2020-2021学年河北省唐山市高一（下）3月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省唐山市高一（下）3月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=x|x2−3x−10<0，B=x|−3≤2x−1≤13，则A∩B=( )
A.[−1,5）B.−1,5C.(−2,7]D.−2,7

2. 函数fx=lnx+23x−1的定义域为( )
A.[−2,0)∪(0,+∞)B.−2,0∪0,+∞
C.−2,+∞D.−2,0

3. cs17π12=( )
A.−32B.−6+24C.6−24D.2−64

4. 已知幂函数fx=m2−2m−2xm在区间−∞,0上单调递减，则f2=( )
A.12B.4C.2D.14

5. 由于正六边形兼具美感与稳定性，许多建筑中都出现正六边形．下图阁楼的底面是边长为6m的正六边形，则该阁楼底面的面积为( )

A.483m2B.423m2C.363m2D.543m2

6. 已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccsB>a，则△ABC的形状一定是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形

7. 某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏．某科研部门在水域中投放一定面积的该植物，研究发现该植物在水面的覆盖面积y（单位：m2）与经过的时间（单位：月，t∈N）的关系式为y=8×43t，则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1000倍需要的时间约为( )
参考数据：lg43≈0.125.
A.20个月B.22个月C.24个月D.26个月

8. 已知△ABC是边长为4的正三角形，O是△ABC内（含边界）任意一点，2AO→⋅AB→+AO→⋅BC→的最大值为( )
A.12B.24C.63D.83
二、多选题

已知A，B，C是平面内三个不同的点，则下列结论中，正确的有( )
A.BC→−AC→=BA→
B.BC→+AC→=BA→
C.AC→+CB→=AB→
D.若AC→=CB→，则点C为线段AB的中点

已知函数fx=Acs2x+φ+bA>0,0<φ<π的部分图象如图所示，则( )

A.A=2
B.点7π12,1是fx图象的一个对称中心
C.φ=π6
D.直线x=π3是fx图象的一条对称轴

已知a>0，若x2+a−1x−a<0是|2x−1|<3的充分不必要条件，则a的取值可以是( )
A.12B.2C.1D.4

已知定义在R上的偶函数fx满足fx+1+f−x+1=6，且当x∈0,1时，fx=4x−1，则( )
A.fx+2=fxB.fx+4=fxC.f7=3D.f20212=5
三、填空题

已知P=a2+2a，Q=4a−2，则P________Q．（填“>”或“<”）

已知向量a→=x,3，b→=2,4，若a→⊥b→，则|a→+b→|=______．

以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB的长度为π，则该勒洛三角形的面积为________．


已知3m=5n=10，则lg6=________．（用含m，n的式子表示）
四、解答题

在①α为第一象限角，且csπ4−α+sinπ4−α=255；②角π2+α的终边经过点P(−23,32)；③α为第一象限角，且sin2α−π2=15这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．
问题：已知________，tanα+β=6，求tanβ的值．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．

已知函数fx=ax+ka−x的图象关于y轴对称，且f1=52．
(1)求a，k的值；

(2)若a>k，且正数m，n满足m+n=a+k，求1m+4n的最小值．

如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=8，且CD→=13CB→，AD→=xAB→+yAC→．

(1)求x，y的值；

(2)求AD→⋅BC→．

已知函数fx=lgax+1+13,x>0x2−ax+a,x≤0 （a>0，且a≠1）．
(1)若a=3，求fx在区间−2,8上的值域；

(2)若fx是其定义域上的减函数，求a的取值范围．

如图，为了测量河内A，B两处浮标之间的距离，测量员分别在河岸一侧相距600m的C，D两个测量点进行测量．已知测量员在C处测得cs∠BCD=35，tan∠ACD=23，在D处测得∠BDC=∠BCD，∠ADC=π2，求河内A，B两处浮标之间的距离．


已知ω>0，向量m→=csωx,1，n→=23sinωx,cs2ωx−2，函数fx=m→⋅m→+n→．
(1)若fx的最小正周期为π，求fx的单调递增区间；

(2)将fx图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=gx的图象，若gx在区间π6,2π3上存在零点，求ω的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省唐山市高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
因为 A={x|−2【解答】
解：因为A=x|x2−3x−10<0={x|−2B=x|−3≤2x−1≤13={−1≤x≤7}，
所以A∩B=[−1,5) .
故选A .
2.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知x+2>0，3x−1≠0，
解得x>−2且x≠0 .
故选B .
3.
【答案】
D
【考点】
诱导公式
两角和与差的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：cs17π12=−cs5π12=−csπ4+π6
=−csπ4csπ6+sinπ4sinπ6=2−64 .
故选D .
4.
【答案】
A
【考点】
幂函数的性质
函数的求值
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知，m2−2m−2=1，
解得m=3或m=−1．
又fx在区间−∞,0上单调递减，
所以m=−1，即fx=x−1，
故f2=2−1=12 .
故选A .
5.
【答案】
D
【考点】
函数模型的选择与应用
正弦定理
【解析】

