2020-2021学年河北省秦皇岛高二（下）期末考试数学试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年河北省秦皇岛高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数z满足z=(1+2i)(2+i)（i为虚数单位），则|z|=( )
A.2B.4C.5D.5

2. 已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁UN=( )
A.{x|x<−1或1C.{x|x≤−1或1≤x≤2}D.{x|1≤x≤2}

3. 命题“∀x>2，x2+2>6”的否定( )
A.∃x≥2，x2+2>6B.∃x≤2，x2+2≤6
C.∃x≤2，x2+2>6D.∃x>2，x2+2≤6

4. 下列说法错误的是( )
A.“若x≠3，则x2−2x−3≠0”的逆否命题是“若x2−2x−3=0，则x=3”
B.“∀x∈R，x2−2x−3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02−2x0−3=0”
C.“x>3”是“x2−2x−3>0”的必要不充分条件
D.“x<−1或x>3”是“x2−2x−3>0”的充要条件

5. 函数fx=−x2+21−mx+3在区间(−∞,4]上单调递增，则m的取值范围是（）
A.[−3,+∞)B.[3,+∞)C.(−∞,5]D.(−∞,−3]

6. 函数y=lnxx的最大值为（）
A.103B.e2C.eD.e−1

7. 曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为( )
A.2x−y+1=0B.x−2y−1=0C.x−2y=0D.2x−y=0

8. 双曲线C:x2a2−y2b2=1过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A.x2−y23=1B.x23−y2=1C.x2−3y23=1D.3x23−y2=1
二、多选题

下列命题中的真命题是( )
A.∀x∈R，2x−1>0B.∀x∈N∗，(x−1)2>0
C.∃x0∈R，lgx0<1D.∃x0∈R，tanx0=2

已知集合A=x|x2−x=0，集合B中有两个元素，且满足A∪B=0,1,2，则集合B可以是（）
A.0,1B.0,2C.0,3D.1,2

下列函数既是偶函数，在0,+∞上又是增函数的是（）
A.y=x2+1B.y=2xC.y=|x|D.y=|1x−x|

下列说法正确的是( )
A.当x>0时， x+1x的最小值为2
B.函数y=sin2x−π3的单调递增区间为−π12+kπ,5π12+kπk∈Z
C.不等式x2+1>0的解集为R
D.已知sinα>0且tanα>0，则α为第一象限角
三、填空题

已知复数2+ai1−i为纯虚数，则实数a=________．

已知椭圆C:x2a2+y23=1的一个焦点为(1, 0)，则C的离心率为________．

已知|z+5i|+|z−5i|=6，则复数z在复平面内所对应点Px,y的轨迹方程为________.

曲线fx=ex−xlnx+2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.
四、解答题

已知a>0且a≠1，命题P：函数fx=lgax在0,+∞上为减函数；命题Q：关于x的不等式x2+2a−3x+1≤0有实数解．
(1)求命题P为真、命题Q为真的a的取值范围；

(2)如果P∨Q为真且P∧Q为假，求实数a的取值范围．

已知圆C的圆心为1,0，直线x+y+1=0与圆C相切．
(1)求圆C的方程；

(2)若直线l过点2,2，被圆C所截得的弦长为2，求直线l的方程．

若直线L:y=kx−2交抛物线y2=8x于A、B两点，且AB的中点为M(2, y0)，求y0及弦AB的长．

已知函数fx=alnx−bx2在x=1处的切线为2y+1=0.
(1)求实数a，b的值；

(2)求函数fx在1e,e上的最值．

已知函数f(x)=lnx+2ax，a∈R．
(1)若函数f(x)在[2, +∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)在[1, e]上的最小值为3，求实数a的值．

已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为72，且其顶点到其渐近线的距离为2217.
(1)求双曲线的标准方程；

