2021-2022学年吉林省长春市第六中学高二下学期线上教学反馈测试（第一学程考试）数学试题含解析

2021-2022学年吉林省长春市第六中学高二下学期线上教学反馈测试（第一学程考试）数学试题

一、单选题

1．若一组数据，，，…，的平均数为2，方差为3，则，，，…，的平均数和方差分别是（       ）

A．9，11 B．4，11 C．9，12 D．4，17

【答案】C

【分析】根据，利用平均数和方差的性质求.

【详解】由题，则，.

故选：C

【点睛】本题考查了平均数和方差的性质，属于基础题.

2．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用古典概型分别求出，，根据条件概率公式可求得结果.

【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，

则，

，

∴.

故选：D.

3．的展开式中的系数为（       ）

A． B．32 C． D．16

【答案】A

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为1，求出的值，从而可求出展开式中的系数

【详解】解：展开式的通项公式为，

令，得，

所以的展开式中的系数为，

故选：A

【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题

4．已知的展开式中含项的系数为-2，则实数（       ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】A

【分析】由题意结合二项式展开式的通项公式得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.

【详解】展开式的通项公式为，当时，；当时，，∴的展开式中含项的系数为，解得，

故选：A.

【点睛】方法点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

5．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.

【详解】甲、乙总的选课方法有：种，

甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：种，

（先选一门相同的课程有种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余门课程中选取门，另一人选取剩余的门课程即可，故有种选法）

所以概率为，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解.

6．由于新冠肺炎疫情，现有五名社区工作人员被分配到三个小区做社区监管工作，要求每人只能去一个小区，每个小区至少有一个人，则不同的分配方法有（       ）

A．150种 B．90种 C．60种 D．80种

【答案】A

【分析】本题考查排列组合的不均匀分配问题.先进行分组按照人数“3，1，1”模式或者“2，2，1”模式进行分组，再进行分配（乘以），即可求解.

【详解】若分配的三组人数分别为3，1，1，则分配方法共有（种）；

若分配的三组人数分别为2，2，1，则分配方法共有（种）；

故共有种不同的分配方法.

故选：A.

7．A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先分析A最终能获胜有两种情况，分别计算概率，再相加即得结果.

【详解】在A先胜一局的条件下，A最终能获胜有两种情况：

（1）第二局甲再次取胜，概率为；

（2）第二局甲败，第三局甲胜，概率为，

故A最终能获胜的概率为.

故选：B.

【点睛】方法点睛:

计算条件概率通常有两种方法;

(1)利用条件概率公式；(2)在事件B已经发生的前提下，相当于缩小了总事件的空间容量，再计算，或利用独立关系直接计算事件B发生后的概率情况.

8．设随机变量X的概率分布列为

则（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由分布列中所有概率和为1求得，然后利用互斥事件概率加法公式计算概率．

【详解】解：由，解得，．

故选：B．

二、多选题

9．下列结论中正确的有（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【解析】根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可.

【详解】选项A中，若，则，故A正确；

选项B中，若，则，

令，则，解得，故B正确；

选项C中，若，则，故C正确；

选项D中，若，则x，故D错误．

故选:ABC

【点睛】1.常见的基本初等函数的导数公式

(1)   (C为常数);

(2)；

(3);  ；

(4);，且)；

(5)； ，且)．

2.常用的导数运算法则

法则1： ．

法则2：．

法则3：

10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（       ）

A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种

B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种

C．甲乙不相邻的排法种数为72种

D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

【答案】ABCD

【分析】对于A利用捆绑法可求，对于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题即解.

【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确，

对于B，最左端排甲时，有种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24+18=42种,故正确，

对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有种，故正确，

对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故正确．

故选：ABCD．

11．已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（       ）

A． B．展开式中二项式系数之和为256

C．展开式中常数项为 D．展开式系数的绝对值的和为

【答案】AD

【分析】对于A选项，令二项式中的为1得到展开式的各项系数和得到，求解；对于B选项，因为二项式系数和为,由于，从而展开式中二项式系数之和为128；对于C选项，通项公式，令得到，从而得到展开式中没有常数项；对于D选项，展开式系数的绝对值的和为的展开式各项系数之和，最后在二项式中令求解即可.

【详解】令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，

所以，则，故A正确；

展开式中二项式系数之和为，故B错误；

展开式的通项为，

令，得，故展开式中无常数项，故C错误；

展开式系数的绝对值的和为的展开式各项系数之和，

令得，故D正确.

故选：AD

【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

12．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，，，则错误的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】令，求出函数的导函数，依题意可得在上单调递减，再根据指数函数、对数函数的性质判断、、的大小，最后根据函数的单调性比较大小即可；

【详解】解：令，得，

由时，，得，在上单调递减，

又，，，

可得，故，故，

故选：ABD

三、填空题

13．若，则________．

【答案】

【分析】分别令和可求得和，进而求得结果.

【详解】令，则；令，则，

．

故答案为：.

14．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你离冠军只有一步之遥”；对乙说：“你不是冠军，但你也不是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有__________种不同情况.（用数字作答）

【答案】12

【解析】由题意得：甲排第2，乙排第3或第4，其余进行全排列，即可得到答案；

【详解】由题意得：甲排第2，乙排第3或第4，其余进行全排列，

5人的名次排列可能有.

故答案为：12.

