵12元。
（1）x+12表示 　一盒巧克力的价钱　。
（2）5x表示 　5盒什锦糖的价钱　。
【思路引导】每盒什锦糖x元，每盒巧克力的价钱比什锦糖贵12元，所以x+12表示的是一盒巧克力的价钱；5x表示5盒什锦糖的价钱，据此即可解答问题。
【完整解答】解：（1）x+12表示一盒巧克力的价钱；
（2）5x表示5盒什锦糖的价钱．
故答案为：一盒巧克力的价钱；5盒什锦糖的价钱。
【考察注意点】此题主要考查单价、数量与总价的关系以及字母表示数。
【变式训练1-1】（2021秋•微山县期中）公共汽车上原来有38人，到新华路站下去x人，又上来y人，现在车上有　38﹣x+y　人．
【思路引导】根据“原来车上人数﹣下去人数+上来人数＝现在车上人数”进行解答即可．
【完整解答】解：38﹣x+y；
故答案为：38﹣x+y．
【考察注意点】解答此题应根据题意，进行分析，弄清数量间的关系，解答即可．
【变式训练1-2】（2022春•滨城区校级期中）2x表示x的2倍．　√　 （判断对错）
【思路引导】用x可以表示任何一个数，2x＝x×2，表示x的2倍，据此解答即可．
【完整解答】解：2x＝x×2
所以2x表示x的2倍．
故答案为：√．
【考察注意点】此题主要考查用字母表示出数，写出算式表示的意义，要结合题目所给数量关系进行分析．
考点2：含字母式子的求值
【典例分析03】（2014•浦口区）昆虫爱好者发现某地蟋蟀叫的次数与气温之间有如下近似关系：t＝7h﹣21[t表示蟋蟀每分钟叫的次数，h表示当时的气温（℃）]．根据这个式子，当气温达到30℃，蟋蟀每分钟叫　189　次；如果蟋蟀每分钟叫49次，当时的气温大约是　10　℃．
【思路引导】首先把h＝30代入t＝7h﹣21，求出当气温达到30℃，蟋蟀每分钟叫多少次；然后令t＝49，求出h的大小即可．
【完整解答】解：把h＝30代入t＝7h﹣21，可得
t＝7×30﹣21
＝210﹣21
＝189
令t＝49，
可得49＝7h﹣21，
所以h＝（49+21）÷7
＝70÷7
＝10
答：当气温达到30℃，蟋蟀每分钟叫 189次；如果蟋蟀每分钟叫49次，当时的气温大约是 10℃．
故答案为：189、10．
【考察注意点】此题主要考查了含有字母的算式的求值问题，采用代入法即可．
【典例分析04】已知：□÷☆＝△，△×☆+□＝60，那么□＝　30　．
【思路引导】因为□÷☆＝△，△×☆+□＝60，把△＝□÷☆代入可得□÷☆×☆+□＝60，得到2□＝60，解方程即可求解．
【完整解答】解：因为□÷☆＝△，△×☆+□＝60
所以□÷☆×☆+□＝60
所以2□＝60
那么□＝60÷2＝30．
故答案为：30．
【考察注意点】此题考查简单的等量代换，解答此题的关键是根据□÷☆＝△，△×☆+□＝60，得出2□＝60．
【变式训练2-1】当x＝3 Y＝1时，那么5x+2y＝　17　．
【思路引导】把x＝3 Y＝1时代入5x+2y解答即可．
【完整解答】解：把x＝3 Y＝1时代入5x+2y
5x+2y＝5×3+2×1
＝15+2
＝17
故答案为：17．
【考察注意点】此题考查用字母表示数量的式子的求值．
【变式训练2-2】（2016春•宁阳县期末）当a＝2时，2a＝a2　√　（判断对错）
【思路引导】把字母赋值，然后代入含有字母的式子进行求值是比较基础的题目，方法是用数字代替字母进行求值，a2和2a所表示的意思，a2表示两个a相乘，2a表示2个a相加．即：2×2＝2×2相等，题目是正确的．
【完整解答】解：a＝2时，
a2＝2×2＝4，
2a＝2×2＝4，
所以a2和2a相等．
故答案为：√．
【考察注意点】本道题目考查：1：a2和2a所表示的意思，a2表示两个a相乘，2a表示2个a相加．2：数字代替字母进行求值．
考点3：等式的意义
【典例分析05】（2016春•江西校级月考）下列等式中不成立的是（　　）
A．9+0＝9 B．9﹣0＝9 C．9×0＝0 D．9÷0＝0
【思路引导】根据0在四则运算中的特性，直接进行选择．
【完整解答】解：A、0加上任何数仍得原数，所以9+0＝9是正确的；
B、任何数减去0仍得原数，所以9﹣0＝9是正确的；
C、任何数和0相乘得0，所以9×0＝0是正确的；
D、在除法里，0不能做除数，所以9÷0＝0是错误的．
故选：D．
【考察注意点】此题考查0在四则运算中的特性，注意：在除法里，0不能做除数，因为0作除数无意义．
【典例分析06】（2015春•宿迁校级期末）x+3＝y+4，那么（　　）
A．x＞y B．x＝y C．x＜y
【思路引导】等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；据此解答．
【完整解答】解：x+3＝y+4，等式两边同减去3，
可得x＝y+1，
所以x＞y，
故选：A．
【考察注意点】此题考查了等式性质的灵活运用．
【变式训练3-1】等式的两边同加上一个数或同减去一个数，等式仍然成立．　√　．（判断对错）
【思路引导】等式的性质：在等式的两边都加上（或减去）一个相同的数，等式依然成立；据此进行判断．
【完整解答】解：在等式的两边同时都加上（或减去）一个相同的数，等式依然成立，说法正确．
故答案为：√．
【考察注意点】此题考查等式的性质：在等式的两边同时都加上（或减去）一个相同的数；两边同时都乘上（或除以）一个相同的数（0除外），等式依然成立．要注意：必须是同一个数才行．
【变式训练3-2】（2014春•安溪县期中）如果A﹣102＝B﹣200，那么A＜B．　√　．
【思路引导】依据等式的意义，即表示相等关系的式子叫做等式，即可判断此题的正误．
【完整解答】解：因为A﹣102等于B﹣200，
又因102＜200，
所以A＜B，
故答案为：√．
【考察注意点】此题主要考查等式的意义．
考点4：等式的性质
【典例分析07】（2021秋•椒江区期末）如果a＝b，下面说法正确的是（　　）
A．3a＝b+3 B．a÷0.5＝2b C．ab＝1 D．a﹣b＝1
【思路引导】等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【完整解答】解：根据等式的性质，如果a＝b，那么a÷0.5＝a×2＝2a＝2b。
3a和b+3不一定相等，ab不一定等于1，a﹣b也不一定等于1。
故选：B。
【考察注意点】此题考查了等式的性质，要熟练掌握。
【典例分析08】．如图中的天平都处于平衡状态，物体A与物体C的质量关系是（　