【解答】
解：因为正六边形的边长为6m，
所以面积S=6×34×6×6=543(m2)．
故选D．
6.
【答案】
C
【考点】
三角形的形状判断
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
无
【解答】
解：因为ccsB>a，
所以sinCcsB>sinA=sinB+C
=sinBcsC+sinCcsB，
即sinBcsC<0.
又sinB>0，
所以csC<0，
故△ABC的形状一定是钝角三角形．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
对数的运算性质
指数式与对数式的互化
【解析】
首先求刚开始投放的面积，再根据公式求解8×432=8×1000的+值．
【解答】
解：刚投放时的面积为y=8×430=8，
设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1000倍，
则8×43t=8×1000，
t=lg431000=3lg43≈30.125=24.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：2AO→⋅AB→+AO→⋅BC→=AO→⋅(2AB→+BC→)=AO→⋅(AB→+AC→) .
如图，在△ABC中，D为BC的中点．O是△ABC内（含边界）任意一点．OO′⊥AD，垂足为O′，
则AO→⋅(AB→+AC→)=2AO→⋅AD→
=2|AO→||AD→|cs∠OAD=2|AO′||AD|．
故当点O′与点D重合，即点O在BC上时，2|AO′||AD|最大．
又△ABC的边长为4，
所以该最大值为2×23×23=24 .
故选B .
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量的共线定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：BC→−AC→=BC→+CA→=BA→，A正确；
AC→+CB→=AB→，C正确；B错误；
因为AC→=CB→，
所以AC→=12AB→，点C在线段AB的中点处，D正确．
故选ACD.
【答案】
A,B,D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
无
【解答】
解：A．因为A>0，所以A+b=3,−A+b=−1,解得A=2,b=1,，A正确；
C．f0=2csφ+1=2，则csφ=12．又0<φ<π，所以φ=π3，C错误；
D．fx=2cs2x+π3+1，令2x+π3=kπ，k∈Z，解得x=−π6+kπ2，k∈Z，所以fx图象的对称轴方程为x=−π6+kπ2，k∈Z，令k=1，则x=π3，D正确；
B．令2x+π3=π2+kπ，k∈Z，解得x=π12+kπ2，k∈Z，令k=1，则x=7π12且f7π12=1，故B正确．
故选ABD．
【答案】
A,C
【考点】
一元二次不等式的解法
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由x2+a−1x−a=x−1x+a<0，
得−a由|2x−1|<3，解得−1依题意可得−1≤−a<0，即0故选AC．
【答案】
B,C,D
【考点】
函数的周期性
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx是R上的偶函数，且fx+1+f−x+1=6，
所以fx+1−3=−f−x+1+3=−[f(x−1)−3]，
故fx+3−3=fx−1−3，
即fx+4=fx，A错误，B正确；
f7=f4×2−1=f−1=f1=3，C正确；
f20212=f4×252+52
=f52=6−f−12=6−f12=5，D项正确．
故选BCD．
三、填空题
【答案】
>
【考点】
不等式比较两数大小
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为P−Q=a2+2a−(4a−2)=(a−1)2+1>0．
所以P>Q．
故答案为：>．
【答案】
65
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为a→⊥b→，
所以2x+12=0，
解得x=−6，
所以a→+b→=(−4,7)，|a→+b→|=65．
故答案为：65．
【答案】
9π−932
【考点】
扇形面积公式
弧长公式
【解析】
无
【解答】
解：设等边三角形ABC的边长为a，则π3a=π，解得a=3，所以该勒洛三角形的面积
S=3×32π−2×12×3×332=9π−932．
故答案为：9π−932．
【答案】
1m−1n+1（或mn−m+nmn）
【考点】
对数的运算性质
指数式与对数式的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为3m=5n=10，
所以m=lg310，n=lg510，
所以1m=lg3，1n=lg5，
lg6=lg3+lg2=lg3+1−lg5=1m−1n+1 .
故答案为：1m−1n+1（或mn−m+nmn）.
四、解答题
【答案】
解：选择①，csπ4−α+sinπ4−α=2csα=255，
解得csα=105．
因为α为第一象限角，
所以sinα=1−cs2α=155，tanα=sinαcsα=62．
又tanα+β=6，
