2020-2021学年福建省漳州市高二（下）期末数学测试试卷（一）

这是一份2020-2021学年福建省漳州市高二（下）期末数学测试试卷（一），共26页。试卷主要包含了设有下面四个命题，已知曲线在点处的切线方程为，则，若是函数的极值点，则的极小值为，，则双曲线的离心率为等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年福建省漳州市高二（下）期末数学测试试卷（一）
一．单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，满足，则；
：若复数，则．
其中的真命题为　　
A．， B．， C．， D．，
2．（4分）已知曲线在点处的切线方程为，则　　
A．， B．， C．， D．，
3．（4分）若是函数的极值点，则的极小值为　　
A． B． C． D．1
4．（4分）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
5．（4分）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点．若，，则的方程为　　
A． B． C． D．
6．（4分）已知抛物线的焦点为，准线为．若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点），则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
7．（4分）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为　　
A．16 B．14 C．12 D．10
8．（4分）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有　　
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
9．（4分）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为　　
A． B． C． D．
10．（4分）设，则随机变量的分布列是则当在内增大时，　　

0

1




A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
二．多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
11．（4分）如图，平面，，，，，，下面选项正确的有　　

A．平面
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．若二面角的余弦值为，线段的长为
D．直线与平面所成角的正弦值为
12．（4分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由算得，．
附表：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是　　
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
13．（4分）设函数，已知在，有且仅有5个零点，下述结论正确的是　　
A．在有且仅有3个极大值点
B．在有且仅有2个极小值点
C．在单调递增
D．的取值范围是，
三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
14．（4分）已知随机变量服从正态分布，且，则　　．
15．（4分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户居民年收入为15万元家庭的年支出为　　万元．
16．（4分）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，为自然对数的底数），则点的坐标是　　．
17．（4分）在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是　　．
四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
19．（13分）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线与平面相交．

20．（14分）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．
（Ⅰ）求关于的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求实数的取值范围．
21．（14分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为．如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望．
22．（14分）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．
（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．
23．（14分）设函数，为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当，时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间，内的零点，其中，证明．

2020-2021学年福建省漳州市高二（下）期末数学测试试卷（一）
参考答案与试题解析
一．单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，满足，则；
：若复数，则．
其中的真命题为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：若复数满足，则，故命题为真命题；
：复数满足，则，故命题为假命题；
：若复数，满足，但，故命题为假命题；
：若复数，则，故命题为真命题．
故选：．
2．（4分）已知曲线在点处的切线方程为，则　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：的导数为，
由在点处的切线方程为，
可得，解得，
又切点为，可得，即，
故选：．
3．（4分）若是函数的极值点，则的极小值为　　
A． B． C． D．1
【解答】解：函数，
可得，
是函数的极值点，
可得：，即．
解得．
可得，
，函数的极值点为：，，
当或时，函数是增函数，时，函数是减函数，
时，函数取得极小值：（1）．
故选：．
4．（4分）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在长方体中，，
，
，0，，，0，，，0，，
，1，，
，0，，，1，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．

5．（4分）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点．若，，则的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
又，，
又，，
，，
，，
，在轴上．
在△中，，
在△中，由余弦定理可得，
根据，可得，解得，．
．
所以椭圆的方程为：．
故选：．

6．（4分）已知抛物线的焦点为，准线为．若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点），则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：抛物线的焦点为，准线为．
，准线的方程为，
与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点），
，，，，
，
双曲线的离心率为．
故选：．
7．（4分）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为　　
A．16 B．14 C．12 D．10
【解答】解：方法一：如图，，直线与交于、两点，
直线与交于、两点，由图象知要使最小，
则与，与关于轴对称，即直线的斜率为1，
又直线过点，
则直线的方程为，
联立方程组，则，
，，
，
的最小值为，
方法二：设直线的倾斜角为，则的倾斜角为或，
根据焦点弦长公式可得

，
，
则，
，，
即，，
当时，或时，
或，
当或时，的最小，最小为16，
故选：．

8．（4分）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有　　
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
【解答】解：由题意知甲的位置影响乙的排列
要分两类：一类为甲排在第一位共有种，
另一类甲排在第二位共有种，
故编排方案共有种，
故选：．
9．（4分）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
可得，可得．
的展开式中奇数项的二项式系数和为：．
故选：．
10．（4分）设，则随机变量的分布列是则当在内增大时，　　

0

1




A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【解答】解：由题意可得，，
所以，
所以当在内增大时，先减小后增大．
故选：．
二．多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
11．（4分）如图，平面，，，，，，下面选项正确的有　　