(2)直线l：y=3x+m与双曲线交于A，B两点，若|AB|=41011，求m的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省秦皇岛市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】
解：z=(1+2i)(2+i)
=5i，
则|z|=5．
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
补集及其运算
【解析】
进行交集、补集的运算即可．
【解答】
解：∁UN={x|x<−1, 或x>1}；
∴ M∩∁UN={x|x<−1或1故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x>2，x2+2≤6．
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可．
【解答】
解：A，“若x≠3，则x2−2x−3≠0”的逆否命题是“若x2−2x−3=0，则x=3”，故A正确；
B，“∀x∈R，x2−2x−3≠0”的否定是∃x0∈R，x02−2x0−3=0”，故B正确；
C，“x2−2x−3>0”等价于“x<−1或x>3”，
∴ x>3”是“x2−2x−3>0”的充分不必要条件，故C错误；
D，“x<−1或x>3”是“12x2−2x−3>0”的充要条件，故D正确．
故选C．
5.
【答案】
D
【考点】
二次函数的性质
函数的单调性及单调区间
【解析】
由二次函数的图象的对称轴方程为x=1−m，根据函数在区间(−∞,4]上单调递增，可得1−m≥4 ，由此求得m的范围．
【解答】
解：由于函数fx=−x2+21−mx+3的对称轴方程为x=1−m，
若函数在区间(−∞,4]上单调递增，
故有1−m≥4 ，
求得m≤−3．
故选D．
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
利用导数进行求解，注意函数的定义域，极大值在本题中也是最大值；
【解答】
解：∵ 函数y=f(x)=lnxx，(x>0)
∴ y′=1−lnxx2，令y′=0，得x=e，
当x>e时，y′<0，f(x)为减函数，
当00，f(x)为增函数，
∴ f(x)在x=e处取极大值，也是最大值，
∴ y最大值为f(e)=lnee=e−1，
故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
先求得函数的导数，根据切线的斜率，求出切点坐标，进而得到所求切线的方程．
【解答】
解：设切线的切点坐标为x0,y0，
y=lnx+x+1，
y′=1x+1，
y′|x=x0=1x0+1=2，
故x0=1，y0=2，
所以切点坐标为1,2，
所求的切线方程为y−2=2x−1，
即2x−y=0.
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线经过的点，推出a，b的方程，结合离心率推出结果即可．
【解答】
解：双曲线x2a2−y2b2=1过点P2,3，离心率为2，
可得： 2a2−3b2=1，ca=2，
又c2=a2+b2，
解得a=1，b=3
所求的双曲线的标准方程为x2−y23=1．
故选A．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y＝tanx的值域，得D项正确．由此可得本题的答案．
【解答】
解：∵ 指数函数y=2t的值域为(0, +∞)，
∴ 任意x∈R，均可得到2x−1>0成立，故A为真命题；
∵ 当x∈N∗时，x−1∈N，可得(x−1)2≥0，当且仅当x=1时取等号，
∴ 任意x∈N∗，使(x−1)2>0不成立，故B为假命题；
∵ 当x=1时，lgx=0<1，
∴ 存在x∈R，使得lgx<1成立，故C为真命题；
∵ 正切函数y=tanx的值域为R，
∴ 存在锐角x，使得tanx=2成立，故D为真命题.
综上所述，只有B项是假命题.
故选ACD.
【答案】
B,D
【考点】
并集及其运算
【解析】
求出集合A=0,1 ，由A∪B=0,1,2 ，可得出2∈B ，再由集合B中有两个元素，可得出集合B的可能结果．
【解答】
解：∵ A=x|x2−x=0=0,1 ，且A∪B=0,1,2 ，
则2∈B，
由于集合B中有两个元素，则B=0,2或B=1,2.
故选BD．
【答案】
A,C
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的单调性及单调区间
【解析】
利用函数的奇偶性与单调性逐一分析判定即可.
【解答】
解：A， y=x2+1，既是偶函数，在0,+∞上又是增函数，该选项符合题意；
B．y=2x ，是奇函数，该选项不符合题意；
C． y=|x| ，既是偶函数，在0,+∞上又是增函数，该选项符合题意；
D． f(x)=|1x−x|是偶函数，且f(12)=f(2)，∴ 该函数在0,+∞上不是增函数，该选项不符合题意.
故选AC.
【答案】
A,B,C,D
【考点】
正弦函数的单调性
