2020-2021学年河北省张家口市高二（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省张家口市高二（下）4月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知i是虚数单位，则3+i1−3i=( )
A.−iB.45−iC.45−35iD.i

2. 已知函数 fx=x3−2x，则曲线y=fx在x=1处的切线的倾斜角为（ ）
A.π4B.3π4C.π3D.2π3

3. 已知i是虚数单位，则1+i1−i2021−1i=( )
A.1−iB.1+iC.iD.2i

4. 已知函数fx在x0处的导数为2，则limΔx→0fx0+3Δx−fx0Δx=( )
A.3B.−3C.6D.−6

5. 若复数z满足|z−i|≤1（i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的图形的面积为（ ）
A.πB.2πC.π2D.π4

6. 设函数fx在R上可导，其导函数为f′x，如图是函数gx=xf′x的图象，则fx的极值点是（ ）

A.极大值点x=−3，极小值点 x=0
B.极小值点x=−3，极大值点x=0
C.极值点只有 x=−3
D.极值点只有x=0

7. 已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比，如果车轮启动后转动第一圈需要0.5s，求转动开始后第5s时的瞬时角速度（ ）
A.60πB.80πC.160πD.175π

8. 已知函数 fx=−12x2+alnx+2在1,4内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.1,16B.1,16
C.(−∞,1]∪[16,+∞)D.[1,16)
二、多选题

下列结论正确的是（ ）
A.函数 fx=2x+32的导函数为 f′x=8x+12
B.函数gx=2e−x的导函数为g′x=2e−x
C.函数ℎx=sinxx的导函数为ℎ′x=xcsx−sinxx2
D.函数sx=lg2x的导函数为s′x=1xln2

已知fx=x3−92x2+6x−abc，aA.f(2)f(1)>0B.f(2)f(1)<0C.52
已知复数z=1+2i2（i是虚数单位），下列正确的是（ ）
A.复数z的实部为−4B.复数z的共轭复数为−3−4i
C.|z|=|1+2i|2D.复数|z+6|的模为5

已知函数fx=x2−3x+5，gx=ax−lnxa>1e，下列结论正确的是( )
A.x∈0,e时，fx的最小值为114
B.gx在x=1a取得极小值为 1+lna
C.对∀x∈0,e，∃x1，x2∈0,e且x1≠x2，使得fx=gxii=1,2，则实数a可以是5e
D.对∀x∈0,e，∃x1,x2∈0,e且x1≠x2，使得fx=gxii=1,2，则实数α可以是6e
三、填空题

在复平面内，复数i1−i+12−32i2 的共轭复数对应的点位于第________象限．

已知函数 fx=12x+csx+2021，x∈0,π，则函数fx的单调递减区间为________.

已知函数fx=2x+sinx，若f1−a+f1−a2<0，则实数a的取值范围是________.

若存在过点0,0的直线l与曲线y=−x3+3x2−2x和y=−x2+a都相切，则a的值为________.
四、解答题

实数m取什么值时，复平面内表示复数 z=m2+m−6+m2−2m−15i的点,
(1)位于第四象限？

(2)位于直线x−2y+26=0上？

已知函数 fx=13x3+a2x2+bx，其导函数 y=f′x的图像经过点0,0,2,0.
(1)求a，b的值；

(2)求函数 gx=fx+1 在区间−3,3上的最值．

已知函数 fx=4ex(x+1)−x2−4x．
(1)求曲线 y=fx在点0,f0处的切线方程；

(2)求fx的单调区间．

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式 y=5x−32+ax−2，其中 2(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为2元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

设函数 fx=ex，gx=1+12x2．
(1)求证：fx>x；

(2)证明：当x≥0时，f(x)≥g(x)．

已知边长为2的等边△ABC，点D、E分别是AC、AB上的点，满足DE//BC，且ADAC=λλ∈0,1，
将△ADE沿直线DE折到△A′DE的位置，在翻折过程中，求四棱锥 A′−BCDE体积fλ的最大值．