所以tanβ=tan[(α+β)−α]
=tanα+β−tanα1+tanα+βtanα=6−621+6×62=68．
选择②，因为角π2+α的终边经过点P(−23,32)．
所以tanπ2+α=sinπ2+αcsπ2+α=−1tanα=−3223=−62，
所以tanα=63．
又tanα+β=6．
所以tanβ=tanα+β−α
=tanα+β−tanα1+tanα+βtanα=6−631+6×63=269．
选择③，sin2α−π2=−cs2α=1−2cs2α=15，
解得cs2α=25．
因为α为第一象限角，
所以csα=105，sinα=1−cs2α=155，tanα=62．
又tanα+β=6，
所以tanβ=tanα+β−α
=tanα+β−tanα1+tanα+βtanα=6−621+6×62=68．
【考点】
任意角的三角函数
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正切公式
二倍角的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：选择①，csπ4−α+sinπ4−α=2csα=255，
解得csα=105．
因为α为第一象限角，
所以sinα=1−cs2α=155，tanα=sinαcsα=62．
又tanα+β=6，
所以tanβ=tan[(α+β)−α]
=tanα+β−tanα1+tanα+βtanα=6−621+6×62=68．
选择②，因为角π2+α的终边经过点P(−23,32)．
所以tanπ2+α=sinπ2+αcsπ2+α=−1tanα=−3223=−62，
所以tanα=63．
又tanα+β=6．
所以tanβ=tanα+β−α
=tanα+β−tanα1+tanα+βtanα=6−631+6×63=269．
选择③，sin2α−π2=−cs2α=1−2cs2α=15，
解得cs2α=25．
因为α为第一象限角，
所以csα=105，sinα=1−cs2α=155，tanα=62．
又tanα+β=6，
所以tanβ=tanα+β−α
=tanα+β−tanα1+tanα+βtanα=6−621+6×62=68．
【答案】
解：(1)因为fx的图象关于y轴对称，所以f(−x)=f(x)，
即ax+ka−x=a−x+kax，则k=1，
又f(1)=52，所以a+1a=52,
解得a=2或a=12 .
(2)由题可知m+n=3，
所以1m+4n=13(m+n)(1m+4n)
=131+nm+4mn+4≥3 .
当且仅当m=1，n=2时取等号，
故1m+4n的最小值为3 .
【考点】
函数奇偶性的性质
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为fx的图象关于y轴对称，所以f(−x)=f(x)，
即ax+ka−x=a−x+kax，则k=1，
又f(1)=52，所以a+1a=52,
解得a=2或a=12 .
(2)由题可知m+n=3，
所以1m+4n=13(m+n)(1m+4n)
=131+nm+4mn+4≥3 .
当且仅当m=1，n=2时取等号，
故1m+4n的最小值为3 .
【答案】
解：(1)因为CD→=13CB→，
所以AD→=AC→+CD→=AC→+13CB→．
又CB→=AB→−AC→，
所以AD→=AC→+13(AB→−AC→)=13AB→+23AC→，
故x=13，y=23．
(2)在Rt△ABC中，
由余弦定理得，cs∠CAB=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=−14．
由(1)得AD→⋅BC→=13AB→+23AC→⋅AC→−AB→
=23AC→2−13AB→2−13AB→⋅AC→
=23|AC→|2−13|AB→|2−13|AB→|⋅|AC→|cs∠CAB．
=23×42−13×62−13×4×6×−14=23．
【考点】
向量在几何中的应用
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量数量积
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为CD→=13CB→，
所以AD→=AC→+CD→=AC→+13CB→．
又CB→=AB→−AC→，
所以AD→=AC→+13(AB→−AC→)=13AB→+23AC→，
故x=13，y=23．
(2)在Rt△ABC中，
由余弦定理得，cs∠CAB=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=−14．
由(1)得AD→⋅BC→=13AB→+23AC→⋅AC→−AB→
=23AC→2−13AB→2−13AB→⋅AC→
=23|AC→|2−13|AB→|2−13|AB→|⋅|AC→|cs∠CAB．
=23×42−13×62−13×4×6×−14=23．
【答案】
解：(1)当x∈(0,8]时，fx=lg3x+1+13单调递增，且lg31=0，lg39=2，
则fx∈13,73．
当x∈−2,0时，fx=x2−3x+3单调递减，且f−2=13，f0=3，
则fx∈3,13．
故fx在区间−2,8上的值域为13,73∪[3,13]．
(2)因为fx是其定义域上的减函数，
所以0解得13≤a<1．
故a的取值范围为13,1．
【考点】
函数的值域及其求法
已知函数的单调性求参数问题
【解析】

