05解答题（中档题）-四川省南充市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编（共20题）

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05解答题-四川省南充市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编
一、 全等三角形的判定与性质（共4小题）
1. （2020•南充）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．

2. （2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．

3. （2019•南充）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．
（1）求证：△AOD≌△OBC；
（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．

4. （2018•南充）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．
求证：∠C＝∠E．

二、 菱形的性质（共1小题）
5. （2022•南充）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．
求证：（1）△ADE≌△CDF．
（2）ME＝NF．

三、 四边形综合题（共3小题）
6. （2022•南充）如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上动点，点P在线段AM上（不与点A重合），OP＝AB．
（1）判断△ABP的形状，并说明理由．
（2）当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N．求证：PN＝AN．
（3）点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝，当∠CPQ＝90°时，求DM的长．


7. （2021•南充）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝．
（1）求tan∠ACE；
（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．

8. （2020•南充）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM＝BN．
（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK＝x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为，请直接写出AK长．

四、 直线与圆的位置关系（共1小题）
9. （2020•南充）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．

五、 切线的判定与性质（共4小题）
10. （2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．

11. （2021•南充）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．

12. （2019•南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离．

13. （2018•南充）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）求tan∠CAB的值．

六、 旋转的性质（共1小题）
14. （2018•南充）如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．
（1）求证：AE＝C′E．
（2）求∠FBB'的度数．
（3）已知AB＝2，求BF的长．

七、 相似形综合题（共1小题）
15. （2019•南充）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．
（1）求证：CD⊥CG；
（2）若tan∠MEN＝，求的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由．

八、 列表法与树状图法（共5小题）
16. （2022•南充）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：
项目
A
B
C
D
人数/人
5
15
a
b
（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为 　 　度．
（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．

17. （2021•南充）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：

考生
自选项目
长跑
掷实心球
小红
95
90
95
小强
90
95
95
①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．
18. （2019•南充）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机地取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率．
（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y＝2x上的概率．
19. （2020•南充）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助．某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图（不完整）所示：

（1）计算赴B国女专家和D国男专家人数，并将条形统计图补充完整．
（2）根据需要，从赴A国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．
20. （2018•南充）“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛，成绩如下表：
成绩/分
7
8
9
10
人数/人
2
5
4
4
（1）这组数据的众数是　 　，中位数是　 　．
（2）已知获得10分的选手中，七、八、九年级分别有1人、2人、1人，学校准备从中随机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率．

参考答案与试题解析
一、 全等三角形的判定与性质（共4小题）
1. （2020•南充）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．

【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠ACB＝∠CED．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
2. （2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．

【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠EBA＝90°，
∴∠EBA＝∠FAC,
在△ACF和△BAE中，
,
∴△ACF≌△BAE(AAS),
∴AF＝BE．
3. （2019•南充）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．
（1）求证：△AOD≌△OBC；
（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．

【解答】（1）证明：∵点O是线段AB的中点，
∴AO＝BO，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠OBC，
在△AOD与△OBC中，，
∴△AOD≌△OBC（SAS）；
（2）解：∵△AOD≌△OBC，
∴∠ADO＝∠OCB＝35°，
∵OD∥BC，
∴∠DOC＝∠OCB＝35°．
4. （2018•南充）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．
求证：∠C＝∠E．

【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠C＝∠E．
二、 菱形的性质（共1小题）
5. （2022•南充）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．
求证：（1）△ADE≌△CDF．
（2）ME＝NF．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）知△ADE≌△CDF，
∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAM＝∠DCN，
∴∠DMA＝∠DNC，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN，
∴DE﹣DM＝DF﹣DN，
∴ME＝NF．

三、 四边形综合题（共3小题）
6. （2022•南充）如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上动点，点P在线段AM上（不与点A重合），OP＝AB．
（1）判断△ABP的形状，并说明理由．
（2）当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N．求证：PN＝AN．
（3）点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝，当∠CPQ＝90°时，求DM的长．