参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省张家口市高二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数的分母实数化，化简求解即可．
【解答】
解：3+i1−3i=(3+i)(1+3i)(1−3i(1+3i)=3−3+i+9i10=i．
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为函数 fx=x3−2x的导函数为f′(x)=3x2−2，
f′(1)=3−2=1，
即tanα=1，α为倾斜角，可得α=π4．
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=[(1+i)2(1+i)(1−i)]2021+i=i2021+i=2i.
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
导数的几何意义
极限及其运算
【解析】
由已知结合导数的定义即可直接求解．
【解答】
解：limΔx→0fx0+3Δx−fx0Δx
=3limΔx→0fx0+3Δx−fx03Δx
=3f′x0=3×2=6.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
复数的模
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设z=x+yix,y∈R，由|z−i|≤1得|x+y−1i|≤1，
所以x2+y−12≤1即x2+y−12≤1，
所以z在复平面内所对应的图形是以0,1为圆心，1为半径的圆，面积为π，
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：结合图像， x<−3时， gx<0，故f′x>0，
−30，故f′x<0，
x>0时，gx<0，故f′x<0，
所以fx在−∞,−3递增，在−3,+∞递减，
故fx的极值点为x=−3，
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
实际问题中导数的意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设车轮旋转的角度为θ，时间为t，比例系数为k，
则有θ=kt2，
因为转到第一圈需要0.5s，
即t=0.5时， k=2π0.52=8π，
即θ=8πt2，
所以ω=θ′=16πt,
当t=5时的瞬时速度为ω=80π，
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ f′x=−x+ax，
fx=−12x2+alnx+2在1,4内不是单调函数，
故−x+ax=0在1,4存在变号零点，
即a=x2在1,4存在零点，
∴ 1故选A．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
导数的运算
简单复合函数的导数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′x=8x+12，A正确；
g′x=−2e−x，B错误；
ℎ′x=xcsx−sinxx2，C正确；
s′x=1xln2，D正确．
故选ACD．
【答案】
B,D
【考点】
利用导数研究函数的极值
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：fx=x3−92x2+6x−abc，
f′x=3x2−9x+6=3x−1x−2，
令f′x=0得x=1或x=2，
依题意有，函数fx=x3−92x2+6x−abc,a故f2f1<0，
即1−92+6−abc23−92×22+6×2−abc<0，
即52−abc2−abc<0，
所以2故选BD．
【答案】
B,C,D
【考点】
复数的模
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
复数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：z=1+2i2=−3+4i，故实部为−3，故A错误；
复数z=−3+4i，故共轭复数为−3−4i，故B正确；
|z|=|1+2i|2=5，故C正确；
z+6=3+4i，故复数|z+6|的模为5，故D正确．
故选BCD．
【答案】
A,B,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对函数fx，当x∈0,e时， fx的最小值为114，A正确；
因为gx=ax−lnx，故g′x=ax−1x，
当a>1e时，令g′x=0，解得x=1a，
故gx在区间0,1a单调递减，在区间1a,e上单调递增．
