2022年山东省菏泽市单县中考数学三模试卷（含解析）

2022年山东省菏泽市单县中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 一列数，，，，，，的平均数是，则中位数和众数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 已知二元一次方程组，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，则的值是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连结，则的值为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，是的外接圆，交于点，垂足为点，，的延长线交于点若，，则的长是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，二次函数的图象经过点，，与轴交于点下列结论：
   ；
   当时，随的增大而增大；
   ；
   ．
   其中正确的个数有

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 若一个扇形的圆心角为，面积为，则这个扇形的弧长为______结果保留．
10. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______．
11. 关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围是______ ．
12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为______．
13. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点，则矩形的面积为______．
    
    
     

14. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是______．
     

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 计算：．
16. 先化简，再求值：，其中，满足．
17. 如图，在和中，，．
    求证：∽；
    若：：，，求的长．

18. 由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于年月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛在北偏东方向上，航行海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，小岛周围海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
19. 如图，已知反比例函数的图象和一次函数的图象都过点，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，的面积为．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为，过作轴的垂线，垂足为，求五边形的面积．
20. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
21. 我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
    根据图中信息，解答下列问题：
    此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______度；
    补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
    若该校有名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
    李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率．
22. 如图，已知是的直径，为上一点，的角平分线交于点，在直线上，且，垂足为，连接、．
    求证：是的切线；
    若，的半径为，求的长．

23. 如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
    观察猜想：
            图中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； 
    探究证明：
           把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； 
    拓展延伸：
           把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

24. 综合与探究
    如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和．
    求抛物线的解析式；
    点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点的坐标为______．
    点是第四象限内抛物线上的动点，连接和求面积的最大值及此时点的坐标；
    若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由数轴可知，
，，
，故B项正确，
，故A项错误，
，故C项错误，
，故D项错误．
故选：．
根据，两点的正负以及绝对值大小即可进行判断．
本题主要考查数轴上点的特点以及有理数的运算法则，解题的关键在于正确判断，的正负，以及绝对值的大小．
 

2.【答案】

【解析】解：数据，，，，，，的平均数是，
，
解得，
按照从小到大的顺序排列为，，，，，，，排在正中间的是，故中位数是，
在这组数据中出现了三次，次数最多，
众数是．
故选：．
先根据平均数的定义求出的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数和出现次数最多的数即可．
此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

3.【答案】

【解析】解：，故A选项不符合题意；
B.，故B选项不符合题意；
C.，故C选项符合题意；
D.，故D选项不符合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，二次根式的性质以及完全平方公式逐一判断即可．
本题考查二次根式的性质、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，牢记完全平方公式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算，注意二次根式的化简是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：，
，得，
两边都除以得：，
故选：．
得出，再方程两边都除以即可．
本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，
原式，
故选：．
把变形为，两个条件相乘得，整体代入求值即可．
本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是：把变形为，两个条件相乘得，整体代入求值．
 

6.【答案】

【解析】解：，，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
，
故选：．
在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数定义等知识，利用勾股定理求出长是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：由题知，为直径，
，
，
，
，
为三角形的中位线，
，
又，
，
，
，点是中点，
是三角形的中位线，
，
故选：．
由题知，为直径，得，且是的中位线，是三角形的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：把点，代入二次函数，
可得二次函数的解析式为：，
该函数开口方向向下，
，
，，
，，错误，正确；
对称轴为直线：，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；错误；
当时，函数取得最大值，即对于任意的，有，
，故正确．
综上，正确的个数有个，
故选：．
把点，代入二次函数，可得二次函数的解析式为：，由图象可知，函数图象开口向下，所以，可得和的符号，及和的数量关系；由函数解析式可得函数对称轴为直线：，根据函数的增减性和最值，可判断和的正确性．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．
 

9.【答案】

【解析】解：设扇形的半径为，弧长为，
根据扇形面积公式得；，
解得：，
扇形的面积，
解得：
故答案为：．
首先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积，即可得出弧长．
本题考查了扇形的面积公式：为扇形的弧长，为半径，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：把代入方程得到，
解得：或，

，
故答案为：．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把代入方程求解可得的值．
本题考查的是一元二次方程的解的定义，解题的关键是正确的代入求解，属于基础题型．
 

11.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组恰好有个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
先解不等式组得出，根据不等式组恰有个整数解得出，解之即可得出答案．
本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式组．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形变化 平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用平移的性质解决问题即可．
【解答】
解： ， ，
点 向右平移 个单位得到 ，
，
点 向右平移 个单位得到 ，
故答案为 ．   

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查反比例函数 的几何意义，利用条件用 点坐标表示出 点坐标是解题的关键．
可设 点坐标为 ，则可表示出 点坐标，从而可表示出矩形 的面积，利用 可求得答案．
【解答】
解：设 ，
反比例函数 的图象经过点 ，
，
为 的中点，
，
， ，
，
故答案为 ．   