【解答】
解：(1)当x∈(0,8]时，fx=lg3x+1+13单调递增，且lg31=0，lg39=2，
则fx∈13,73．
当x∈−2,0时，fx=x2−3x+3单调递减，且f−2=13，f0=3，
则fx∈3,13．
故fx在区间−2,8上的值域为13,73∪[3,13]．
(2)因为fx是其定义域上的减函数，
所以0解得13≤a<1．
故a的取值范围为13,1．
【答案】
解：在△BCD中，因为∠BDC=∠BCD，
所以BC=BD.
又CD=600，
所以cs∠BCD=CD2BC=300BC=35，解得BC=500.
在△ACD中，因为∠ADC=π2，
所以tan∠ACD=ADCD=AD600=23，
所以AD=400，AC=AD2+CD2=20013.
cs∠ACB=cs∠BCD−∠ACD
=cs∠BCDcs∠ACD+sin∠BCDsin∠ACD
=35×60020013+45×40020013=171365．
在△ABC中，根据余弦定理可得，
AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcs∠ACB．
=520000+250000−2×20013×500×171365=90000，
解得AB=300，即河内A，B两处浮标之间的距离为300m．
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在△BCD中，因为∠BDC=∠BCD，
所以BC=BD.
又CD=600，
所以cs∠BCD=CD2BC=300BC=35，解得BC=500.
在△ACD中，因为∠ADC=π2，
所以tan∠ACD=ADCD=AD600=23，
所以AD=400，AC=AD2+CD2=20013.
cs∠ACB=cs∠BCD−∠ACD
=cs∠BCDcs∠ACD+sin∠BCDsin∠ACD
=35×60020013+45×40020013=171365．
在△ABC中，根据余弦定理可得，
AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcs∠ACB．
=520000+250000−2×20013×500×171365=90000，
解得AB=300，即河内A，B两处浮标之间的距离为300m．
【答案】
解：(1)因为m→=csωx,1，n→=23sinωx,cs2ωx−2，
所以fx=m→⋅m→+n→
=csωxcsωx+23sinωx+cs2ωx−1
=23sinωxcsωx+2cs2ωx−1
=3sin2ωx+cs2ωx
=2sin2ωx+π6．
因为fx的最小正周期为π，ω>0，
所以2π2ω=π，解得ω=1，即fx=2sin2x+π6．
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
故fx的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z) ．
(2)由题可知，gx=fx2=2sinωx+π6.
设gx的最小正周期为T，
若T2=πω≤2π3−π6，即ω≥2，
则gx在区间π6,2π3上至少存在一个零点．
若T2=πω>2π3−π6，即0<ω<2，
因为π6≤x≤2π3，
所以ωx+π6∈ωπ6+π6,2ωπ3+π6，
ωπ6+π6∈π6,π2，2ωπ3+π6∈π6,3π2．
要使gx在区间π6,2π3上存在零点，
则 ωπ6+π6≤π,2ωπ3+π6≥π， 解得54≤ω<2.
综上所述，ω的取值范围为[54,+∞)．
【考点】
两角和与差的正弦公式
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
正弦函数的单调性
正弦函数的周期性
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】

【解答】
解：(1)因为m→=csωx,1，n→=23sinωx,cs2ωx−2，
所以fx=m→⋅m→+n→
=csωxcsωx+23sinωx+cs2ωx−1
=23sinωxcsωx+2cs2ωx−1
=3sin2ωx+cs2ωx
=2sin2ωx+π6．
因为fx的最小正周期为π，ω>0，
所以2π2ω=π，解得ω=1，即fx=2sin2x+π6．
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
故fx的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z) ．
(2)由题可知，gx=fx2=2sinωx+π6.
设gx的最小正周期为T，
若T2=πω≤2π3−π6，即ω≥2，
则gx在区间π6,2π3上至少存在一个零点．
若T2=πω>2π3−π6，即0<ω<2，
因为π6≤x≤2π3，
所以ωx+π6∈ωπ6+π6,2ωπ3+π6，
ωπ6+π6∈π6,π2，2ωπ3+π6∈π6,3π2．
要使gx在区间π6,2π3上存在零点，
则 ωπ6+π6≤π,2ωπ3+π6≥π， 解得54≤ω<2.
综上所述，ω的取值范围为[54,+∞)．