2020-2021学年山东省枣庄市高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年山东省枣庄市高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）下列求导正确的是　　

A． B． 

C． D．

2．（5分）一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为　　

A．24 B．12 C．120 D．60

3．（5分）等比数列的首项与公比变化时，是一个定值，则一定为定值的项是　　

A． B． C． D．

4．（5分）当（B）时，若，则　　

A． B． C．与相互独立 D．与互为对立

5．（5分）根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到线性回归模型，对应的残差如图所示，模型误差　　

A．满足一元线性回归模型的所有假设 

B．满足回归模型（e）的假设 

C．满足回归模型（e）的假设 

D．不满足回归模型（e）和（e）的假设

6．（5分）设是无穷数列，，2，，给出命题：

①若是等差数列，则是等差数列；

②若是等比数列，则是等比数列；

③若是等差数列，则是等差数列．

其中正确命题的个数为　　

A．1 B．1 C．2 D．3

7．（5分）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入②号球槽的概率为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知三次函数的图象如图，则不正确的是　　

A．（2）（3） 

B． 

C．若，则 

D．的解集为，，

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）对变量和的一组样本数据，，，，，，进行回归分析，建立回归模型，则　　

A．残差平方和越大，模型的拟合效果越好 

B．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点 

C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 

D．若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系

10．（5分）已知，，且，则　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4，假设坐公交车用时（单位：和骑自行车用时（单位：都服从正态分布．正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则　　

A． 

B． 

C． 

D．若某天只有可用，杨明应选择坐公交车

12．（5分）已知，，，，，则　　

A．若是极大值点，则 

B．若是极小值点，则 

C．关于的方程有三个实根 

D．关于的方程有三个实根

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）的展开式中的系数是 　　（用数字作答）．

14．（5分）是2与8的等比中项，是与的等差中项，则的值为 　　．

15．（5分）已知随机变量的分布列为：

若，则　　．

16．（5分）当，时，恒成立，则实数的取值区间为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大．

（1）写出正整数的值（不需要具体过程）；

（2）求展开式中的常数项；

（3）展开式中各项二项式系数之和记为，各项系数之和记为，求．

18．（12分）已知数列满足，

（1）求，，，并求；

（2）求的前100项和．

19．（12分）有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工零件的次品率为，第2，3台加工零件的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的，，．记为“零件为第台机床加工” ，2，．

（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；

（2）如果取到的一个零件是次品，分别计算它是第1，2台机床加工的概率．

20．（12分）已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）求在，上的最小值．

21．（12分）某高中学校为了解高二年级学生在2021年高考和中考期间居家学习的自制力，随机抽取了100名学生，请他们的家长（每名学生请一位家长）对学生打分，满分为10分．下表是家长所打分数的频数统计：

（1）求家长所打分数的平均值；

（2）在抽取的100位学生中，男同学共50人，其中打分不低于8分的男同学为20人，填写列联表．若打分不低于8分认为“自制力强”，打分低于8分认为“自制力一般”，依据小概率值的独立性检验，判断高二年级学生的性别与自制力的强弱是否有关联？如果结论是性别与自制力的强弱有关联，请解释它们如何相互影响．

附：．

22．（12分）已知．

（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；

（2）讨论在内极值点的个数．

2020-2021学年山东省枣庄市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）下列求导正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，错误；

对于，，错误；

对于，，错误；

对于，，正确；

故选：．

2．（5分）一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为　　

A．24 B．12 C．120 D．60

【解答】解：根据题意，要求不使同类的书分开，即同类的书相邻，

先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，

有种不同放法，

故选：．

3．（5分）等比数列的首项与公比变化时，是一个定值，则一定为定值的项是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，首项与公比变化时，是一个定值，

故选：．

4．（5分）当（B）时，若，则　　

A． B． C．与相互独立 D．与互为对立

【解答】解：由题意可得，（A），

又，

所以（A），

所以事件，相互独立．

故选：．

5．（5分）根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到线性回归模型，对应的残差如图所示，模型误差　　