【解答】（1）解：△ABP是直角三角形，理由如下：
∵点O是AB的中点，
∴AO＝OB＝AB，
∵OP＝AB，
∴OP＝OA＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO，
∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO＝180°，
∴∠APO+∠BPO＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴△ABP是直角三角形；
（2）证明：如图1，延长AM，BC交于点Q，

∵M是CD的中点，
∴DM＝CM，
∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC，
∴△ADM≌△QCM（ASA），
∴AD＝CQ＝BC，
∵∠BPQ＝90°，
∴PC＝BQ＝BC，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠OPB＝∠OBP，
∴∠OBC＝∠OPC＝90°，
∴∠OPN＝∠OPA+∠APN＝90°，
∵∠OAP+∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA，
∴∠APN＝∠PAN，
∴PN＝AN；
（3）解：分两种情况：
①如图2，点M在CD上时，过点P作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，

设DM＝x，QG＝a，则CH＝a+，BH＝AG＝4﹣﹣a＝﹣a，
∵PG∥DM，
∴△AGP∽△ADM，
∴＝，即，
∴PG＝x﹣ax，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠CPH+∠QPG＝90°，
∵∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠QPG＝∠PCH，
∴tan∠QPG＝tan∠PCH，即＝，
∴PH•PG＝QG•CH，
同理得：∠APG＝∠PBH，
∴tan∠APG＝tan∠PBH，即＝，
∴PG•PH＝AG•BH＝AG2，
∴AG2＝QG•CH，即（﹣a）2＝a（+a），
∴a＝，
∵PG•PH＝AG2，
∴（x﹣x）•（5﹣x+x）＝（﹣）2，
解得：x1＝12（舍），x2＝，
∴DM＝；
②如图3，当M在DC的延长线上时，同理得：DM＝12，

综上，DM的长是或12．
7. （2021•南充）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝．
（1）求tan∠ACE；
（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．

【解答】解:(1)过点E作EM⊥AC于点M,

∴∠AME＝∠EMC＝90°,
∵四边形ABCD是边长为1的正方形,DE＝,
∴∠CAD＝45°,AE＝AD﹣DE＝1﹣＝,
∴EM＝AM＝AE•sin∠CAD＝,AC＝,
∴CM＝AC﹣AM＝﹣＝,
∴tan∠ACE＝＝＝；
(2)∵GH⊥AD,AB⊥AD,
∴GH∥AB,
∴△DHG∽△DAF,
∴,
∴,
∴y＝x﹣xy,
∴y＝(0＜x≤1)；
(3)当∠ADF＝∠ACE时,EG⊥AC,
理由如下:
∵tan∠ADF＝tan∠ACE＝,
∴,
∴x＝,y＝,
∴HA＝GH＝,
∴EH＝AD﹣DE﹣AH＝,
∴EG＝＝＝,
∴EG＝EM,
又∵EM⊥AC,
∴点G与点M重合,
∴EG⊥AC．
8. （2020•南充）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM＝BN．
（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK＝x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为，请直接写出AK长．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBM＝90°，
∵AM⊥BM，CN⊥BN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
∴∠MAB＝∠CBM，
∴△ABM≌△BCN（AAS），
∴AM＝BN；
（2）△OMN是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接OB，

∵点O是正方形ABCD的中心，
∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，
∵∠MAB＝∠CBM，
∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，
∴∠MAO＝∠NBO，
又∵AM＝BN，OA＝OB，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，
∵∠AON+∠BON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°，
∴∠MON＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形；
（3）在Rt△ABK中，BK＝＝，
∵S△ABK＝×AK×AB＝×BK×AM，
∴AM＝＝，
∴BN＝AM＝，
∵cos∠ABK＝＝，
∴BM＝＝，
∴MN＝BM﹣BN＝
∵S△OMN＝MN2＝，
∴y＝（0＜x＜1）；
当点K在线段AD上时，则＝，
解得：x1＝3（不合题意舍去），x2＝，
当点K在线段AD的延长线时，同理可求y＝（x＞1），
∴＝，
解得：x1＝3，x2＝（不合题意舍去），
综上所述：AK的值为3或时，△OMN的面积为．
四、 直线与圆的位置关系（共1小题）
9. （2020•南充）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．

