2020-2021学年山东省威海市高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年山东省威海市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．（5分）（2021春•威海期末）是　　

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

2．（5分）（2021春•威海期末）已知向量，，且，则　　

A．3 B． C． D．

3．（5分）（2021春•威海期末）已知，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）（2021春•威海期末）如果函数的图像关于点对称，那么的最小值为　　

A． B． C． D．

5．（5分）（2021春•威海期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则　　

A．1 B． C．4 D．13

6．（5分）（2021春•威海期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是　　

A．若，，，则 B．若，，，则 

C．若，，，则 D．若，，，则

7．（5分）（2021春•威海期末）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线．已知正三棱锥，侧棱长为2，底面边长为3，设球为其外接球，则球对应的球面上经过，两点的测地线长为　　

A． B．2 C． D．4

8．（5分）（2021春•威海期末）在正方体中，，，分别为，，的中点，为底面上一动点，且直线平面，则与平面所成角的正切值的取值范围为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．（5分）（2021春•威海期末）下列命题正确的是　　

A． 

B．若，则，，，四点共线 

C．任意向量， 

D．若向量，满足，则，共线

10．（5分）（2021春•威海期末）下列等式正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

11．（5分）（2021春•威海期末）已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1，则　　

A．该四棱台的侧棱长为 

B．二面角的大小为 

C．该四棱台的体积为 

D．与所成角的余弦值为

12．（5分）（2021春•威海期末）将绘有函数一个周期图像的纸片沿轴折成直二面角，若原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为，则　　

A．4为函数的一个周期 

B．函数的图像关于直线对称 

C．函数在上单调递增 

D．方程在上有两个实根，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）（2021春•威海期末）设向量，为单位正交基底，若，，且，则　　．

14．（5分）（2021春•威海期末）在中，已知，若，则的面积为 　　．

15．（5分）（2021春•威海期末）现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径为，从底面圆周上一点，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到点，则所用金色彩线的最短长度为 　　．

16．（5分）（2021春•威海期末）在平面直角坐标系中，角均以轴正半轴为始边．已知角的终边在直线上，则　　；已知角与角的终边关于直线对称，且角与单位圆的交点坐标为，则　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）（2021春•威海期末）已知四棱锥的底面是正方形，平面．

（Ⅰ）设平面平面，求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面．

18．（12分）（2021春•威海期末）已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为．

（Ⅰ）求的值及的单调递减区间；

（Ⅱ）将函数的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图像，求在，上的值域．

19．（12分）（2021春•威海期末）某同学在三角函数的研究性学习中发现以下三个等式：

①；

②；

③．

（Ⅰ）请根据上述三个等式归纳出一个三角恒等式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：．

20．（12分）（2021春•威海期末）已知菱形的边长为2，为对角线（异于，上一点．

（Ⅰ）如图1，若，，设，．试用基底，表示，并求；

（Ⅱ）如图2，若，点在边，上的射影分别为，，求与的夹角．

21．（12分）（2021春•威海期末）在直三棱柱中，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，，．

（ⅰ）求二面角的正切值；

（ⅱ）求直线到平面的距离．

22．（12分）（2021春•威海期末）如图，水平放置的圆柱形玻璃容器甲和圆台形玻璃容器乙的高均为，容器甲的底面直径的长为，容器乙的两底面直径，的长分别为和．分别往容器甲和容器乙中注入水，水深均为．现有一根玻璃棒，其长度为．（容器壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（Ⅰ）将放在容器甲中，的一端置于点处，另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度；

（Ⅱ）将放在容器乙中，的一端置于点处，另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度．

2020-2021学年山东省威海市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．（5分）（2021春•威海期末）是　　

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【解答】解：，

是第三象限角．

故选：．

2．（5分）（2021春•威海期末）已知向量，，且，则　　

A．3 B． C． D．

【解答】解：由平行关系有，解得．

故选：．

3．（5分）（2021春•威海期末）已知，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式．

故选：．

4．（5分）（2021春•威海期末）如果函数的图像关于点对称，那么的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数的图像关于点对称，

所以，

故：，，

整理得：，

当时，的最小值为．

故选：．

5．（5分）（2021春•威海期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则　　

A．1 B． C．4 D．13

【解答】解：，，

，，，

，，，

由余弦定理得，．

故选：．

6．（5分）（2021春•威海期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是　　

A．若，，，则 B．若，，，则 

C．若，，，则 D．若，，，则

【解答】解：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，

对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；

对于，若，，，则与平行或相交，故错误；

对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；

对于，若，，，则由面面平行的判定定理得，故正确．

故选：．

7．（5分）（2021春•威海期末）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线．已知正三棱锥，侧棱长为2，底面边长为3，设球为其外接球，则球对应的球面上经过，两点的测地线长为　　

A． B．2 C． D．4

【解答】解：如图，

设点是点在平面上的投影，则，点在直线上，设球的半径为，

，，，则，

在中，，解得．

，可得，

球对应的球面上经过，两点的测地线长为．

故选：．

8．（5分）（2021春•威海期末）在正方体中，，，分别为，，的中点，为底面上一动点，且直线平面，则与平面所成角的正切值的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意，如图所示，面在正方体上的截面为，且为中点，

因为平面，而平面平面，

所以平面，又点为底面上的一个动点，则点在上，

所以与平面所成的角为，

当点与点重合时，最小，此时，

当点与点重合时，最大，此时，

所以．

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．（5分）（2021春•威海期末）下列命题正确的是　　

A． 

B．若，则，，，四点共线 

C．任意向量， 

D．若向量，满足，则，共线

【解答】解：对于，，故正确；

对于，由，得或，，，四点共线，故错误；

对于，任意向量，表示向量，而为非负实数，，故错误；

对于，由足，可得，则，

与共线，故正确．

故选：．

10．（5分）（2021春•威海期末）下列等式正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：对于，，故错误；