又g1a=1+lna,ge=ae−1，且当x趋近于零时， gx趋近于正无穷，故B正确；
根据题意，对∀x∈0,e，∃x1，x2∈0,e，且x1≠x2，使得fx=gxii=1,2成立，
只需g1a<114，ge≥5，即可得1+lna<114，ae−1≥5，
解得a∈6e,e74，故C错误，D正确．
故选ABD．
三、填空题
【答案】
二
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：i1−i+12−32i2=i1+i2−12−32i=−1+1−32i，
故复数的共轭复数为−1−1−32i，其对应的点在第二象限．
故答案为：二.
【答案】
π6,5π6
【考点】
利用导数研究函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′x=12−sinx，
令f′x=12−sinx<0，得sinx>12，
由y=sinx的图像知，函数f(x)在π6,5π6上单调递减．
故答案为：π6,5π6．
【答案】
−∞,−2∪1,+∞
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′x=2+csx>0，
故函数fx单调递增，
因为函数fx为奇函数，
f1−a+f1−a2<0可变为f1−a所以1−a即a2+a−2>0，
解得a<−2或a>1，
故a的范围为−∞,−2∪1,+∞，
故答案为：−∞,−2∪1,+∞．
【答案】
−1或−164
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设直线l与曲线y=−x3+3x2−2x的切点坐标为x0,y0，
则函数的导函数为y′=−3x2+6x−2，
则切线方程为y+x03−3x02+2x0=−3x02+6x0−2x−x0，
①当0,0为切点时，由y′=−3x2+6x−2得，y′|x=0=−2,
即直线l得斜率为−2，故直线l得方程为y=−2x,
联立y=−2x和y=−x2+a得x2−2x−a=0，
由Δ=4+4a=0，解得a=−1.
②切线l过点0,0，则x03−3x02+2x0=−3x02+6x0−2−x0,
解得或x0=32或x0=0（舍去）,
当x0=32时，切线方程为y=14x,
则联立y=14x和y=−x2+a得4x2+x−4a=0，
Δ=1+64a=0，a=−164，
综上可得， a=−1或a=−164．
故答案为：−1或−164．
四、解答题
【答案】
解：(1)若复平面内表示复数z=m2+m−6+m2−2m−15i的点位于第四象限，
则m2+m−6>0,m2−2m−15<0,
即m>2或m<−3,−3即2(2)若复平面内表示复数z=m2+m−6+m2−2m−15i的点位于x−2y+26=0上，
则m2+m−6−2m2−2m−15+26=0,
化简得 m2−5m−50=0，
解得m=−5或m=10.
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)若复平面内表示复数z=m2+m−6+m2−2m−15i的点位于第四象限，
则m2+m−6>0,m2−2m−15<0,
即m>2或m<−3,−3即2(2)若复平面内表示复数z=m2+m−6+m2−2m−15i的点位于x−2y+26=0上，
则m2+m−6−2m2−2m−15+26=0,
化简得 m2−5m−50=0，
解得m=−5或m=10.
【答案】
解：(1)fx=13x3+a2x2+bx，
所以f′x=x2+ax+b，
函数y=f′x的图像经过点0,0,2,0，
所以b=0，a=−2．
(2)由(1)gx=13x3−x2+1可得， g′x=x2−2x，
令g′x=x2−2x=0，
解得x=0,x=2，
列出表格如下：
所以函数gx在−3,3上的最大值为1，最小值为−17．
【考点】
导数的运算
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fx=13x3+a2x2+bx，
所以f′x=x2+ax+b，
函数y=f′x的图像经过点0,0,2,0，
所以b=0，a=−2．
(2)由(1)gx=13x3−x2+1可得， g′x=x2−2x，
令g′x=x2−2x=0，
解得x=0,x=2，
列出表格如下：
所以函数gx在−3,3上的最大值为1，最小值为−17．
【答案】
解：(1)f′x=4exx+2−2x−4，
f′0=4e00+2−4=4，f0=4，
所以过0,f0的切线方程为y−4=4x−0，
即4x−y+4=0.
(2)由(1)知，f′x=4exx+2−2x−4=4x+2ex−12,
令f′x=0，得x=−ln2或x=−2，
从而当x∈−∞,−2∪−ln2,+∞时，f′x>0，
当x∈−2,−ln2时，f′x<0，
故fx在−∞,−2,−ln2,+∞上单调递增，