A．2A＝3C B．4A＝9C C．A＝2C D．A＝C
【思路引导】根据图形得知2A＝3B，2B＝3C，根据等式的性质4A＝6B，6B＝9C，然后进一步找出A与C质量关系。
【完整解答】解：2A＝3B，2B＝3C
根据等式的性质4A＝6B，6B＝9C
所以4A＝9C。
故选：B。
【考察注意点】此题考查了等式的性质的意义及运用。关键是得出4A＝6B，6B＝9C。
【变式训练4-1】（2021秋•西华县期末）如果m＝n+3，那么根据等式的性质：m÷5＝　（n+3）　÷5；2m×d＝（n+3）×　2d　。
【思路引导】等式的性质：等式两边同时加上或同时减去、同时乘上或同时除以一个数（0除外），两边仍相等，据此解答即可。
【完整解答】解：m÷5＝（n+3）÷5，2m×d＝（n+3）×2d
故答案为：（n+3）；2d。
【考察注意点】此题主要考查了等式性质的意义及运用。
【变式训练4-2】（2013春•襄汾县校级期中）等式的两边都乘同一个数，等式仍然成立．（0除外）　√　．（判断对错）
【思路引导】等式的性质是指在等式的两边同时加上、减去、乘上或除以一个数（0除外），等式的左右两边仍相等；据此进行判断．
【完整解答】解：根据等式的性质，可知等式的两边都乘同一个数，等式仍然成立的说法是正确的．
故答案为：√．
【考察注意点】此题考查学生对等式性质内容的理解，注意：只有在等式的两边同时除以一个数时，才限制0除外．
考点5：方程的意义
【典例分析09】（2021春•交城县期末）下列算式中，只有（　　）是方程．
A．3x＝8 B．5×7＝35 C．2X
【思路引导】根据方程的意义：含有未知数的等式叫做方程；以此逐项分析后再进行选择．
【完整解答】解：A、3x＝8，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程，符合题意；
B、5×7＝35，只是等式，没含有未知数，不是方程，不符合题意；
C、2X，含有未知数，不是等式，不符合题意；
故选：A．
【考察注意点】此题主要考查方程的意义，方程具备两个条件：一必须含有未知数，二必须是等式．
【典例分析10】（2019春•榆树市校级期末）下列算式中，只有（　　）是方程．
A．4a+8 B．6b﹣9＞12 C．3﹣x+5 D．a÷2＝4
【思路引导】根据方程的意义，含有未知数的等式叫做方程；以此解答即可．
【完整解答】解：A：含有未知数，不是等式，所以不是方程；
B：含有未知数，但不是等式，所以不是方程；
C：含有未知数，但不是等式，所以不是方程；
D：是含有未知数的等式，所以是方程．
所以是方程的是D．
故选：D．
【考察注意点】此题主要考查方程的意义，具备两个条件，一含有未知数，二必须是等式；据此判断选择．
【变式训练5-1】（2021春•交城县期末）含有未知数的等式不是方程．　×　． （判断对错）
【思路引导】根据方程的意义，含有含有未知数的等式叫做方程，即含有未知数的等式是方程，故含有未知数的等式不是方程是错误的．
【完整解答】解：含有未知数的等式不是方程是错误的，根据方程的意义，含有未知数的等式是方程．
故答案为：×．
【考察注意点】此题主要是考查方程的意义，根据意义即可判定．
【变式训练5-2】（2019•郴州模拟）2a+3.2＝3.2不是一个方程．　×　．（判断对错）
【思路引导】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行判断．
【完整解答】解：2a+3.2＝3.2，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程．
故答案为：×．
【考察注意点】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．
考点6：方程与等式的关系
【典例分析11】（2021秋•凤凰县期末）方程和等式的关系可以用下面（　　）图来表示．
A．B． C．
【思路引导】等式是指用“＝”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式．所以等式的范围大，而方程的范围小，它们之间是包含关系．
【完整解答】解：等式是指用“＝”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式．
方程和等式的关系可以用下图来表示：
．
故选：A．
【考察注意点】此题考查方程与等式的关系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程．
【典例分析12】（2012秋•郸城县校级月考）下列式子错误的是（　　）
A．单价×数量＝总价
B．路程×速度＝时间
C．工效×工作时间＝工作总量
【思路引导】根据单价×数量＝总价、速度×时间＝路程、工作效率×工作时间＝工作总量这几个常见答关系式即可选择．
【完整解答】解：根据题干分析可得，路程×速度＝时间是错误的，
故选：B．
【考察注意点】此题主要考查常见的等量关系，熟记常见的等量关系式是解决本题的关键．
【变式训练6-1】（2021秋•西峡县期末）方程就是等式，等式也就是方程．　×　．（判断对错）
【思路引导】含有未知数的等式叫方程．所以不含未知数的等式就不是方程，而方程一定是等式．例如等式3+2＝5，它是等式而不是方程．
【完整解答】解：方程必须是含有未知数的等式，不含有未知数的等式就不是方程．说等式就是方程，是错误的．
故答案为：×．
【考察注意点】理解等式与方程的区别与联系，是解题的关键．
【变式训练6-2】（2011秋•象山县校级期中）养殖场有789只鸡，比鸭少69只，鸭有几只？（先写等量关系式，再用两种方法列X解．）
【思路引导】设鸭有X只，
方法一：鸭的只数﹣鸡的只数＝鸡比鸭少的只数；即X﹣789＝69；
方法二：鸭的只数﹣鸡比鸭少的只数＝鸡的只数，即X﹣69＝789．
【完整解答】解：方法一：
等量关系：鸭的只数﹣鸡的只数＝鸡比鸭少的只数；
设鸭有X只；
X﹣789＝69，
X﹣789+789＝69+789，
X＝858；
方法二：
等量关系：鸭的只数﹣鸡比鸭少的只数＝鸡的只数，
设鸭有X只；
X﹣69＝789，
X﹣69+69＝789+69，
X＝858；
答：鸭有858只．
【考察注意点】解决本题，关键是找出等量关系，再根据等量关系列出方程解答．
考点6：方程与等式的关系
【典例分析11】（2021秋•凤翔县期末）笑笑打算从273里连续减去13，要计算减去多少次后结果还是13．下列方程错误的是（　　）
A．273﹣13x＝13 B．13x＝273﹣13 C．13x＝273 D．13x+13＝273
【思路引导】设笑笑要连续减去x次，连续减去x次13是13x，根据从273里减去13x次后结果还是13，列出方程求解即可．
【完整解答】解：设笑笑要连续减去x次，可列方程，
273﹣13x＝13，13x＝273﹣13，13x+13＝273
所以方程错误的是13x＝273；
故选：C．
【考察注意点】完成本题要注意分析题目中数量之间的关系，然后列出方程解答即可．
【典例分析12】．（2021春•驻马店期末）根据此图列方程，正确的有（　　）个。
①96＝5x+28；②96﹣5x＝28；③4x+28＝96；④5x＝96﹣28。

