2020-2021学年山东省威海市高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年山东省威海市高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）函数的定义域为　　

A． B． C． D．

2．（5分）下列运算错误的是　　

A． B． 

C． D．

3．（5分）现有5位代表参加疫情防控表彰大会，并排坐在一起，其中甲乙不相邻，则不同的坐法有　　

A．24种 B．36种 C．48种 D．72种

4．（5分）已知随机变量，随机变量，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）将8本不同的课外书分别装到3个相同的手提袋中，其中一袋放2本，另两袋各放3本，则不同的装法有　　

A．280种 B．300种 C．450种 D．560种

6．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

7．（5分）根据一组样本数据为，，，，，，的散点图判断，变量关于变量的回归方程为，经计算，，，则的值为　　

A． B． C． D．

8．（5分）定义在上的偶函数满足，且在处的导数（1），则曲线在点，处的切线方程为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．（5分）若，则下列各式成立的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）下列说法正确的是　　

A．若随机变量服从两点分布，，则 

B．若随机变量，则 

C．若随机变量，，则 

D．若随机变量，3，，则

11．（5分）若，则　　

A． B．的系数为 

C． D．

12．（5分）对于函数，下列说法正确的是　　

A．在上单调递增，在上单调递减 

B．若方程有4个不等的实根，则 

C．当时， 

D．设，若对，，使得成立，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡上.

13．（5分）已知函数且，若（8），则　　．

14．（5分）一个盒子内装有大小相同的3个红球，5个白球，从盒子中任取2个球，已知一个球是白球，另一个球也是白球的概率为 　　．

15．（5分）设是正整数，化简　　．

16．（5分）已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数，函数的图像与的图像关于轴对称．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）解关于的不等式．

18．（12分）2021年3月17日，中宣部办公厅印发《关于做好2021年全民阅读工作的通知》，提出了2021年全民阅读工作的总体要求，部署了重点工作及组织保障等措施．某地为了了解市民的阅读情况，组织相关调查机构围绕“阅读量多少”与“幸福感强弱”进行问卷调查，得到部分调查数据如表：

现从被调查的“阅读量多”的人群中任取1人，取到“幸福感强”的人的概率为．

（Ⅰ）完成上述列联表，并判断：在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关吗？

（Ⅱ）从阅读量多且幸福感强的人群中抽取名男性，4名女性组成“阅读推广宣讲团”，在某次活动中，将从这人中随机选取3人为宣讲员．

（ⅰ）当时，求男性宣讲员人数的分布列；

（ⅱ）若男性宣讲员人数的期望至少为2人，求的最小值．

参考公式：，．

参考数据：

19．（12分）某企业为检验某种设备生产的零件质量，现随机选取20个零件进行检验，分出合格品和次品．设每个零件是次品的概率为，且相互独立．

（Ⅰ）若20个零件中恰有2个次品的概率为，求的最大值点；

（Ⅱ）若合格品又分为一等品和二等品，每个零件是二等品的概率为是一等品概率的2倍．已知生产一个一等品可获利100元，生产一个二等品可获利30元，生产一个次品会亏损40元，当每个零件平均获利低于20元时，需对设备进行技术升级．当满足什么条件时，企业需对该设备进行技术升级？

20．（12分）在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市，城市进行两场比赛．根据两队之间的历史战绩统计，在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为；在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为，两场比赛结果互不影响．规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．

（Ⅰ）求两场比赛甲队恰好负一场的概率；

（Ⅱ）求两场比赛甲队得分的分布列．

21．（12分）已知函数．

（Ⅰ）若是的极大值点，求的值；

（Ⅱ）讨论的单调性．

22．（12分）已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）当时，，求的取值范围．

2020-2021学年山东省威海市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）函数的定义域为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意得：，