命题的真假判断与应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，∵ x>0，∴ x+1x≥2x⋅1x=2，
当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，
∴x+1x的最小值为2，故A正确；
B，∵ y=sin(2x−π3)，
∴ 单调递增区间为−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，
∴−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
即单调递增区间为x∈[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z，故B正确；
C，∵ x2+1>0，∴ x2>−1，则x∈R，故C正确；
D，∵ sinα>0且tanα=sinαcsα>0，
∴ csα>0，则α为第一象限角，故D正确．
故选ABCD．
三、填空题
【答案】
2
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后根据纯虚数的概念求出a的值．
【解答】
解：∵ 2+ai1−i=(2+ai)(1+i)(1−i)(1+i)=2−a+(2+a)i2为纯虚数，
∴ a−2=0，∴ a=2．
故答案为：2．
【答案】
12
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
利用椭圆的简单性质，利用椭圆的焦距求解椭圆的离心率．
【解答】
解：椭圆C:x2a2+y23=1的一个焦点为(1, 0)，
可得a2−3=1，解得a=2，
所以椭圆的离心率为：e=ca=12．
故答案为：12．
【答案】
y29+x24=1
【考点】
复数的模
轨迹方程
复数的运算
【解析】
直接利用复数的几何意义以及椭圆的定义即可求解结论．
【解答】
解：复数z在复平面内所对应点Px,y，
又 ∵ |z+5i|+|z−5i|=6，
∴ x2+y+52+x2+y−52=6，
即点Px,y到点A0,−5 和B(0,5) 的距离之和为6，
且两定点的距离为25<6，
故点P的运动轨迹是以点AB为焦点的椭圆，
且2a=6，2c=25，
故b=a2−c2=2，
∴ 复数z在复平面内所对应点Px,y的轨迹方程为： y29+x24=1．
故答案为： y29+x24=1．
【答案】
92e−1
【考点】
导数的几何意义
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求导得f′x=ex−lnx−1 ，故f′1=e−1 ，再结合f1=e+2和直线的点斜式方程得切线方程y−e+2=e−1x−1，进而求在坐标轴上的点的坐标，计算三角形的面积．
【解答】
解：因为f′x=ex−lnx−1 ，
所以f′1=e−1，又f1=e+2，
故曲线y=fx在x=1处的切线方程为y−e+2=e−1x−1，
切线交两坐标轴于点A0,3 ，B31−e,0，
所以S△AOB=12⋅OA⋅OB=92e−1.
故答案为：92e−1.
四、解答题
【答案】
解：(1)命题P：函数fx=lgax在0,+∞上为减函数，
所以P真：0命题Q：关于x的不等式x2+2a−3x+1≤0有实数解，
所以Q真：Δ=(2a−3)2−4≥0，
解得a≥52 或a≤12.
(2)因为P∨Q为真，且P∧Q为假，所以命题P和Q一真一假．
当P真Q假时， 0解得12当P假Q真时， a>1,a≥52或0解得a≥52，
所以a的取值范围为a|12【考点】
命题的真假判断与应用
复合命题及其真假判断
【解析】
(Ⅰ)利用对数函数的性质和一元二次不等式解法求解即可；
(Ⅱ)因为P∨Q为真，且P∧Q为假，所以命题P和Q一真一假．分两种情况求解即可.
【解答】
解：(1)命题P：函数fx=lgax在0,+∞上为减函数，
所以P真：0命题Q：关于x的不等式x2+2a−3x+1≤0有实数解，
所以Q真：Δ=(2a−3)2−4≥0，
解得a≥52 或a≤12.
(2)因为P∨Q为真，且P∧Q为假，所以命题P和Q一真一假．
当P真Q假时， 0解得12当P假Q真时， a>1,a≥52或0解得a≥52，
所以a的取值范围为a|12【答案】
解：(1)因为直线x+y+1=0与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即圆心1,0到直线x+y+1=0的距离为d=|1+1|2=2=r，
∴ 圆C的方程为：x−12+y2=2．
(2)当l斜率不存在时，l的方程为x=2，
易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以x=2，
当l斜率存在时，设l的方程为y−2=kx−2，
整理得kx−y+2−2k=0，
则d=|2−k|k2+1，
又直线l被圆C所截得的弦长为2，
所以2=2r2−d2=22−d2，则d=1，
所以|2−k|k2+1=1，解得k=34，
所以直线l的方程为y−2=34x−2，即3x−4y+2=0，
综上，l的方程为x=2或3x−4y+2=0．