A．4 B．3 C．2 D．1
【思路引导】观察图可得，先列出方程：x+4x+28＝96，进行化简：5x+28＝96，再利用等式的性质即可。
【完整解答】解：①x+4x+28＝96
5x+28＝96
96＝5x+28
此方程正确；
②5x+28＝96
5x﹣5x+28＝96﹣5x
28＝96﹣5x
此方程正确；
③x+4x+28＝96
5x+28＝96
此方程错误；
④5x+28＝96
5x+28﹣28＝96﹣28
5x＝96﹣28
此方程正确。
所以正确的有3个。
故选：B。
【考察注意点】此题考查了方程的应用，关键是明确等式的性质：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
【变式训练7-1】（2021秋•微山县期末）方程两边同时都加上（或减去）同一个数，左右两边仍然相等．　√　． （判断对错）
【思路引导】方程是特殊的等式，所以等式的性质方程仍然适用，根据等式的性质（一）直接判断即可．
【完整解答】解：根据等式的性质可知：
方程的左右两边同时加上（或减去）同一个数，左右两边仍然相等；
故答案为：√．
【考察注意点】此题考查等式的性质：等式的左、右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左、右两边同时乘上或除以同一个数（0除外），等式仍然成立．
【变式训练7-2】（2022春•莱阳市校级期中）解方程（带*号的要写出检验过程）
*15.6+2x＝23.4
*26x﹣22＝225
x+1.5x＝17.5
8x﹣10.3×5＝4.5
x÷6.2＝8
x÷3﹣36＝2.4
【思路引导】（1）方程两边同时减去15.6，两边再同时除以2；把x的值代入方程，看能否使方程的左边等于右边，进行检验即可；
（2）方程两边同时加上22，两边再同时除以26；把x的值代入方程，看能否使方程的左边等于右边，进行检验即可；
（3）先把方程左边化简为2.5x，两边再同时除以2.5；
（4）方程两边同时加上51.5，两边再同时除以8；
（5）方程两边同时乘6.2；
（6）方程两边同时加上36，两边再同时乘3。
【完整解答】解：（1）15.6+2x＝23.4
15.6+2x﹣15.6＝23.4﹣15.6
2x＝7.8
2x÷2＝7.8÷2
x＝3.9
检验：把x＝3.9代入方程15.6+2x＝23.4，得：
15.6+2×3.9
＝15.6+7.8
＝23.4
＝方程右边
所以x＝3.9是方程15.6+2x＝23.4的解。

