湖南省邵阳市示范高中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

2019-2020年高一期末考试数学试题

时间：120分钟    总分:120分

1．已知数列，则是这个数列的         （    ）

A．第项 B．第项 C．第项 D．第项

2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 （    ）                            

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心（，）

C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

4．某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍.下面的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是        （    ）                               

A．从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长

B．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本

C．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本

D．2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的2倍

5．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为  (　　)

A． B． C． D．无法计算

6．                （    ）

A． B． C． D．

7．已知为的重心，，则    （    ）

A． B． C． D．

8．函数f（x）＝x2﹣2x+1的图象与函数g（x）＝3cosπx的图象所有交点的横坐标之和等于                                    （    ）                                            

A．2 B．4 C．6 D．8

9．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2等于                                      （　　）

  A．    B．   C．        D．

10．在矩形ABCD中，||＝6，||＝3.若点M是CD的中点，点N是BC的三等分点，且BN＝BC，则·＝    （    ）            

A．6 B．4 C．3 D．2

11．若面积为1的满足，则边的最小值（    ）

A．1 B． C． D．2

12．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为                                    （    ）                                       

A．第3项 B．第4项  C．第5项  D．第6项

13．2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.

14．已知向量，，且，共线，则______；

15．已知，且，则_________.

16．如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同的两点，则的值为_________．

17．(本题8分)已知.

（1）化简；

（2）若，求的值.

18．(本题8分)健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：

现随机抽取了100位会员统计它们的消费次数，得到数据如下：

假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题：

（1）估计1位会员至少消费两次的概率

（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；

19．(本题10分)已知关于x的方程的两根为，，.求：

（1）；

（2）m的值；

（3）方程的两根及此时θ的值．

20．(本题10分)记为等比数列的前项和，且，.

（1）求的通项公式；

（2）求使得成立的的最大值.

21．(本题10分)在中，分别是角的对边，向量与的夹角的余弦值为。

（1）求的值

（2）假设，求面积的最大值

22．(本题10分)设数列的前n项和为，已知，（）．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若数列满足：，．

① 求数列的通项公式；

② 是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．B

解：数列即： ，据此可得数列的通项公式为： ，

由 解得： ，即 是这个数列的第 项.

本题选择B选项.

2．C

将的图像变为的图象，需向右平移个单位长度.所以C选项正确.

故选：C

3．D

根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则

=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；

回归直线过样本点的中心（），B正确；

该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；

该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．

故选D．

4．D

对于，根据统计图分析可知，从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量分别是：15.5，38.5，43.3，58.4是逐年增长的，故是合理的；

对于，2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量按从小到大的顺序排列为：15.5，38.5，43.3，50.1，58.4，60.8，其中位数为本，故是合理的；

对于，因为最大阅读量为本，最小阅读量为本，所以极差为本，故是合理的；

对于，2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和为本，前三年纸质书人均阅读量总和为本，， 故是不合理的.

故选：D.

5．C

设阴影区域的面积为，，所以.

故选C.

6．A

.

故选：A

7．D

如图所示：

因为，所以三点共线.

又因为为的重心，所以为的中点.

故.

故选：D.

8．B

函数f（x）＝x2﹣2x+1的图象与函数g（x）＝3cosπx的图象在同一坐标系内的位置和交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

由于f（x）＝（x﹣1）2，的对称轴为x＝1，函数的图象与x轴相切，

函数g（x）的图象的最小正周期为T，函数的图象关于y轴对称，

如图所示：

所以，，

则：x1+x2+x3+x4＝4，

故选：B.

9．B

∵a1+a2+a3+…+an＝3n﹣1，①，∴a1+a2+a3+…+an+1＝3n+1﹣1，②

②﹣①得：an+1＝3n+1﹣3n＝2×3n，∴an＝2×3n﹣1.

当n＝1时，a1＝31﹣1＝2，符合上式，∴an＝2×3n﹣1．

∴，∴是以4为首项，9为公比的等比数列，

∴a12+a22+a32+…+an2=．

故选：B．

10．C

由题意，作出图形，如图所示：

由图及题意，根据向量的运算法则，可得，

，

所以

.

故选C．

11．C

解：的面积，且，

，

，

根据余弦定理得：

，

即，

可得，

，

则，

解得：，

即边的最小值为.

故选：C.

12．A

∵,

∴,则,即,

∴.

易知,

∵,

当时, ,

∴当时, ,

当时,,

又,

∴当时, 有最小值.

故选：A

13．

解：某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,

基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个.

甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个,

∴甲被选中的概率为p.

故答案为：.

14．－20

由题知：，共线，所以，解得.

所以，.

故答案为：

15．1

解：，且，则

故答案为1.

16．0

如图，连AC，取AC的中点E，连ME，NE，则分别为的中位线，所以,

所以．

由与共线，

所以，

故

．

答案：0

17．（1）（2）

（1）

（2）

.

18．（1）；（2）.

(1)根据消费次数表,估计1位会员至少消费两次的概率;

(2)第1次消费利润;

第2次消费利润;

第3次消费利润;

第4次消费利润;

这4次消费获得的平均利润:.

19．（1）；（2）；（3）或；或

由韦达定理可得，.

（1）原式

.

（2）由，

两边平方可得：

，

，.

（3）由可解方程：

，得两根和.

∴或

∵，

∴或.

20．（1）（2）

（1）设的公比为，

由已知条件得，，

解得.

故.

（2）因为，

所以，

由，得，即，

而，，

所以，即，

所以.

21．（1）；（2）

（1）由题，得，

所以，；

（2）因为，所以，

由余弦定理，得，即，

所以，即面积的最大值为.

22．（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2），

（1）解：由，得（），

两式相减，得，即（）．            

因为，由，得，所以，

所以对任意都成立，

所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．                

（2）① 由（1）知，，

由，得，                          

即，即，                           

因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．  

所以，

所以．                                              

② 设，

则，

所以，

两式相减，

得 ，

所以．                                  

由，得，即．

显然当时，上式成立，

设（），即．

因为，

所以数列单调递减，

所以只有唯一解，

所以存在唯一正整数，使得成立．