【考点】
圆的标准方程
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的性质
【解析】
（1）由题意，根据点到直线距离公式，求出半径，进而可得圆的方程；
（2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程x=2再考虑斜率存在的情况，设】的方程为y−2=kx−2
，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线
方程．
【解答】
解：(1)因为直线x+y+1=0与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即圆心1,0到直线x+y+1=0的距离为d=|1+1|2=2=r，
∴ 圆C的方程为：x−12+y2=2．
(2)当l斜率不存在时，l的方程为x=2，
易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以x=2，
当l斜率存在时，设l的方程为y−2=kx−2，
整理得kx−y+2−2k=0，
则d=|2−k|k2+1，
又直线l被圆C所截得的弦长为2，
所以2=2r2−d2=22−d2，则d=1，
所以|2−k|k2+1=1，解得k=34，
所以直线l的方程为y−2=34x−2，即3x−4y+2=0，
综上，l的方程为x=2或3x−4y+2=0．
【答案】
解：直线y=kx−2代入抛物线y2=8x，
整理可得k2x2−(4k+8)x+4=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
∵ AB的中点的横坐标为2，
∴ x1+x2=4k+8k2=4得k=−1或2，
当k=−1时，x2−4x+4=0有两个相等的实数根，不合题意，
当k=2时，直线y=2x−2，x=2时，y0=2，
|AB|=5⋅16−4=215．
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
直线y=kx−2代入抛物线y2=8x，利用AB的中点的横坐标为2，结合韦达定理，求出k的值，即可求y0及弦AB的长．
【解答】
解：直线y=kx−2代入抛物线y2=8x，
整理可得k2x2−(4k+8)x+4=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
∵ AB的中点的横坐标为2，
∴ x1+x2=4k+8k2=4得k=−1或2，
当k=−1时，x2−4x+4=0有两个相等的实数根，不合题意，
当k=2时，直线y=2x−2，x=2时，y0=2，
|AB|=5⋅16−4=215．
【答案】
解：(1)f′x=ax−2bx，
则 f′1=0,f1=−12,
即 a−2b=0,−b=−12,
解得 a=1.b=12.
(2)由(1)可知：fx=lnx−12x2，
则f′x=1x−x=1−x2x，
在区间1e,e 上，令f′x>0，解得x∈[1e,1)；
令 f′x<0 ，解得x∈(1,e]，
所以函数fx在1e,1上单调递增，在1,e上单调递减，
所以函数fx在区间1e,e上的最大值为f1=−12，
又f(1e)=−1−12e2，f(e)=1−e22，
因为f(e)所以函数fx在区间1e,e上的最小值为f(e)=1−e22.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数，利用切线的斜率以及函数值，列出方程组，然后求解即可；
(Ⅱ)求出导函数，求出极值点以及端点值，然后求解函数的最值．
【解答】
解：(1)f′x=ax−2bx，
则 f′1=0,f1=−12,
即 a−2b=0,−b=−12,
解得 a=1.b=12.
(2)由(1)可知：fx=lnx−12x2，
则f′x=1x−x=1−x2x，
在区间1e,e 上，令f′x>0，解得x∈[1e,1)；
令 f′x<0 ，解得x∈(1,e]，
所以函数fx在1e,1上单调递增，在1,e上单调递减，
所以函数fx在区间1e,e上的最大值为f1=−12，
又f(1e)=−1−12e2，f(e)=1−e22，
因为f(e)所以函数fx在区间1e,e上的最小值为f(e)=1−e22.
【答案】
解：(1)由f(x)=lnx+2ax，a∈R，
所以f′(x)=1x−2ax2=x−2ax2(x>0).
若函数f(x)在[2, +∞)上是增函数，
则f′(x)=x−2ax2≥0在[2, +∞)上恒成立，
即x−2a≥0在[2, +∞)上恒成立，
也就是a≤x2在[2, +∞)上恒成立，
所以a≤1，
所以实数a的取值范围是(−∞, 1].
(2)由(1)知，f′(x)=1x−2ax2=x−2ax2(x>0).
若a≤0，则f′(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立，
则f(x)在(0, +∞)上为增函数.
f(x)在[1, e]上的最小值为f(1)=2a=3，a=32，不合题意；
若a>0，由f′(x)=0，得x=2a．