A．平面
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．若二面角的余弦值为，线段的长为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【解答】解：由题意知，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，2，，
对于，，2，，平面的法向量为，0，，
因为，所以平面，所以对；
对于，平面的法向量为，2，，，，，
直线与平面所成角的正弦值为，所以对；
对于，，1，，，2，，设平面的法向量为，，，
，令，，，，
二面角的余弦值为，解得，所以对；
对于，由知错；
故选：．

12．（4分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由算得，．
附表：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是　　
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【解答】解：因为，
且，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”，选项正确；
不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”，选项错误；
即有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，选项正确，错误．
故选：．
13．（4分）设函数，已知在，有且仅有5个零点，下述结论正确的是　　
A．在有且仅有3个极大值点
B．在有且仅有2个极小值点
C．在单调递增
D．的取值范围是，
【解答】解：当，时，，，
因为在，有且仅有5个零点，

故在上有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3个，
故对，错，
，
所以，正确，
当时，，，
若在单调递增，则，即，
因为，故正确，
故选：．
三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
14．（4分）已知随机变量服从正态分布，且，则　0.3　．
【解答】解：随机变量服从正态分布，
，得对称轴是．

，

．
故答案为：0.3．

15．（4分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户居民年收入为15万元家庭的年支出为　11.8　万元．
【解答】解：由题意可得，
，
代入回归方程可得，
回归方程为，
把代入方程可得，
故答案为：11.8．
16．（4分）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，为自然对数的底数），则点的坐标是　　．
【解答】解：设，，由，得，
，则该曲线在点处的切线方程为，
切线经过点，，
即，则．
点坐标为．
故答案为：．
17．（4分）在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是　4　．
【解答】解：由，得，
设斜率为的直线与曲线切于，，
由，解得．
曲线上，点到直线的距离最小，
最小值为．
故答案为：4．
四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
【解答】解：甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率均为，
故，
从而，，1，2，3．
所以，随机变量的分布列为：

0
1
2
3





随机变量的期望．
设乙同学上学期间的三天中到校的天数为，则，
且，，，由题意知，与，互斥，且与，与相互独立，
由知，，，，，

19．（13分）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线与平面相交．

【解答】证明：，分别是，的中点，，
平面，平面，
又平面，，
，是的中点，
，
又，平面，平面，
平面．
解：以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，0，，，1，，，，，
，1，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，2，，又平面，
，0，为平面的一个法向量，
，．
由图形可知二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为．
证明：，0，，，0，，，0，，
，
与不垂直，
与平面不平行，又平面，
与平面相交．

20．（14分）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．
（Ⅰ）求关于的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求实数的取值范围．
【解答】（Ⅰ）解：因为，
所以，，
令，解得．
由于当时，单调递增；当时，单调递减；
所以的极小值点为，
由于导函数的极值点是原函数的零点，
所以，即，
所以．
因为有极值，
所以有实根，
所以，即，解得，
所以．
（Ⅱ）证明：由（1）可知（a），
由于，所以（a），即；
（Ⅲ）解：由（1）可知的极小值为，
设，是的两个极值点，则，，
所以

，
又因为，这两个函数的所有极值之和不小于，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
由于时，
所以，解得，
所以的取值范围是，．
21．（14分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为．如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件，
第二次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件，
这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥，
所以（A）

（Ⅱ）可能的取值为400，500，800，并且，，
，故的分布列如下：

400
500
800




故
22．（14分）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．
（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：圆即为，
可得圆心，半径，
由，可得，
由，可得，
即为，即有，
则，
故的轨迹为以，为焦点的椭圆，
且有，即，，，
则点的轨迹方程为；
（Ⅱ）椭圆，设直线，
由，设，
由可得，
设，，，，
可得，，
则
，
到的距离为，
，
则四边形面积为
，
当时，取得最小值12，又，可得，
即有四边形面积的取值范围是，．
第二问另解：
设，
则在中，应用余弦定理有，
结合，可解得，

类似的，
从而，
此时直线的方程为，
于是圆的弦长，
于是可得四边形的面积，
于是四边形面积的取值范围是，．

23．（14分）设函数，为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当，时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间，内的零点，其中，证明．
【解答】（Ⅰ）解：由已知，，因此，
当，时，有，得，单调递减；
当，时，有，得，单调递增．
的单调增区间为，，单调减区间为，；
（Ⅱ）证明：记，依题意及（Ⅰ），
有，从而．
因此，在区间，上单调递减，有．
当，时，；
（Ⅲ）证明：依题意，，即．
记，则，且．
由及（Ⅰ），得，
由（Ⅱ）知，当，时，，在，上为减函数，
因此，，
又由（Ⅱ）知，，
故．
．
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