（2）26x﹣22＝225
26x﹣22+22＝225+22
26x＝247
26x÷26＝247÷26
x＝9.5
检验：把x＝9.5代入方程26x﹣22＝225，得：
26×9.5﹣22
＝247﹣22
＝225
＝方程右边
所以x＝9.5是方程26x﹣22＝225的解。

（3）x+1.5x＝17.5
2.5x＝17.5
2.5x÷2.5＝17.5÷2.5
x＝7

（4）8x﹣10.3×5＝4.5
8x﹣10.3×5+51.5＝4.5+51.5
8x＝56
8x÷8＝56÷8
x＝7

（5）x÷6.2＝8
x÷6.2×6.2＝8×6.2
x＝49.6

（6）x÷3﹣36＝2.4
x÷3﹣36+36＝2.4+36
x÷3＝38.4
x÷3×3＝38.4×3
x＝115.2
【考察注意点】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。
考点7：列方程解应用题（两步需要逆思考）
【典例分析13】（2021春•宁阳县期末）一堆沙，用去了30吨，剩下的吨数是用去的5倍，这堆沙有多少吨？如果设这堆沙有X吨，列方程正确的是（　　）
A．X÷5＝30 B．X﹣30＝30×5 C．5X＝30 D．X+30＝30×5
【思路引导】根据题意这道题的等量关系是：这堆沙子的总吨数﹣用去的吨数＝剩下的吨数×5，根据这个等量关系，列出方程。
【完整解答】解：根据等量关系：这堆沙子的总吨数﹣用去的吨数＝剩下的吨数×5，列方程正确的是X﹣30＝30×5。
故选：B。
【考察注意点】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：这堆沙子的总吨数﹣用去的吨数＝剩下的吨数×5，列方程解答。
【典例分析14】（2022春•莱阳市校级期中）一个仓库用大货车和小货车一起运36吨的货物，已知大货车运送的吨数是小货车的1.4倍，大货车和小货车各运送了多少吨货物？（用方程来解答）
【思路引导】根据“客车行的路程＝货车行的路程+60千米”，可以提炼这道题的等量关系是：大货车运货的质量+小货车运货的质量＝36吨，根据这个等量关系，列方程解答。
【完整解答】解：设小货车运送了x吨货物。
x+1.4x＝36
2.4x＝36
2.4x÷24＝36÷2.4
x＝15
15×1.4＝21（吨）
答：大货车运送了21吨货物；小货车运送了15吨货物。
【考察注意点】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：大货车运货的质量+小货车运货的质量＝36吨，列方程解答。
【变式训练8-1】（2021春•宁阳县期末）宁阳县成立了“文明出行”志愿者护导团队，先后有480名志愿者参与了志愿服务，其中女志愿者是男志愿者的7倍，参与服务的男女志愿者各有多少人？（用方程解答）
【思路引导】根据题意，题中的等量关系是：女志愿者的人数+男志愿者的人数＝480人，根据这个等量关系，列方程解答。
【完整解答】解：设男志愿者有x人。
7x+x＝480
8x＝480
8x÷8＝480÷8
x＝60
60×7＝420（人）
答：男志愿者有60人，女志愿者有420人。
【考察注意点】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：女志愿者的人数+男志愿者的人数＝480人，列方程解答。
【变式训练8-2】（2022春•简阳市期中）只列式不计算。

解：设上衣的价格是x元。
【思路引导】设上衣的价格是x元，根据等量关系：上衣的价格+上衣的价格×裤子比上衣的价格贵的百分率＝裤子的价格，列方程解答即可。
【完整解答】解：设上衣的价格是x元，
x+25%x＝120
1.25x＝120
x＝96
答：上衣的价格是96元。
【考察注意点】解答这些题目，关键是明确数量之间的关系和计算公式，然后再列式解答。