当x∈(0, 2a)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(2a, +∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
所以当2a≤1，即a≤12时，f(x)在[1, e]上为增函数，
最小值为f(1)=2a=3，a=32，不合题意；
当2a≥e，即a≥e2时，f(x)在[1, e]上为减函数，
最小值为f(e)=1+2ae=3，a=e，符合题意；
当1<2af(x)在[1, e]上的最小值为f(2a)=ln2a+1=3，a=e22，不合题意．
综上，实数a的值为e．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（2）求出原函数的导函数，由导函数在[2, +∞)大于等于0恒成立得到x−2a≥0在[2, +∞)恒成立，分离变量a后即可得到a的取值范围；
（3）由原函数的导函数等于0求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的区间端点值得大小关系分析原函数在区间[1, e]上的单调性，由单调性求得原函数在[1, e]上的最小值，由最小值等于3解得a的值．
【解答】
解：(1)由f(x)=lnx+2ax，a∈R，
所以f′(x)=1x−2ax2=x−2ax2(x>0).
若函数f(x)在[2, +∞)上是增函数，
则f′(x)=x−2ax2≥0在[2, +∞)上恒成立，
即x−2a≥0在[2, +∞)上恒成立，
也就是a≤x2在[2, +∞)上恒成立，
所以a≤1，
所以实数a的取值范围是(−∞, 1].
(2)由(1)知，f′(x)=1x−2ax2=x−2ax2(x>0).
若a≤0，则f′(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立，
则f(x)在(0, +∞)上为增函数.
f(x)在[1, e]上的最小值为f(1)=2a=3，a=32，不合题意；
若a>0，由f′(x)=0，得x=2a．
当x∈(0, 2a)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(2a, +∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
所以当2a≤1，即a≤12时，f(x)在[1, e]上为增函数，
最小值为f(1)=2a=3，a=32，不合题意；
当2a≥e，即a≥e2时，f(x)在[1, e]上为减函数，
最小值为f(e)=1+2ae=3，a=e，符合题意；
当1<2af(x)在[1, e]上的最小值为f(2a)=ln2a+1=3，a=e22，不合题意．
综上，实数a的值为e．
【答案】
解：(1)双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为72，
且其顶点(a,0)到其渐近线bx+ay的距离为2217，
∴ e2=a2+b2a2=74，|ab|a2+b2=2217，
解得a2=4，b2=3，
∴ 双曲线的标准方程为x24−y23=1.
(2) y=3x+m，x24−y23=1，
可得 33x2+24mx+4m2+12=0 ，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∴ x1+x2=−24m33， x1x2=4m2+1233，
∴ |x1−x2|=x1+x22−4x1x2=43m2−3333，
∴ |AB|=k2+1|x1−x2|
=10×43m2−3333=41011，
解得 m=±6.
【考点】
双曲线的特性
双曲线的标准方程
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
(1)由题意得到e2=a2+b2a2=74，|ab|a2+b2=2217，求解即可；
(2) y=3x+m，x24−y23=1，利用根与系数关系结合弦长公式求解即可.
【解答】
解：(1)双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为72，
且其顶点(a,0)到其渐近线bx+ay的距离为2217，
∴ e2=a2+b2a2=74，|ab|a2+b2=2217，
解得a2=4，b2=3，
∴ 双曲线的标准方程为x24−y23=1.
(2) y=3x+m，x24−y23=1，
可得 33x2+24mx+4m2+12=0 ，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∴ x1+x2=−24m33， x1x2=4m2+1233，
∴ |x1−x2|=x1+x22−4x1x2=43m2−3333，
∴ |AB|=k2+1|x1−x2|
=10×43m2−3333=41011，
解得 m=±6.

2020-2021学年河北省秦皇岛高二（下）期末考试数学试卷人教A版

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