解得：，

故选：．

2．（5分）下列运算错误的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，正确，

，正确，

，错误，

，正确，

故选：．

3．（5分）现有5位代表参加疫情防控表彰大会，并排坐在一起，其中甲乙不相邻，则不同的坐法有　　

A．24种 B．36种 C．48种 D．72种

【解答】解：根据题意，先将除甲乙之外的三人全排列，再将甲乙安排在3人的空位中，

有种不同的坐法，

故选：．

4．（5分）已知随机变量，随机变量，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：随机变量，

所以，

随机变量，则．

故选：．

5．（5分）将8本不同的课外书分别装到3个相同的手提袋中，其中一袋放2本，另两袋各放3本，则不同的装法有　　

A．280种 B．300种 C．450种 D．560种

【解答】解：根据题意，先将8本不同的课外书分为3、3、2的三组，有，

由于手提袋是相同的，则将三组课外书放入手提袋，有1种情况，

则有280种不同的装法，

故选：．

6．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，，，

得，，，

在同一平面直角坐标系内分别作出函数，，，的图象如图：

由图可知，．

故选：．

7．（5分）根据一组样本数据为，，，，，，的散点图判断，变量关于变量的回归方程为，经计算，，，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，，

关于变量的回归方程为，

由回归方程的性质可得，，解得．

故选：．

8．（5分）定义在上的偶函数满足，且在处的导数（1），则曲线在点，处的切线方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：即为，

又，可得，

即，则，

所以的周期为4，

令，则（1）（1），即（1），

所以（1），

由可得，

可得，即，

则的周期为4，可得（1），

所以曲线在点，处的切线方程为，

即为．

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．（5分）若，则下列各式成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于，函数在上单调递增，

，

，即，故正确，

对于，函数在上单调递减，

，

，即，故错误，

对于，函数在上单调递增，

，

，即，，故正确，

对于，当，时，满足，但，故错误．

故选：．

10．（5分）下列说法正确的是　　

A．若随机变量服从两点分布，，则 

B．若随机变量，则 

C．若随机变量，，则 

D．若随机变量，3，，则

【解答】解：对于：随机变量服从两点分布，，所以，则，故正确；

对于：随机变量，则，故错误；

对于：随机变量，，则，故正确；

对于：随机变量，3，，则，故正确．

故选：．

11．（5分）若，则　　

A． B．的系数为 

C． D．

【解答】解：，

令，可得，故错误，

由，故的系数为，故正确，

令，①，故正确，

令，②，

①②可得，，

所以，故正确．

故选：．

12．（5分）对于函数，下列说法正确的是　　

A．在上单调递增，在上单调递减 

B．若方程有4个不等的实根，则 

C．当时， 

D．设，若对，，使得成立，则

【解答】解：函数，，，．

，

可得函数在上单调递减，在上单调解，在上单调递增．

．由上述可得不正确．

．方程有4个不等的实根，则，且时，有2个不等的实根，则，因此正确．

．由函数在单调递减，可得函数在单调递增，因此当时，

，即，因此不正确；

．设函数的值域为，函数，的值域为．

，对，，．，，．

，若对，，使得成立，

则．．因此正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡上.

13．（5分）已知函数且，若（8），则　4　．

【解答】解：根据题意，函数且，

若（8），即，解可得，

故答案为：4．

14．（5分）一个盒子内装有大小相同的3个红球，5个白球，从盒子中任取2个球，已知一个球是白球，另一个球也是白球的概率为 　　．

【解答】解：取出两个球，设其中一个球是白球为事件，

则（A），

设取出的另一个球是白球为事件，则，

从盒子中取出两个球，已知一个球是白球，

则另一个也是白球的概率是，

故答案为：．

15．（5分）设是正整数，化简　　．

【解答】解：设，

，

，即．

故答案为：．

16．（5分）已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为 　，　．

【解答】解：由题可得当时，，此时，

由此画出函数的图象如图：

若函数有两个不同的零点，

即函数与图像有2个不同的交点，

由图可得：

当时，恒成立，

当时，考虑临界情况：为的切线，

设切点，，则切线方程为，

因为切线过原点，所以，解得，

则，

所以．

综上，的取值范围是，，

故答案为：，．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数，函数的图像与的图像关于轴对称．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）解关于的不等式．