基础练
一．选择题
1．（2021秋•大渡口区期末）“m与n的和的9倍”可以写成（　　）
A．m+9n B．9（m+n） C．9m+n
【思路引导】由题意得出；先计算a与b的和，再乘9，要想先算和再算积，必须在加法算式上加上括号；据此解答即可．
【完整解答】解：（m+n）×9＝9（m+n）；
故选：B．
2．（2021秋•永顺县期末）当a＝（　　）时，a2＝2a．
A．1 B．2或0 C．3
【思路引导】分别把a＝0、1、2、3代入含字母的式子a2＝2a中，计算求得式子的数值，进而比较后再判断．
【完整解答】解：当a＝0时，
a2＝02＝0，2a＝2×0＝0，
因为0＝0，所以当a＝0时，a2与2a相等．

当a＝1时，
a2＝12＝1，2a＝2×1＝2，
因为1≠2，所以当a＝1时，a2与2a不相等．

当a＝2时，
a2＝22＝4，2a＝2×2＝4，
因为4＝4，所以当a＝2时，a2与2a相等．

当a＝3时，
a2＝32＝9，2a＝2×3＝6，
因为9≠6，所以当a＝3时，a2与2a不相等．

故选：B．
3．（2021春•宁阳县期末）一堆沙，用去了30吨，剩下的吨数是用去的5倍，这堆沙有多少吨？如果设这堆沙有X吨，列方程正确的是（　　）
A．X÷5＝30 B．X﹣30＝30×5 C．5X＝30 D．X+30＝30×5
【思路引导】根据题意这道题的等量关系是：这堆沙子的总吨数﹣用去的吨数＝剩下的吨数×5，根据这个等量关系，列出方程。
【完整解答】解：根据等量关系：这堆沙子的总吨数﹣用去的吨数＝剩下的吨数×5，列方程正确的是X﹣30＝30×5。
故选：B。
二．填空题
4．（2021秋•莱芜区期末）（1）妈妈有a元钱，买小米用去了28元，还剩 　（a﹣28）　元。当a等于50时，妈妈还剩 　24　元。
（2）客车每小时行m千米，货车每小时比客车多行15千米。m+15表示 　货车的速度　。
【思路引导】（1）用总钱数减去付的钱得出剩下的钱；然后把a＝50代入含有字母的式子，即可求出妈妈剩下的钱数；
（2）“m+15”表示货车每小时行的路程，即货车的速度，据此解答。
【完整解答】解：a﹣28（元）
如果a＝50时，
则剩下：a﹣28＝50﹣28＝24（元）
答：还剩 （a﹣28）元，如果a等于50时，妈妈剩下 24元；
（2）m+15表示货车每小时行的路程，即货车的速度。
故答案为：（1）（a﹣28），24；（2）货车的速度。
5．（2021春•惠阳区校级月考）如图中的等量关系是 　3个杯子的价钱+2个水壶的价钱＝98元　，可以列方程 　3x+40×2＝98　。

【思路引导】观察图可知：3个杯子的价钱+2个水壶的价钱＝98元，设一个杯子x元，据此列方程解答。
【完整解答】解：设一个杯子x元。
3x+40×2＝98
3x+80＝98
3x＝18
x＝6
答：一个杯子6元。
故答案为：3个杯子的价钱+2个水壶的价钱＝98元，3x+40×2＝98。
6．（2021春•龙岗区期末）一辆汽车从甲地开往乙地，每时行驶85千米，已经行驶了a时，还距乙地b千米，则甲、乙两地相距 　（85a+b）　千米。
【思路引导】根据题意可得等量关系式：甲、乙两地的总路程＝汽车已行的路程+剩下的路程。
【完整解答】解：一辆汽车从甲地开往乙地，每时行驶85千米，已经行驶了a时，还距乙地b千米，
则甲、乙两地相距（85a+b）千米。
故答案为：（85a+b）。
7．（2021春•罗湖区期末）用含有字母的式子填空。
（1）山上有a只绵羊，山羊比绵羊少35只，山羊有 　（a﹣35）　只，两种羊一共有 　（2a﹣35）　只。
（2）笑笑家6月份的水电费是n元，她家这个月平均每天的水电费是 　　元。
（3）一个长方形，它的长是m厘米，宽是n厘米。这个长方形的周长是 　2（m+n）　厘米，面积是 　mn　平方厘米。
【思路引导】（1）山上有a只绵羊，山羊比绵羊少35只，用绵羊的只数减35只，就是山羊的只数；绵羊只数加山羊只数，浊两种羊一共有的只数。
（2）笑笑家6月份的水电费是n元，用n元除以30，就是她家这个月平均每天的水电费。
（3）一个长方形，它的长是m厘米，宽是n厘米，根据长方形周长计算公式“长方形周长＝（长+宽）×2”，即可求出这个长方形的周长；根据长方形面积计算公式“长方形面积＝长×宽”，即可求出这个长方形的面积。
【完整解答】解：（1）山上有a只绵羊，山羊比绵羊少35只，山羊有（a﹣35）只，两种羊一共有（2a﹣35）只。
（2）笑笑家6月份的水电费是n元，她家这个月平均每天的水电费是元。
（3）一个长方形，它的长是m厘米，宽是n厘米。这个长方形的周长是2（m+n）厘米，面积是mn平方厘米。
故答案为：（a﹣35），（2a﹣35）；；2（m+n），mn。
8．（2021春•玉门市期末）淘气今年a岁，爸爸比他大25岁，爸爸今年 　（a+25）　岁；妈妈的年龄是淘气的5倍，妈妈今年 　5a　岁。
【思路引导】淘气今年a岁，爸爸比他大25岁，用淘气的今年的年龄加爸爸比他大的岁数，就是爸爸今年的年龄；妈妈的年龄是淘气的5倍，用淘气今年的年龄乘5，就是妈妈今年的年龄。
【完整解答】解：淘气今年a岁，爸爸比他大25岁，爸爸今年（a+25）岁；妈妈的年龄是淘气的5倍，妈妈今年5a岁。
故答案为：（a+25），5a。
三．判断题
9．（2021秋•沧州期末）所有的方程都是等式．　√　（判断对错）
【思路引导】方程是指含有未知数的等式，所以所有的方程都是等式是正确的．
【完整解答】解：方程是指含有未知数的等式，所以所有的方程都是等式．
故答案为：√．
10．（2021春•宁阳县期末）
等量关系式：学音乐的人数﹣学棋的人数×3＝多的4人。 　√　（判断对错）
【思路引导】根据图意可知，学音乐的人数比学棋的人数的3倍多4人，所以它们的等量关系可以写成：学音乐的人数﹣学棋的人数×3＝多的4人。
【完整解答】解：根据图意，图中的等量关系：学音乐的人数﹣学棋的人数×3＝多的4人，是正确的。
故答案为：√。
11．（2021春•宿州期末）摆一个房子需要6根小棒，摆a个房子需要6a根小棒。 　√　（判断对错）