A．满足一元线性回归模型的所有假设 

B．满足回归模型（e）的假设 

C．满足回归模型（e）的假设 

D．不满足回归模型（e）和（e）的假设

【解答】解：由散点图可以看出，图中的散点不能拟合成一条直线，且不满足（e）．

故选：．

6．（5分）设是无穷数列，，2，，给出命题：

①若是等差数列，则是等差数列；

②若是等比数列，则是等比数列；

③若是等差数列，则是等差数列．

其中正确命题的个数为　　

A．1 B．1 C．2 D．3

【解答】解：对于①：若是等差数列，设公差为，

则，

则，

所以是等差数列，故①正确；

对于②：若是等比数列，设公比为，

当时，则，

当时，则，

故不是等比数列，故②不正确；

对于③：若是等差数列，设公差为，

，

所以数列的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故③正确；

故选：．

7．（5分）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入②号球槽的概率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知，从上至下共有6排钉板，

因此小球下落共有5次碰撞，且每次向左或向右落下的概率均为，且相互独立，

因为小球最终要落入②号球槽，

则下落过程中必须有4次向左，1次向右，

所以小球最终落入②号球槽的概率为．

故选：．

8．（5分）已知三次函数的图象如图，则不正确的是　　

A．（2）（3） 

B． 

C．若，则 

D．的解集为，，

【解答】解：由图可知，在上单调递减且为上凸函数，

（2）（3），故正确；

由图可知，、1分别为的两个极值点，

，，

则，故正确；

由，得，

取，可得，则，

可得，则极大值（1），故错误；

由，得或，

即或，

得或．

的解集为，，，故正确．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）对变量和的一组样本数据，，，，，，进行回归分析，建立回归模型，则　　

A．残差平方和越大，模型的拟合效果越好 

B．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点 

C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 

D．若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系

【解答】解：因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故选项错误；

因为回归方程必过样本中心，故选项正确；

因为系数越接近1，说明模型的拟合效果越好，故选项错误；

由相关系数为负且接近1，则和之间具有很强的负线性相关关系，故选项正确．

故选：．

10．（5分）已知，，且，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由于已知，，且，利用组合数的性质，可得，故正确；

当，时，，故错误；

当时，，故错误；

，

故正确，

故选：．

11．（5分）杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4，假设坐公交车用时（单位：和骑自行车用时（单位：都服从正态分布．正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则　　

A． 

B． 

C． 

D．若某天只有可用，杨明应选择坐公交车

【解答】解：随机变量的均值为，方差为，则，，，

随机变量的均值为，方差为，则，，，

所以，故选项正确；

，故选项错误；

，，

因为，

所以，故选项正确；

对于，因为，

所以选择公交车，故选项正确．

故选：．

12．（5分）已知，，，，，则　　

A．若是极大值点，则 

B．若是极小值点，则 

C．关于的方程有三个实根 

D．关于的方程有三个实根

【解答】解：，

对于，若是极大值点，则或，即或，

所以与同号，所以，即．故正确．

对于，若是极小值点，则或，即或，

所以与异号，所以，即．故正确．

对于，因为，所以，所以函数必有两个变号零点，

所以是极大值或极小值，结合三次函数图象可知，

方程有且只有两个解．故错误．

对于，不妨设，则，且，

结合图象可得方程有三个解，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）的展开式中的系数是 　21　（用数字作答）．