【解答】解：（1）直线EF与⊙O相切，
证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝4，
∴OF＝＝6，
∵OD∥AE，
∴，
∴＝＝，
∴AE＝，ED＝，
∴tan∠EAD＝＝．

五、 切线的判定与性质（共4小题）
10. （2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠OCB+∠DCB＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：过点O作OH⊥BC于点H．
∵sin∠BAC＝＝，
∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AO＝OC＝CE＝2.5k，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝2k，
∵OA＝OB，
∴OH＝AC＝k，
∴EH＝CE﹣CH＝2.5k﹣2k＝0.5k，
∴tan∠CEO＝＝＝3．

11. （2021•南充）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．

【解答】（1）证明：∵AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°．
∵BC＝OB，
∴BC＝AB，
∴∠BAC＝∠C，
∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°，
∴∠BAC＝∠C＝30°．
∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．
∴OA⊥AC，
∵点A在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连结OF，过点O作OH⊥GF于点H．
∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°．
∵点D，E分别是AC，OA的中点，
∴OE＝AE＝OA＝×4＝2，DE∥OC．
∴∠OEH＝∠AOB＝60°，OH＝OEsin∠OEH＝．
∴HF＝＝＝．
∴GF＝2HF＝2．

12. （2019•南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离．

【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，
∵∠BDC＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝，
∴AD＝，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，
∵AO＝OC，
∴OH＝AD＝，
∴点O到CD的距离是．

13. （2018•南充）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）求tan∠CAB的值．

【解答】解：（1）如图，连接OC、BC

∵⊙O的半径为3，PB＝2
∴OC＝OB＝3，OP＝OB+PB＝5
∵PC＝4
∴OC2+PC2＝OP2
∴△OCP是直角三角形，
∴OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AB是直径
∴∠ACB＝90°
∴∠ACO+∠OCB＝90°
∵OC⊥PC
∴∠BCP+∠OCB＝90°
∴∠BCP＝∠ACO
∵OA＝OC
∴∠A＝∠ACO
∴∠A＝∠BCP
在△PBC和△PCA中：
∠BCP＝∠A，∠P＝∠P
∴△PBC∽△PCA，
∴
∴tan∠CAB＝
六、 旋转的性质（共1小题）
14. （2018•南充）如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．
（1）求证：AE＝C′E．
（2）求∠FBB'的度数．
（3）已知AB＝2，求BF的长．

【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC＝2AB，
∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠BAC＝60°，
由旋转可得：AB′＝AB，∠B′AC′＝∠BAC＝60°，
∴∠EAC′＝∠AC′B′＝30°，
∴AE＝C′E；
（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，
∴∠AB′B＝60°，即∠BB'F＝∠AB'B+∠AB'F＝150°，
∵BB'＝B'F，
∴∠FBB′＝∠B'FB＝15°；
（3）法1：解：由AB＝2，得到B′B＝B′F＝2，∠B′BF＝15°，
过B作B′H⊥BF，
在Rt△BB′H中，cos15°＝，
∵cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝×+×＝，
∴BH＝2×＝，
∴BF＝2BH＝+．
法2：连接AF，过A作AM⊥BF，
由（2）可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，
∴∠AFB′＝45°，
∴∠AFM＝30°，∠ABF＝45°，
在Rt△ABM中，AM＝BM＝AB•cos∠ABM＝2×＝，
在Rt△AMF中，MF＝＝＝，
则BF＝+．


