2020-2021学年福建省南平市高二（上）期末数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年福建省南平市高二（上）期末数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若复数z满足iz＝2+4i（其中i为虚数单位），在在复平面内z对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 下列命题中的假命题是（ ）
A.∃x∈R，lg2x＝0B.∀x∈R，x2>0
C.∃x∈R，csx＝1D.∀x∈R，2x>0

3. 设函数f(x)=sinx+acsx（a为常数），则“a=0“是“f(x)为奇函数”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条

4. 阿基米德（公元前287年-公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家．他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础．他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（ ）
A.B.C.D.

5. 已知x＝1是函数f(x)＝ax3−3x2的极小值点，则函数f(x)的极小值为（ ）
A.0B.−1C.2D.4

6. 若直线l的方向向量，平面β的法向量，则（ ）
A.l⊂βB.l⊥βC.l // βD.l⊂β或l // β

7. 函数f(x)＝ax2−2lnx−1有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A.(−∞, e)B.(0, e)C.(0, 1)D.(−∞, 1)

8. 如图，已知F1为双曲线的左焦点，过点F1的直线与圆交于A，B两点（A在F1，B之间），与双曲线C在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若|F1A|＝|BP|，∠AOB＝120∘，则双曲线的离心率为（ ）

A.B.C.D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

下列说法正确的是（ ）
A.命题“”的否定是“”
B.x>3是x2>4的充分不必要条件
C.若tan(π+α)＝2，则
D.定义在[a, b]上的偶函数f(x)＝x2+(a+5)x+b的最大值为30

已知双曲线的离心率为，且双曲线C的左焦点F在直线上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线C的方程为
B.双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
C.F点到双曲线C的渐近线距离为2
D.k1⋅k2为定值

如图，已知在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为AD1上的动点．则下列结论正确的有（ ）

A.当P运动到AD1中点时，直线BP与平面ABCD所成角的正切值为
B.当P在直线AD1上运动时，三棱锥A1−BPC1的体积不变
C.当P在直线AD1上运动到某一点时，直线B1C与平面BPC1所成角为
D.当P在直线AD1上运动时，△A1PB1的面积存在最小值

已知f(x)是奇函数，当x>0时，f′(x)−f(x)>1，f(1)＝3，则（ ）
A.f(4)>ef(3)B.f(−4)>e2f(−2)C.f(4)>4e3−1D.f(−4)<−4e2−1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

若复数z＝(2+i)(3+ai)为纯虚数（i为虚数单位），则实数a＝________．

已知向量，，若与互相垂直，则实数k的值为________．

在“中国花灯之乡”--广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为A，上顶点为B，AB＝8分米，在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡，球心C在轴AB上，且AC＝2分米．已知球形灯泡的球心C到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点A处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为y＝ax2(a>0)，则实数a的取值范围是________．


已知f(x)＝x−alnx−1，若f(x)有最值，则a的取值范围为________；若当x∈(e, e2)时，f(x)≥0，则a的取值范围为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

设p:2≤x<4，q：实数x满足x2−2ax−3a2<0(a>0)．
（1）若a＝1，且p，q都为真命题，求x的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，M(1, 2)是抛物线C上的点．
（1）求抛物线C的方程；

（2）若过点(2, 0)的直线与抛物线C交于不同的两点A，B，且|AF|⋅|BF|＝13，求直线l的方程．

某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为a元，预计当每件产品的售价为x元(3≤x≤8)时，年销量为(9−x)2万件．若每件产品的售价定为6元时，预计年利润为27万元．
（1）试求每件产品的成本a的值；

（2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润y（万元）最大，并求最大值．

如图①，在等腰梯形ABCD中，BC // AD，AB＝3，BC=1，AD=3，BP⊥AD，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，得到如图②所示的四棱锥A−BCDP，其中M为AD的中点．

（1）试在线段CD上找一点N，使得MN // 平面ABC，并说明理由；

（2）求二面角M−PC−D的余弦值．

已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1、F2．过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8．
（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若过点P(m, 0)(m>1)作圆O:x2+y2＝1的切线l交椭圆E于M、N两点，求△MNO面积的最大值．