14.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，且，
，
将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，
，，，，
发现是次一循环，所以，
点的坐标为
故答案为
探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
 

15.【答案】解：原式

．

【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：原式，
，
，
，满足，
，，
，，
原式．

【解析】本题考查了分式的化简求值，非负数的性质，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键，属于基础题．
先化简分式，然后将、的值求出代入计算即可．
 

17.【答案】证明：．
，
，
又，
∽；
∽；
，
又，
．

【解析】由两角相等的两个三角形相似可判断∽；
由相似三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与判定，证明∽是本题的关键．
 

18.【答案】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，
理由如下：过点作，垂足为，
根据题意可知，，
，
，
，
在中，，，，
，
，
渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．

【解析】过作于点，求出和，根据等边对等角得出，根据含锐角三角函数的定义，求出即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 

19.【答案】解：过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，的面积为．
，
，
在第一象限，
，
反比例函数的解析式为；
反比例函数的图象过点，
，
，
次函数的图象过点，
，解得，
一次函数的解析式为；

设直线交轴、轴于、两点，
，，
解得或，
，，
，，，，
五边形的面积为：．

【解析】根据系数的几何意义即可求得，进而求得，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
设直线交轴、轴于、两点，求出点、的坐标，然后联立方程求得、的坐标，最后根据，根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及反比例函数系数的几何意义，求得交点坐标是解题的关键．
 

20.【答案】解：设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每件售价应定为元．

【解析】设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用该种小商品的日销售利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】，
绿色部分的人数为人，
补全图形如下：

估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数人；
列表如下：

由表格知，共有种等可能结果，其中恰好抽中，两人的有种结果，
所以恰好抽中，两人的概率为．

【解析】解：此次调查一共随机采访学生名，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：，；
见答案
见答案
见答案
由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中，两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：如图，连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，即，
是的切线；
是的直径，
，
，则，
在中，，，
，即，
解得，
由知是的切线，
，
，
，
，则，
在中，，
由勾股定理可得，，即，
解得，则，
由知，
，即，解得．

【解析】连接，则，平分，则，所以，又，则，所以是的切线；
在中，，则，由勾股定理可得，，即，解得，在中，，由勾股定理可得，，即，解得，则，由知，，即，解得．
本题主要考查切线的性质和判定，三角函数，勾股定理，平行线分线段成比例等内容，要判定切线需证明垂直，作出正确的辅助线是解题关键．
 

23.【答案】解：； 
是等腰直角三角形．
理由如下：
由旋转知，，
，，
≌，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，


，
，
，
，
是等腰直角三角形；

方法：如图，

同的方法得，是等腰直角三角形，
最大时，的面积最大，
且在顶点上面，
最大，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
方法：由知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．

【解析】

【分析】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解 的关键是判断出 ， ，解 的关键是判断出 ≌ ，解 的关键是判断出 最大时， 的面积最大．
利用三角形的中位线得出 ， ，进而判断出 ，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出 得出 ，最后用互余即可得出结论；
先判断出 ≌ ，得出 ，同 的方法得出 ， ，即可得出 ，同 的方法即可得出结论；
方法 ：先判断出 最大时， 的面积最大，进而求出 ， ，即可得出 最大 ，最后用面积公式即可得出结论．方法 ：先判断出 最大时， 的面积最大，而 最大是 ，即可得出结论．
【解答】
解： 点 ， 是 ， 的中点，
， ，
点 ， 是 ， 的中点，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
见答案   

24.【答案】解：，，
，，
抛物线过点、，
，
解得：，
抛物线解析式为；
；
过点作轴于点，交直线与点，

设，则
，



，
当时，面积最大，
，
点坐标为时，面积最大，最大值为；
存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形．
，，
，
若为菱形的边长，如图，

则且，
，，；
若为菱形的对角线，如图，则，，

设，
，
解得：，
，
综上所述，点坐标为，，，

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，一次方程 组 的解法，菱形的性质，勾股定理．第 题对菱形顶点存在性的判断，以确定的边 进行分类，再画图讨论计算．
由 ， 得到 ， ，用待定系数法即求得抛物线解析式．
由点 在抛物线对称轴上运动且 、 关于对称轴对称可得， ，所以当点 、 、 在同一直线上时， 周长最小．求直线 解析式，把对称轴的横坐标代入即求得点 纵坐标．
过点 作 轴于点 ，交直线 与点 ，设点 横坐标为 ，则能用 表示 的长． 面积拆分为 与 的和，以 为公共底计算可得 ，把含 的式子代入计算即得到 关于 的二次函数，配方即求得最大值和 的值，进而求得点 坐标．
以 为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的性质确定点 在坐标．
【解答】
解： 见答案；
当 时， ，解得： ，
，抛物线对称轴为直线
点 在直线 上，点 、 关于直线 对称
， ，
当点 、 、 在同一直线上时， 最小，
设直线 解析式为 ，
，解得： ，
直线 ： ，
，
，
故答案为 ；

见答案；
见答案．