【解答】解：（Ⅰ）设函数图像上任意一点，

由已知点关于轴对称点一定在函数图像上，

代入，得．

（Ⅱ）不等式，

即为，

所以，解得或，

即不等式的解集为，，．

18．（12分）2021年3月17日，中宣部办公厅印发《关于做好2021年全民阅读工作的通知》，提出了2021年全民阅读工作的总体要求，部署了重点工作及组织保障等措施．某地为了了解市民的阅读情况，组织相关调查机构围绕“阅读量多少”与“幸福感强弱”进行问卷调查，得到部分调查数据如表：

现从被调查的“阅读量多”的人群中任取1人，取到“幸福感强”的人的概率为．

（Ⅰ）完成上述列联表，并判断：在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关吗？

（Ⅱ）从阅读量多且幸福感强的人群中抽取名男性，4名女性组成“阅读推广宣讲团”，在某次活动中，将从这人中随机选取3人为宣讲员．

（ⅰ）当时，求男性宣讲员人数的分布列；

（ⅱ）若男性宣讲员人数的期望至少为2人，求的最小值．

参考公式：，．

参考数据：

【解答】解：从被调查的“阅读量多”的人群中任取1人，取到“幸福感强”的人的概率为，

“阅读量多”人数为，即可推得列联表如下：

，

在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关．

当时，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

故的分布列为：

由题意可得，，3，，

故，解得，

故的最小值为8．

19．（12分）某企业为检验某种设备生产的零件质量，现随机选取20个零件进行检验，分出合格品和次品．设每个零件是次品的概率为，且相互独立．

（Ⅰ）若20个零件中恰有2个次品的概率为，求的最大值点；

（Ⅱ）若合格品又分为一等品和二等品，每个零件是二等品的概率为是一等品概率的2倍．已知生产一个一等品可获利100元，生产一个二等品可获利30元，生产一个次品会亏损40元，当每个零件平均获利低于20元时，需对设备进行技术升级．当满足什么条件时，企业需对该设备进行技术升级？

【解答】解：设次品的个数为随机变量，由题意可得，

，

，

当时，，当时，，

在上单调递增，在，上单调递减，

在时，取得最大值，即．

设生产一个零件可获利元，由题意可得，的所有可能取值为100，30，，

，，，

，解得，

，

，

故当时，企业需对该设备进行技术升级．

20．（12分）在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市，城市进行两场比赛．根据两队之间的历史战绩统计，在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为；在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为，两场比赛结果互不影响．规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．

（Ⅰ）求两场比赛甲队恰好负一场的概率；

（Ⅱ）求两场比赛甲队得分的分布列．

【解答】解：（Ⅰ）设事件表示在城市比赛时甲队负，事件表示在城市比赛时甲队负，

则（A），（B），

两场比赛甲队恰好负一场的概率为：

（A）（B）．

（Ⅱ）两场比赛甲队得分的可能取值为0，1，2，3，4，6，

，

，

，

，

，

，

两场比赛甲队得分的分布列为：

21．（12分）已知函数．

（Ⅰ）若是的极大值点，求的值；

（Ⅱ）讨论的单调性．

【解答】解：函数的定义域为，，

（Ⅰ）是的极大值点，（1），解得，

当时，，

当时，，函数递增，当时，，函数递减，

故是的极大值点，；

（Ⅱ），．

由方程的△，可得：

①当△，即时，在恒成立，在单调递减，

②当时，方程的根，，

当时，，此时函数在单调递增，在，单调递减；

当时，，此时函数在，，单调递减，，单调递增，在，单调递减．

综上，当时，在单调递减，

当时，在单调递增，在，单调递减；

当时，在，，单调递减，，单调递增，在，单调递减．

22．（12分）已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）当时，，求的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）当时，的导数为，

可得在处的切线的斜率为1，切点为，

则切线的方程为，即；

（Ⅱ）当时，，即在恒成立．

设，导数为，

设，，，

由的导数为，可得，

则在递减，可得，

所以在递减，

又时，设，

设，，

，

设，，，

所以在递减，可得，

所以在递减，则，

即有恒成立，可得恒成立，

所以，

即的取值范围为，．

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