【思路引导】用摆一个房子需要的小棒数量×房子的个数＝需要的小棒的数量。
【完整解答】解：需要的小棒的数量＝6×a＝6a。
故答案为：√。
四．应用题
12．学校购进720本故事书，比科技书的3倍少48本。学校购进科技书多少本？（先写出等量关系，再列方程解决问题）
【思路引导】根据题意，把题中的已知条件和所求问题在线段图中表示出来；先找出题中的等量关系：科技书的本数×3﹣48本＝故事书的本数，再根据这个等量关系，列方程解答。
【完整解答】解：

设学校购进科技书x本。
3x﹣48＝720
3x﹣48+48＝720+48
3x＝768
3x÷3＝768÷3
x＝256
答：学校购进科技书256本。
13．（2022春•莱阳市校级期中）4位老师带领同学们去动物园玩，成人票价是45元/人，儿童票价是30元/人，他们一共花了1020元，一共有多少名同学？（用方程来解答）
【思路引导】根据题意，这道题的等量关系是：买成人票花的钱数+买儿童票花的钱数＝1020元，根据这个等量关系，列方程解答。
【完整解答】解：设一共有x名同学。
45×4+30x＝1020
180+30x＝1020
180+30x﹣180＝1020﹣180
30x＝840
30x÷30＝840÷30
x＝28
答：一共有28名同学。
14．（2021春•惠阳区校级月考）一本故事书有x页，奇思已经看了125页，还有204页没有看。根据题意写出等量关系，再列方程解答。
【思路引导】根据题意可知：故事书的总页数﹣已经看的页数＝剩下的页数，设一本故事书有x页，据此列方程解答。
【完整解答】解：故事书的总页数﹣已经看的页数＝剩下的页数。
设一本故事书有x页。
x﹣125＝204
x＝329
答：一本故事书有329页。
15．（2022春•简阳市期中）只列式不计算。

解：设鸡有x只。
【思路引导】根据图意，这道题的等量关系是：鸡的只数﹣鸭比鸡少的只数＝鸭的只数，根据这个等量关系，列方程解答。
【完整解答】解：设鸡有x只。
x﹣20%x＝360
0.8x＝360
0.8x÷0.8＝360÷0.8
x＝450
答：鸡有450只。
16．（2021春•龙华区期末）直接写出结果。
（1）如图，请用含有字母的式子，表示出甲长方形的面积比乙长方形的面积大多少？
（2）当a＝2.4cm，b＝5cm，c＝2.5cm时，甲图形比乙图形大多少？

【思路引导】（1）根据长方表的面积计算公式，长方形的面积计算公式“长方形面积＝长×宽”，分别求甲长方形、乙长方形的面积，再把二者相减。
（2）把a＝2.4cm，b＝5cm，c＝2.5cm代入上述含有字母a、b、c的表示出甲长方形的面积比乙长方形的面积多少的式子，计算即可。
【完整解答】解：（1）a×b﹣a×c＝a（b﹣c）
（2）当a＝2.4cm，b＝5cm，c＝2.5cm时
2.4×（5﹣2.5）
＝2.4×2.5
＝6（cm²）
答：甲图形比乙图形大6cm²。
17．（2021春•庆云县期中）下面是小明家、小军家、学校和公园的位置示意图。