【解答】解：的展开式中的系数是，

故答案为：21．

14．（5分）是2与8的等比中项，是与的等差中项，则的值为 　5　．

【解答】解：根据题意得，解得，．

故答案为：5．

15．（5分）已知随机变量的分布列为：

若，则　5　．

【解答】解：由题意可知，，

解得，

所以，

则．

故答案为：5．

16．（5分）当，时，恒成立，则实数的取值区间为 　　．

【解答】解：由当，时，恒成立，

则当，时，恒成立，

，

则，

令，

则，

则在，上单调递减，

因为（3），（4），

所以存在，使得，即，

所以．

当时，，，单调递增，

当，时，，，单调递减，

所以，

又，

所以，则，

所以，

所以，

所以，

所以实数的取值范围为，．

故答案为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大．

（1）写出正整数的值（不需要具体过程）；

（2）求展开式中的常数项；

（3）展开式中各项二项式系数之和记为，各项系数之和记为，求．

【解答】解：（1）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，故．

（2）展开式的通项．

由，得．

故展开式中的常数项为．

（3）由题意，．

在中，令，得各项系数之和记为，所以，．

18．（12分）已知数列满足，

（1）求，，，并求；

（2）求的前100项和．

【解答】解：（1），，．

当时，由题意，得，．

于是，即．

所以，是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以，

即为奇数时，．

当为偶数时，．

所以，；

（2）法

；

法2：由（1），当时，，．

令，则．

．

19．（12分）有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工零件的次品率为，第2，3台加工零件的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的，，．记为“零件为第台机床加工” ，2，．

（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；

（2）如果取到的一个零件是次品，分别计算它是第1，2台机床加工的概率．

【解答】（1）解：令 “任取一个零件为次品”，由题意，且，，两两互斥，由全概率公式得：

（B）．

（2）；．

所以取到一个零件是次品是第一台机床加工的概率为，是第二台机床加工的概率为．

20．（12分）已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）求在，上的最小值．

【解答】解：（1）的定义域为．．

当时，，在上单调递增．

当时，由，得．

若，则，单调递减；

若，则，单调递增．

综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）由（1），当时，在，上单调递增，（1）．

当时，在上单调递减，在上单调递增．

①若，即，在，上单调递减，．

②若，即，在上单调递减，在上单调递增．．

③若，即时，在，上单调递增．（1）．

综上可得，时，；时，；时，．

21．（12分）某高中学校为了解高二年级学生在2021年高考和中考期间居家学习的自制力，随机抽取了100名学生，请他们的家长（每名学生请一位家长）对学生打分，满分为10分．下表是家长所打分数的频数统计：

（1）求家长所打分数的平均值；

（2）在抽取的100位学生中，男同学共50人，其中打分不低于8分的男同学为20人，填写列联表．若打分不低于8分认为“自制力强”，打分低于8分认为“自制力一般”，依据小概率值的独立性检验，判断高二年级学生的性别与自制力的强弱是否有关联？如果结论是性别与自制力的强弱有关联，请解释它们如何相互影响．

附：．

【解答】解：（1）家长所打分数的平均值为．

（2）列联表如下：

零假设为：分类变量与相互独立，即性别与自制力的强弱之间无关联．

根据列联表中的数据，得．

依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别与自制力的强弱之间有关联，该推断犯错误的概率不超过0.001．

男生中“自制力强”和“自制力一般”的频率分别为和；

女生中“自制力强”和“自制力一般”的频率分别为和．

由，，可见，女生“自制力强”的频率是男生的2倍，男生“自制力一般”的频率是女生的3倍，于是，根据频率稳定于概率的原理，可以认为女生自制力强的概率明显大于男生自制力强的概率，即女生自制力更强．

22．（12分）已知．

（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；

（2）讨论在内极值点的个数．

【解答】解：（1）当时，，，

所以，．

曲线在点，处的切线方程为，即．

（2），．

①当时，因为，所以，，．

因此，在上单调增增．

当时，，．

所以存在唯一的，使得．

当时，，在上单调递减；

当，时，，在，上单调递增．

所以是在内唯一的极值点．

当时，因为，所以，在上单调递增，在内没有极值点．

②当时，

当时，由，，得．

当时，

因为在上单调增，所以．

又，

所以．，

因为，所以．

可见，时，，所以在上单调递增，

所以在内无极值点．

综上，当时，在内极值点的个数为1；当时，在内极值点的个数为0．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/14 16:47:36；用户：13159259195；邮箱：13159259195；学号：39016604