对于，，故正确；

对于，，故正确；

对于，，故正确，

故选：．

11．（5分）（2021春•威海期末）已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1，则　　

A．该四棱台的侧棱长为 

B．二面角的大小为 

C．该四棱台的体积为 

D．与所成角的余弦值为

【解答】解：选项，设上下底面的中心分别为，，则四边形为直角梯形．

其中，，，所以，选项正确．

选项：点在底面的射影为的中点，设为，过作，垂足为．

则，，所以平面，所以，则为二面角的平面角．

因为，，所以，，选项正确．

选项：上底面的面积为4，下底面的面积为16，所以棱台的体积为，选项错误．

选项：因为，所以与所成角即为与所成角，

在等腰梯形中，，，，所以与所成角的余弦值为，选项错误．

故选：．

12．（5分）（2021春•威海期末）将绘有函数一个周期图像的纸片沿轴折成直二面角，若原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为，则　　

A．4为函数的一个周期 

B．函数的图像关于直线对称 

C．函数在上单调递增 

D．方程在上有两个实根，则

【解答】解：将绘有函数一个周期图像的纸片沿轴折成直二面角，

若原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为，

，故．

由于函数的周期为，故正确；

令，求得，不是最值，可得函数的图像不关于直线对称，故错误；

在上，，，故函数在上单调递增，故正确；

方程在上有两个实根，即有2个解，

即有2个解．

由于，，，

则，故正确，

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）（2021春•威海期末）设向量，为单位正交基底，若，，且，则　2　．

【解答】解：根据题意，向量，为单位正交基底，则，，

若，，且，

则有，

即，解可得，

故答案为：2．

14．（5分）（2021春•威海期末）在中，已知，若，则的面积为 　　．

【解答】解：在中，由，若，

得，即，

可得，

．

故答案为：．

15．（5分）（2021春•威海期末）现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径为，从底面圆周上一点，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到点，则所用金色彩线的最短长度为 　　．

【解答】解：将圆锥沿着侧棱展开可得扇形，其圆心角，

连接，可得所用金色彩线的最短长度为

．

故答案为：．

16．（5分）（2021春•威海期末）在平面直角坐标系中，角均以轴正半轴为始边．已知角的终边在直线上，则　2　；已知角与角的终边关于直线对称，且角与单位圆的交点坐标为，则　　．

【解答】解：直线的斜率为2，所以或，即．

设角的终边与单位圆的交点坐标为，则，解得．

所以．

故答案为：2；．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）（2021春•威海期末）已知四棱锥的底面是正方形，平面．

（Ⅰ）设平面平面，求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面．

【解答】证明：（Ⅰ）平面，平面，，

平面，

又平面，平面平面，

．

（Ⅱ）平面，平面，，

四棱锥的底面是正方形，，

，，平面，

平面，

平面，平面平面．

18．（12分）（2021春•威海期末）已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为．

（Ⅰ）求的值及的单调递减区间；

（Ⅱ）将函数的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图像，求在，上的值域．

【解答】解：（Ⅰ），

，是函数的两个零点，且的最小值为．

，即，则，则，

即，

由，，

得，，

即，，即函数的单调递减区间为，，．

（Ⅱ）将函数的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到，

再向左平移个单位，得到函数的图像，即，

当时，，

则，即，

即的值域为，．

19．（12分）（2021春•威海期末）某同学在三角函数的研究性学习中发现以下三个等式：

①；

②；

③．

（Ⅰ）请根据上述三个等式归纳出一个三角恒等式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：．

【解答】解：（1）结论：．

证明如下：

；

（2）证明：

．

结合（1）的结论，

可证得成立．

20．（12分）（2021春•威海期末）已知菱形的边长为2，为对角线（异于，上一点．

（Ⅰ）如图1，若，，设，．试用基底，表示，并求；

（Ⅱ）如图2，若，点在边，上的射影分别为，，求与的夹角．

【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，

则，

因为，所以，

解得，

则

；

（Ⅱ）因为，所以，

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

设，则，，

所以，

则，故与的夹角为．

21．（12分）（2021春•威海期末）在直三棱柱中，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，，．

（ⅰ）求二面角的正切值；

（ⅱ）求直线到平面的距离．

【解答】证明：（Ⅰ）取中点并连接，

因为是的中点，所以，且．

因为是的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，

所以，因为平面．平面，

所以平面．

（Ⅱ）连接，因为，，是的中点，

所以，所以，所以．同理可得，所以．

因为，所以二面角的平面角为，又，所以面．

因为平面，所以，因为直三棱柱，所以面，

又平面，所以．又，所以面，因为平面，

所以，易求，在中可求，．

（ⅱ）因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，

设点到平面的距离为，

因为，所以，即，解得，

所以直线到平面的距离为．

22．（12分）（2021春•威海期末）如图，水平放置的圆柱形玻璃容器甲和圆台形玻璃容器乙的高均为，容器甲的底面直径的长为，容器乙的两底面直径，的长分别为和．分别往容器甲和容器乙中注入水，水深均为．现有一根玻璃棒，其长度为．（容器壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（Ⅰ）将放在容器甲中，的一端置于点处，另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度；

（Ⅱ）将放在容器乙中，的一端置于点处，另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度．

【解答】解：（Ⅰ）作出容器甲的主视图如下：

则，设玻璃棒与水面的交点为，过作交于点，

在中，，

因为，所以，

则，

即浸入水中部分的长度为；

（Ⅱ）作出容器乙的主视图如下：

则，，

在△中，，

，，，

根据正弦定理得：，，，

，

．

即玻璃棒没入水中部分的长度为．

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