2021-2022学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知等边三角形的边长为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

4. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么“至少有个黑球”的对立事件是(    )

A. 至少有个红球 B. 至少有个黑球 C. 至多有个黑球 D. 至多个红球

5. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能独立破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在四边形中，，为的中点，交于点，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下面关于复数的说法，正确的是(    )

A. 的虚部为
B.
C. 是纯虚数
D. 在复平面内对应的点位于第四象限

10. 在中，，，分别是内角，，的对边，下列说法正确的是(    )

A. 若为锐角，则
B. 若为锐角，则
C. 若，则
D. 若，则与大小不能确定

11. 某位同学记录了次上学所用时间单位：分钟，得到如图的频率分布直方图，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 上学所用时间平均数的估计值小于
C. 上学所用时间超过分钟的概率大约为
D. 上学所用时间的众数和中位数的估计值相等

12. 已知圆锥为圆锥顶点，为底面圆心轴截面是边长为的等边三角形，则下面选项正确的是(    )

A. 圆锥的表面积为
B. 圆锥的内切球半径为
C. 圆锥的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为
D. 若为的中点，则沿圆锥的侧面由点到点的最短路程是

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 高一年级有男生人，女生有人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一全体学生中抽出一个容量为的样本，如果样本按比例分配，则应抽取______名男生．
14. 的内角，，所对的边分别是，，，其面积为，若，则______．
15. 设向量，满足，，，则______．
16. 正六棱台中，已知，，，则该正六棱台的外接球的表面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 抛掷两枚质地均匀的骰子标记为Ⅰ号和Ⅱ号，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果，求下列事件的概率．
    “两个骰子的点数之和是”；
    “Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．
18. 已知向量，，．
    若与平行，求的值；
    求与垂直的单位向量的坐标．
19. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点．
    求证：平面；
    求三棱锥的体积．

20. 角，，的对边分别是，，，已知．
    求；
    若为的中点，，求面积的最大值．
21. 通过简单随机抽样，得到户居民的月用水量数据单位：：这户居民平均用水量是，方差是其中用水量最少的户用水量为，，，，用水量最多的户用水量为，，，，．
    求个样本数据的和分位数；
    估计其它户居民的月用水量的平均数和方差．
22. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为的中点，且．
    证明：；
    若，求二面角的平面角的正切值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的四则运算，属于基础题．
直接利用复数代数形式的四则运算即可求解．

【解答】

解：，，
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用向量的数量积公式求解即可．
本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：若，，则或或，故A错误．
B.若，，则或或，故B错误．
C.若，，，则，正确．
D.若，，，则或或，故D错误．
故选：
根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．
本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．
 

4.【答案】 

【解析】解：从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，“至少有个黑球”的对立事件是“至多有一个黑球”，
故选：．
根据对立事件的定义可得．
本题考查了对立事件的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：平移到，再连接，则或其补角为异面直线与所成的角，

设正方体的棱长为，易得，
由余弦定理得，
故选：．
平移到，再连接，再解三角形即可求出答案．
本题考查了异面直线所成角的求解，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设甲、乙分别成功破译密码为事件，，
则，，
则密码不被破译的概率为，
密码被成功破译的概率为．
故选：．
利用相互独立事件概率乘法公式求解．
本题考查概率的求法，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：利用正弦定理：，
由于，，，
解得：，
由于，
所以．
故选：．
直接利用正弦定理的应用求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据在四边形中，，可得四边形为平行四边形，
因为为的中点、交于点，所以∽且相似比为：，
所以．
故选：．
根据在四边形中，，可得四边形为平行四边形，再结合为的中点、交于点，得，然后可解决此题．
本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力及数形结合能力，所以中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，的虚部为，故A错误，
对于，，故B错误，
对于，是纯虚数，故C正确，
对于，在复平面内对应的点位于第四象限，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合虚部和纯虚数的定义，复数模公式，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查虚部和纯虚数的定义，复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于：若为锐角，则，则，故A正确；
对于：由于为锐角，则，故B错误；
对于：由于，利用正弦定理：，故C正确；
对于：由于C正确，故D错误．
故选：．
直击利用余弦定理的应用判断和的结论，直接利用正弦定理判断和的结论．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形的边角关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解；选项A，由频率分布直方图得，，，选项A错误，
选项B，各组数据的频率分别为，、、、、，
上学所用时间平均数的估计，，选项B正确，
选项C，上学所用时间超过分钟的概率大约为，选项C错误，
选项D，上学所用时间的众数为，令中位数，则，解得，上学所用时间的众数和中位数的估计值相等，选项D正确，
故选：．
根据频率分别直方图，直接求平均数、众数、中位数．
本题考查了频率分别直方图的应用，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥为圆锥顶点，为底面圆心轴截面是边长为的等边三角形，
对于，圆锥的表面积为：
，故A正确；
对于，如图，圆锥的高，圆锥底面圆半径，