七、 相似形综合题（共1小题）
15. （2019•南充）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．
（1）求证：CD⊥CG；
（2）若tan∠MEN＝，求的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠A＝∠DCG＝90°，
∴CD⊥CG；

（2）解：∵四边形DEFG是正方形，
∴EF＝GF，∠EFM＝∠GFM＝45°，
在△EFM和△GFM中，
∴△EFM≌△GFM（SAS），
∴EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，
在△EFH和△GFN中，，
∴△EFH≌△GFN（ASA），
∴HF＝NF，
∵tan∠MEN＝＝，
∴GF＝EF＝3HF＝3NF，
∴GH＝2HF，
作NP∥GF交EM于P，则△PMN∽△HMG，△PEN∽△HEF，
∴＝，＝＝，
∴PN＝HF，
∴＝＝＝＝；

（3）EM的长不可能为，
理由：假设EM的长为，
∵点E是AB边上一点，且∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴点G在BC的延长线上，
同（2）的方法得，EM＝GM＝，
∴GM＝，
在Rt△BEM中，EM是斜边，
∴BM＜，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BC＝1，
∴CM＞，
∴CM＞GM，
∴点G在正方形ABCD的边BC上，与“点G在BC的延长线上”相矛盾，
∴假设错误，
即：EM的长不可能为．

八、 列表法与树状图法（共5小题）
16. （2022•南充）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：
项目
A
B
C
D
人数/人
5
15
a
b
（1）a＝　20　，b＝　10　．
（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为 　108　度．
（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．

【解答】解：（1）被调查的总人数为5÷10%＝50（人），
∴b＝50×20%＝10（人），
则a＝50﹣（5+15+10）＝20，
故答案为：20、10；
（2）扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）七（1）班3人分别用A、B、C表示，七（2）班2人分别D、E表示，
根据题意列表如下：

A
B
C
D
E
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）

共有20种等可能的情况数，其中这两人来自不同班级的有12种，
则这两人来自不同班级的概率是＝．
17. （2021•南充）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：

考生
自选项目
长跑
掷实心球
小红
95
90
95
小强
90
95
95
①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．
【解答】解：（1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作A、B、C，列表如下：

A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由表可知共有9种等可能结果，其中小红和小强自选项目相同的有3种结果，
所以小红和小强自选项目相同的概率为＝；
（2）①补全条形统计图如下：

②小红的体育中考成绩为95×50%+90×30%+95×20%＝93.5（分），
小强的体育中考成绩为90×50%+95×30%+95×20%＝92.5（分）．
18. （2019•南充）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机地取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率．
（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y＝2x上的概率．
【解答】解：（1）随机的取一张卡片，抽取的卡片上的数字为负数的概率为P＝＝；
（2）画树状图如图所示：
共有16个可能的结果，点A在直线y＝2x上的结果有2个，
∴点A在直线y＝2x上的概率为P＝＝．

19. （2020•南充）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助．某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图（不完整）所示：

（1）计算赴B国女专家和D国男专家人数，并将条形统计图补充完整．
（2）根据需要，从赴A国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）赴B国女专家人数为20×40%﹣5＝3（人）
赴D国男专家人数为20×（1﹣20%﹣40%﹣25%）﹣2＝1（人）

条形统计图补充为：

（2）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数为12，
所以所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率＝＝．
20. （2018•南充）“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛，成绩如下表：
成绩/分
7
8
9
10
人数/人
2
5
4
4
（1）这组数据的众数是　8　，中位数是　9　．
（2）已知获得10分的选手中，七、八、九年级分别有1人、2人、1人，学校准备从中随机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率．
【解答】解：（1）由于8分出现次数最多，
所以众数为8，
中位数为第8个数，即中位数为9，
故答案为：8、9；

（2）画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能结果，其中恰好抽到八年级两名领操员的有2种结果，
所以恰好抽到八年级两名领操员的概率为＝．