（1）用字母表示出从小明家到公园的距离。
（2）如果小明每分钟走60米，从家到学校需要多少分钟？从家到公园呢？
（3）小明和小军同时从学校回家。小军每分钟走80米，小明每分钟走60米，5分钟后两人相距多远？
【思路引导】（1）把小明家到学校和学校到公园距离加起来即可。
（2）根据时间＝路程÷速度，求出小明从家到学校需要的时间。
（3）根据路程＝速度×时间，求出小军和小明各自走的路程，然后相加即可。
【完整解答】解：（1）（a+b）米
答：从小明家到公园有（a+b）米。

（2）（a÷60）分钟
答：小明从家到学校需要（a÷60）分钟。

（3）80×5+60×5
＝400+300
＝700（米）
答：5分钟后两人相距700米
提高练
一．选择题
1．（2021春•龙岗区期末）根据如图列方程，正确的有（　　）个。

3x+12+x＝60；4x＝60+12；60﹣3x＝12；60＝12+4x
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路引导】根据图意，逐个分析四个方程所依据的等量关系，再判断这个方程是否正确。
【完整解答】解：3x+12+x＝60所依据的等量关系是：1个x+3个x+12只＝60只，符合图意。
4x＝60+12所依据的等量关系是：4个x＝60+12，不符合图意。
60﹣3x＝12所依据的等量关系是：60﹣3个x＝12，不符合图意。
60＝12+4x所依据的等量关系是：60＝12+4个x，符合图意。
所以正确的有2个。
故选：C。
2．（2020春•亭湖区校级期中）小明今年a岁，爸爸今年为30岁，再过5年，小明与爸爸相差（　　）岁．
A．a+5 B．35 C．5 D．30﹣a
【思路引导】要求再过5年，小明与爸爸相差的岁数，因为两个人的年龄差是一个固定不变的数，所以只要求出今年小明与爸爸相差的岁数即可得解．
【完整解答】解：因为今年小明与爸爸相差30﹣a岁
所以再过5年，小明与爸爸仍然相差30﹣a岁．
故选：D．
3．（2014•舒城县）今年小马的爸爸A岁，小马（A﹣25）岁，再过x年后，爸爸比小马大（　　）岁．
A．x B．25 C．A﹣25
【思路引导】两个人的年龄差是不会改变的，由此解决问题即可．
【完整解答】解：A﹣（A﹣25）＝25（岁）
答：再过x年后，爸爸比小马大25岁；
故选：B．
二．填空题
4．（2021秋•微山县期中）公共汽车上原来有38人，到新华路站下去x人，又上来y人，现在车上有　38﹣x+y　人．
【思路引导】根据“原来车上人数﹣下去人数+上来人数＝现在车上人数”进行解答即可．
【完整解答】解：38﹣x+y；
故答案为：38﹣x+y．
5．（2020春•法库县期末）一本书有b页，小华每天看7页，看了x天，还剩　（b﹣7x）　页没看．
【思路引导】要求还剩多少页没看，用每天看的页数乘天数，先求出已经看的页数，再从总页数里减去已经看了的页数，列式解答即可．
【完整解答】解：b﹣7x（页），
答：还剩（b﹣7x）页没看．
故答案为：（b﹣7x）．
6．写出每个式子表示的意义．
（1）3a表示：　3本书的总价格　
（2）a﹣b表示：　1本书比1支钢笔多的钱数　
（3）3a+2b表示：　3本书和2支钢笔一共的钱数　

【思路引导】（1）a表示每本书的单价，3表示书的数量，3a表示3本书的总价格．
（2）a表示每本书的单价，b表示每支钢笔的单价，所以a﹣b表示1本书比1支钢笔多的钱数；
（3）3a+2b表示3本书和2支钢笔一共的钱数．
【完整解答】解：（1）3a表示：3本书的总价格
（2）a﹣b表示：1本书比1支钢笔多的钱数
（3）3a+2b表示：3本书和2支钢笔一共的钱数
故答案为：3本书的总价格； 1本书比1支钢笔多的钱数； 3本书和2支钢笔一共的钱数．
三．判断题
7．（2020秋•台前县期末）2a＝a2．　×　（判断对错）
【思路引导】根据a2＝a×a，而2a＝a+a，据此判断即可．
【完整解答】解：a2＝a×a，2a＝a+a
所以2a≠a2．
所以原题的说法错误．
故答案为：×．
8．（2021春•交城县期末）含有未知数的等式不是方程．　×　． （判断对错）
【思路引导】根据方程的意义，含有含有未知数的等式叫做方程，即含有未知数的等式是方程，故含有未知数的等式不是方程是错误的．
【完整解答】解：含有未知数的等式不是方程是错误的，根据方程的意义，含有未知数的等式是方程．
故答案为：×．
9．（2020秋•保德县校级月考）方程两边同时减去一个相同的数，左右两边仍然相等．　√　．（判断对错）
【思路引导】等式的性质：等式两边同时加上、减去、乘上或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立；据此进行判断得解．
【完整解答】解：方程的左右两边同时减去一个相同的数，左右两边仍然相等；
故答案为：√．
四．计算题
10．（2019春•威海期末）看图列方程，并求解．