15．两台机床加工同样的零件，它们常出现废品的概率分别为和，加工出的零件放在一起，设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为________

【答案】

【分析】首先确定第一台机床和第二台机床生产的零件数占总零件的比例，由全概率公式可求得结果.

【详解】第一台机床加工的零件比第二台多一倍，

第一台机床生产的零件占据总零件的比例是，第二台机床生产的零件占据总零件的比例是，

由全概率公式得：所求概率为．

四、双空题

16．某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示.

从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为____；若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为____.

【答案】         

【解析】根据古典概型概率计算公式计算“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率，由条件概率公式计算已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率．

【详解】共有人数为，男生且有参加滑雪运动打算的人有8人，概率为，

记抽到的是男生为事件，有滑雪打算的为事件，由题意

，由（1），

∴．

故答案为：；．

【点睛】思路点睛：本题解题关键是对事件的理解，本题中事件“若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算”，可理解为“在抽到的是男生”这个条件下，事件“他有滑雪打算”这个事件发生．这是一个条件概率问题．由条件概率公式可计算．

五、解答题

17．从0，1，2，…，6这七个数字中任取三个不同的数字，分别作为函数的系数a，b，c，求：

(1)可组成多少个不同的二次函数？

(2)其中对称轴是y轴的抛物线有多少条？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二次函数的定义及特殊元素特殊位置优先考虑，再结合分

步计数原理即可求解；

（2）根据二次函数的性质得出，再利用特殊元素特殊位置优先考虑即可求解；

【详解】(1)由二次函数的定义，，则有种取法；在剩下的6个数

字中取两个作为和，有种．

所以共有二次函数（个）；

(2)由二次函数的对称轴是y轴，则，

在余下的6个数字中取两个作为和，有条.

所以对称轴是y轴的抛物线有条.

18．假定某射手每次射击命中目标的概率为．现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求：

(1)X的概率分布；

(2)均值；

(3)标准差．

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)

【分析】（1）利用相互独立事件概率计算公式即可求解；

（2）利用期望计算公式即可求出；

（3）利用方差计算公式即可求出，进而可得．

【详解】(1)解：X的可能取值为1，2，3，

因为，，．

所以的分布列为：

(2)解：；

(3)解：因为方差，

所以．

19．一个正方形花圃被分成5份．

（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法?

（2）若将6个不同的盆栽都摆放入这5个部分，且要求每个部分至少有一个盆栽，问有多少种不同的放法?

【答案】（1）72；（2）1800

【分析】（1）先对部分种植，再对部分种植，对部分种植进行分类：①若与相同，②若与不同进行讨论即可；

（2）将6个盆栽分成5组，即2-1-1-1-1，将分好的5组全排列即可.

【详解】（1）先对部分种植，有4种不同的种植方法；

再对部分种植，又3种不同的种植方法；

对部分种植进行分类：

①若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种），

②若与不同，有2种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，

共有（种），

综上所述，共有72种种植方法。

（2）将6个盆栽分成5组，则2-1-1-1-1，有种分法；

将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有（种）放法，

综上所述，共有1800种不同的放法。

【点睛】本题考查排列与组合的应用，属于涂色类的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.

20．已知的展开式中，第6项为常数项.

（1）求的值；

（2）求展开式中含的项的系数；

（3）求展开式中二项式系数最大的项.

【答案】（1），（2），（3）

【分析】（1）根据第六项为常数项，的幂指数为0，求得的值

（2）在通项公式中，令的幂指数为2，可得展开式中含的项的系数

（3）由得展开式中二项式系数最大的项为第六项，然后求出即可

【详解】（1）由题意可得为常数项

所以，即

（2）展开式的通项公式为

令，得

所以展开式中含的项的系数为

（3）因为

所以展开式中二项式系数最大的项为

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

21．某资源网推出精品资料营销数学学科新教材必修第一册共计推出48个教案，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段教案的下载量进行统计：

(1)现从48个教案中采用分层随机抽样的方式选出6个，求出下载量超过200的个数；

(2)为了更好地鼓励作者，现在在基本工资的基础上推出如下奖励措施，若下载量在区间内不予奖励，若下载量在区间内，则每个教案奖励500元；下载量超过200，则每个教案奖励1000元，现从（1）中选出的6个教案中随机取出2个教案进行奖励，求奖励金额X的分布列与均值．

【答案】(1)2个

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据分层抽样的概念即得；

（2）根据超几何分布的特点,通过分类讨论得出奖励金额的可能取值及概率与均值.

【详解】(1)根据分层随机抽样的特点，选出的下载量超过200的个数为（个）．

(2)根据分层抽样可得[0,100]，1个，(100,200]，有3个，有2个

X的可能取值为500，1000，1500，2000．

，

，

，

．

则奖励金额X的分布列为

故奖励金额X的均值．

22．设函数．

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；

（2）若对任何恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）单调递减区间为，极小值为2；（2）.

【分析】（1）求导，利用求出，代入导函数可得单调性和极值；

（2）条件等价于对任意恒成立，设，可得在上单调递减，则在上恒成立，参变分离，转化为最值问题即可求解.

【详解】（1）由条件得，

∵在点处的切线与垂直，

∴此切线的斜率为0，即，有，得，

∴，由得，由得．

∴在上单调递减，在上单调递增，

当时，取得极小值．

故的单调递减区间为，极小值为2

（2）条件等价于对任意恒成立，

设．　

则在上单调递减，

则在上恒成立，得恒成立，

∴（对仅在时成立），

故的取值范围是.