圆锥的内切球半径为：
，故B正确；
对于，如图，，，，则，

设，则，，，，
圆柱侧面积为：

，
当且仅当时，取等号，
圆锥的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为，故C正确；
对于，圆锥的底面圆周长，侧面展开图扇形的弧长为，
扇形的图心角，如图，

若为的中点，则沿圆锥的侧面由点到点的最短路程是，故D错误．
故选：．
利用圆锥表面积公式判断；利用圆锥内切球性质判断；利用圆锥内接圆柱判断；利用圆锥侧面展开图判断．
本题考查命题真假的判断，考查圆锥表面积公式、圆锥内切球性质、圆锥内接圆柱、圆锥侧面展开图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：高一年级有男生人，女生有人，按性别进行分层，
用分层随机抽样的方法从高一全体学生中抽出一个容量为的样本，
如果样本按比例分配，则应抽取：名男生．
故答案为：．
利用分层抽样的性质直接求解．
本题考查分层抽样的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
可得，即，
又，
所以．
故答案为：．
由题意利用三角形的面积公式以及余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，即可求解的值．
本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，，
，，，
答案为：．
运用向量模的计算公式直接求解．
本题考查了向量模及数量积的计算，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，设上底面中心为，下底面中心为，连接，，，则垂直于上下底面，

连接，，则，，
由题意可得，
作垂足为，则，，
连接，，则，
故，即为钝角，
由于正六棱台外接球球心位于平面上，
故设正六棱台外接球球心为，则在的延长线上，
设外接球半径为，故，
即，，解得，，
故该正六棱台的外接球的表面积为，
故答案为：．
求出正六棱台的高，判断外接球球心位置，列出方程求得外接球半径，即可求得答案．
本题考查了正六棱台的外接球的表面积计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：投掷两枚质地均匀的骰子，基事件共有个不同结果，
“两个骰子的点数之和是”包含的基本事件有：
，，，，共个，
“两个骰子的点数之和是”的概率．
“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”，
事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，
，，，，，共个，
“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数“的概率为． 

【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式能求出结果；
利用列举法，结合古典概型概率计算公式能求出结果．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：根据题意，向量，，则，
若与平行，则有，
解可得：，
根据题意，设要求向量为，且，
则有，解可得或，
故要求向量的坐标为或 

【解析】根据题意，求出的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于的方程，解可得答案；
根据题意，设要求向量为，且，由向量数量积的坐标计算公式可得关于、的方程，解可得、的值，即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行和垂直的性质，属于基础题．
 

19.【答案】证明：连接，交于，可得为的中点，连接，
又为的中点，，
平面，平面，
平面；
解：由已知，，
得，则，
到的距离，而为的中点，则到的距离为，
又平面平面，则到平面的距离为，
．
故三棱锥的体积为． 

【解析】连接，交于，连接，可得，进一步得到平面；
由已知，，求解三角形可得，进一步求出到平面的距离，然后利用等体积法求三棱锥的体积．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
 

20.【答案】解：因为，由正弦定理可得：，
整理可得：，
在三角形中，，
所以，
整理可得，
而，所以可得，
解得；
为的中点，所以，由可得，，
所以，当且仅当时取等号，
所以可得，即，
所以，
所以面积的最大值为． 

【解析】由正弦定理及两角差的正弦公式可得角的大小；
由为中线，可得的表达式，两边平方，再由均值不等式可得的最大值，代入三角形的面积公式，可得三角形面积的最大值．
本题考查正弦定理及三角形面积公式的应用，均值不等式的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：，则分位数是第项数据，为；
，则分位数是第项和项数据的平均数，为；
设其它个样本为，，，，，，平均数记为，
，
所以，则其它户的用水量的平均数；
户居民的月均用水量数据的方差记为，所求户居民的月均用水量数据的方差记为，
，
解得，
所以，
所以这户的用水量的平均数，方差为． 

【解析】由百分位数的定义，直接求解；
先求出户居民的月总用水量，利用平均数的定义直接求解；利用方差与期望的关系式，分别列出户居民和其它户居民的关系式，求解即可．
本题考查了百分位数的定义和方差与期望的关系式，属于中档题．
 

22.【答案】证明：平面，平面，
，，，平面，
平面，又平面，
；
解：记与交于，过作于，连接，

由知平面，为二面角的的平面角，
设，可得，，
由为的中点，可得，
所以，，
，所以．
，，，
所以，
，，，可求得，
∽，
，，
在中，．
二面角的平面角的正切值为． 

【解析】由已知易证平面，进而可证；
记与交于，过作于，连接，则为二面角的的平面角，设，利用，可求，从而可求二面角的平面角的正切值．
本题考查线线线垂直的证明，考查面面角的正切值的求法，属中档题．