【思路引导】根据题意可知，柳树棵数×4+80棵＝松树的棵数（800棵），设柳树有x棵．据此列方程解答．
【完整解答】解：设柳树有x棵
4x+80＝800
4x+80﹣80＝800﹣80
4x＝720
4x÷4＝720÷4
x＝180
答：柳树有180棵．
11．（2015春•招远市期末）解方程．
9.8+7x＝41.3
3.6x﹣58.7＝38.5
4.8x+7.2x＝33.6
8x﹣2x+37＝82．
【思路引导】（1）根据等式的性质，方程两边同时减去9.8，再两边同时除以7求解；
（2）根据等式的性质，方程两边同时加上58.7，再两边同时除以3.6求解；
（3）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以12求解；
（4）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时减去37，再两边同时除以6求解．
【完整解答】解：（1）9.8+7x＝41.3
9.8+7x﹣9.8＝41.3﹣9.8
7x＝31.5
7x÷7＝31.5÷7
x＝4.5；

（2）3.6x﹣58.7＝38.5
3.6x﹣58.7+58.7＝38.5+58.7
3.6x＝97.2
3.6x÷3.6＝97.2÷3.6
x＝27；

（3）4.8x+7.2x＝33.6
12x＝33.6
12x÷12＝33.6÷12
x＝2.8；

（4）8x﹣2x+37＝82
6x+37＝82
6x+37﹣37＝82﹣37
6x＝45
6x÷6＝45÷6
x＝7.5．
五．应用题
12．（2020春•皇姑区期末）乐乐正在打印一份900个字的稿件，他已经打了9分钟的字，还剩360个字没打完，他每分钟打多少个字？（列方程解答）
【思路引导】根据题意可知，9分钟打的字+360个字＝900个字，设他平均每分钟打x个字，据此列方程解答。
【完整解答】解：设他平均每分钟打x个字
9x+360＝900
9x+360﹣360＝900﹣360
9x＝540
9x÷9＝540÷9
x＝60
答：他每分钟打60个字。
13．（2018春•青羊区期末）苹果有多少千克？（列方程解答）
解：设　苹果　有x千克。

【思路引导】根据图意可知，苹果的质量+苹果的质量×3+24千克＝144千克，设苹果有x千克，据此列方程解答。
【完整解答】解：设苹果有x千克，
x+3x+24＝144
4x+24＝144
4x+24﹣24＝144﹣24
4x＝120
4x÷4＝120÷4
x＝30
答：苹果有30千克。
故答案为：苹果。
14．（2019•唐山）四年级同学在这次劳动中共浇树165棵，比二年级小同学浇树棵数的4倍少7棵．二年级小同学在这次劳动中共浇树多少棵？
【思路引导】设二年级小同学浇树棵数是x棵．则四年级同学在这次劳动中共浇树165棵，用二年级小同学浇树棵数表示为4x﹣7，由此列方程进行解答即可．
【完整解答】解：设二年级小同学浇树棵数是x棵．
4x﹣7＝165；
4x＝172，
x＝43；
答：二年级小同学在这次劳动中共浇树43棵．
15．（2016春•铁西区校级月考）

（1）他们一个月（30天）共投报多少份？
（2）如果a＜b，那么一个星期两人投报的份数相差多少？
【思路引导】（1）先求出他们一天投报的份数，再乘一个月的天数，就是一个月（30天）共投报的份数；
（2）先求出他们一天两人投报的份数相差多少，再乘一个星期的天数，就是一个星期两人投报的份数相差多少．
【完整解答】解：（1）（a+b）×30＝30a+30b（份）
答：他们一个月（30天）共投报30a+30b份．

（2）（b﹣a）×7＝7b﹣7a（份）
答：一个星期两人投报的份数相差7b﹣7a份．
16．（2016春•铁西区校级月考）在一场篮球比赛中，姚明一共投中x个3分球，y个2分球．
（1）这场比赛中，姚明共得了多少分？
（2）当x＝3，y＝11时，共得多少分？

【思路引导】（1）先求出姚明3分球得的分数与2分球得的分数，进而相加就是这场比赛中，姚明共得的分数；
（2）把x＝3，y＝11代入上面含字母的式子，计算得解．
【完整解答】解：（1）x×3+y×2＝3x+2y（分）
（2）当x＝3，y＝11时
3x+2y＝3×3+2×11＝31．
答：共得31分．
17．（2021秋•安丘市期末）下面是男子110米栏赛道的示意图

第1栏至第10栏，每两栏之间的距离是相等的，问每两栏之间的距离是多少米？（用方程解）
【思路引导】首先求出第一栏至第十栏之间的距离，110﹣13.72﹣14.02＝82.26米，根据植树问题中两端都植的情况，求出第一栏至第十栏之间的间隔数是（10﹣1），再设每两栏之间的距离是x米，列方程解答即可．
【完整解答】解：设每两栏之间的距离是x米，
（10﹣1）x＝110﹣13.72﹣14.02
9x＝82.26
x＝82.26÷9
x＝9.14
答：每两栏之间的距离是9.14米