在−2,−ln2上单调递减．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′x=4exx+2−2x−4，
f′0=4e00+2−4=4，f0=4，
所以过0,f0的切线方程为y−4=4x−0，
即4x−y+4=0.
(2)由(1)知，f′x=4exx+2−2x−4=4x+2ex−12,
令f′x=0，得x=−ln2或x=−2，
从而当x∈−∞,−2∪−ln2,+∞时，f′x>0，
当x∈−2,−ln2时，f′x<0，
故fx在−∞,−2,−ln2,+∞上单调递增，
在−2,−ln2上单调递减．
【答案】
解：(1)由题意，x=4时，y=6，
代入y=5x−32+ax−2，
可得6=5+a2，
解得a=2．
(2)由(1)可知，该商品日销售量y=5x−32+2x−2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
fx=x−25x−32+2x−2
=2+5x−2x−32，
f′x=5x−32+5×2×x−3x−2
=15x−3x−73，
所以当20，fx递增；
当73当故函数fx在x=73时取得极大值，也为最大值，
最大为7427，故所获得的利润最大为7427．
【考点】
函数的求值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，x=4时，y=6，
代入y=5x−32+ax−2，
可得6=5+a2，
解得a=2．
(2)由(1)可知，该商品日销售量y=5x−32+2x−2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
fx=x−25x−32+2x−2
=2+5x−2x−32，
f′x=5x−32+5×2×x−3x−2
=15x−3x−73，
所以当20，fx递增；
当73当故函数fx在x=73时取得极大值，也为最大值，
最大为7427，故所获得的利润最大为7427．
【答案】
证明：(1)fx>x即ex>x，
令ℎx=ex−x，
则ℎ′x=ex−1,
令ℎ′x=0得x=0，
当x>0时ℎ′x>0,ℎx递增，
当x<0时ℎ′x<0,ℎx递减，
所以ℎx在x=0处取得最小值ℎ0=1>0，
所以fx>x.
(2)令mx=fx−gx=ex−1−12x2，
所以m′x=ex−x,
由(1)知m′x>0，
所以mx单调递增，又x≥0，
所以x=0时mx取得最小值m0=0，
故fx≥gx．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)fx>x即ex>x，
令ℎx=ex−x，
则ℎ′x=ex−1,
令ℎ′x=0得x=0，
当x>0时ℎ′x>0,ℎx递增，
当x<0时ℎ′x<0,ℎx递减，
所以ℎx在x=0处取得最小值ℎ0=1>0，
所以fx>x.
(2)令mx=fx−gx=ex−1−12x2，
所以m′x=ex−x,
由(1)知m′x>0，
所以mx单调递增，又x≥0，
所以x=0时mx取得最小值m0=0，
故fx≥gx．
【答案】
解：取BC的中点为M，连接AM交ED于O，连接A′O，
因为△ABC为等边三角形，
所以AM⊥BC，DE//BC，
所以AO⊥ED，A′O⊥ED，
由ADAC=λλ∈0,1，
所以AOAM=ADAC=DEBC=λ，
所以DE=2λ，OA′=OA=3λ，
S梯形BCDE=12×2×3−12×2λ×3λ=31−λ2，
显然在翻折过程中，当平面A′DE⊥平面BCDE时，四棱锥的体积最大，
故fλ=13×31−λ2×3λ=λ−λ3，
f′λ=1−3λ2，
令f′λ=1−3λ2=0，
得λ=33，
当0<λ<33时， f′λ>0，
当33<λ<1时， f′λ<0，
故当λ=33时，fλ取得最大值fλmax=239．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：取BC的中点为M，连接AM交ED于O，连接A′O，
因为△ABC为等边三角形，
所以AM⊥BC，DE//BC，
所以AO⊥ED，A′O⊥ED，
由ADAC=λλ∈0,1，
所以AOAM=ADAC=DEBC=λ，
所以DE=2λ，OA′=OA=3λ，
S梯形BCDE=12×2×3−12×2λ×3λ=31−λ2，
显然在翻折过程中，当平面A′DE⊥平面BCDE时，四棱锥的体积最大，
故fλ=13×31−λ2×3λ=λ−λ3，
f′λ=1−3λ2，
令f′λ=1−3λ2=0，
得λ=33，
当0<λ<33时， f′λ>0，
当33<λ<1时， f′λ<0，
故当λ=33时，fλ取得最大值fλmax=239．x
−3
(−3,0)
0
(0,2)
2
(2,3)
3
g′(x)
+
0
−
0
+
g(x)
−17
↗
极大值1
↘
极小值−13
↗
1
x
−3
(−3,0)
0
(0,2)
2
(2,3)
3
g′(x)
+
0
−
0
+
g(x)
−17
↗
极大值1
↘
极小值−13
↗
1