已知函数f(x)＝ex−ax−1(a∈R)，g(x)＝xlnx．
（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若直线y＝x−1是函数y＝f(x)图象的切线，求证：当x>0时，f(x)≥g(x)．
参考答案与试题解析
2020-2021学年福建省南平市高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据充要条件的定义分充分性和必要性分别判断即可．
【解答】
解：若a=0，则f(x)=sinx，为奇函数，充分性成立；
若f(x)为奇函数，则f(0)=0，所以0+a=0，a=0，必要性成立；
故“a=0“是“f(x)为奇函数”的充要条件．
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
直线的方向向量
平面的法向量
空间直线的向量参数方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【答案】
B,D
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
命题的否定
命题的真假判断与应用
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,B,D
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
命题的真假判断与应用
棱柱的结构特征
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
【答案】
6
【考点】
复数的运算
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．
【解答】
∵ z＝(2+i)(3+ai)＝(6−a)+(2a+3)i为纯虚数，
∴ 6−a=02a+3≠0 ，解得a＝6．
【答案】
−1
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
(0，]
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
(0, +∞),(−∞, e−1)
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】
由x2−2ax−2a2<0(a>3)．得(x+a)(x−3a)<0，
若a＝3，则q:−1若p，q都为真命题，则，
即x的取值范围是[2, 3)．
若p是q的充分不必要条件，
则[6, 3)⫋(−a，
则，即，得a≥．
即实数a的取值范围是[，+∞)．
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
抛物线C:y2＝2px(p>3)的焦点为F（，0)，
M(1, 2)是抛物线C上的点，解得p＝6，
所以抛物线C的方程为y2＝4x；
设直线l的方程为：x＝my+6与y2＝4x联立，整理可得y8−4my−8＝4，
设A(x1, y1)，B(x5, y2)，
由根与系数的关系可得：，再由，
可得，…①
又由焦半径公式可得|AF|⋅|BF|＝(x1+1)⋅(x7+1)＝x1x7+(x1+x2)+6＝13，
代入①式可得出：m＝±1，
所以直线l的方程为：x±y−2＝8．
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
根据题意可得(9−6)8(6−a)＝27，
解得a＝3，
所以每件产品的成本a为8元．
根据题意可得y＝(9−x)2(x−7)，
令f(x)＝(9−x)2(x−3)，
f′(x)＝2(x−9)(x−2)+(x−9)2＝6x2−42x+135＝3(x−5)(x−9)，
当3≤x≤8时，f′(x)≥0，
当5所以当x＝5时，f(x)max＝f(5)＝32，
答：当每件产品的售价定为6元时，年利润y（万元）最大为32万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
可取CD的中点N，连接MN，
则MN // 平面ABC．
由MN为△ACD的中位线，
可得MN // AC，MN⊄平面ABC，
AC⊂平面ABC，可得MN // 平面ABC；
由平面ABP⊥平面PBCD，AP⊥BP，
可得AP⊥平面PBCD，
取PD的中点K，连接MK，
可得KM⊥平面PBCD，
过K作KH⊥PC，垂足为H，
由三垂线定理可得MH⊥PC，
则∠MHK为二面角M−PC−D的平面角，
由KM=12AP=12，KH=PKsin∠KPH=23，
所以tan∠MHK=1223=322，
则cs∠MHK=223+8=22211．
故二面角M−PC−D的余弦值为22211．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面平行
【解析】
（1）可取CD的中点N，连接MN，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，可得结论；
（2）由面面垂直的性质定理可得AP⊥平面PBCD，取PD的中点K，连接MK，过K作KH⊥PC，垂足为H，由三垂线定理可得MH⊥PC，则∠MHK为二面角M−PC−D的平面角，解直角三角形可得所求值．
【解答】
可取CD的中点N，连接MN，
则MN // 平面ABC．
由MN为△ACD的中位线，
可得MN // AC，MN⊄平面ABC，
AC⊂平面ABC，可得MN // 平面ABC；
由平面ABP⊥平面PBCD，AP⊥BP，
可得AP⊥平面PBCD，
取PD的中点K，连接MK，
可得KM⊥平面PBCD，
过K作KH⊥PC，垂足为H，
由三垂线定理可得MH⊥PC，
则∠MHK为二面角M−PC−D的平面角，
由KM=12AP=12，KH=PKsin∠KPH=23，
所以tan∠MHK=1223=322，
则cs∠MHK=223+8=22211．
故二面角M−PC−D的余弦值为22211．
【答案】
因为△ABF2的周长为8，由椭圆的定义可得6a＝8，
又椭圆的离心率为e＝，所以c＝，
所以椭圆E的标准方程为，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：x＝ny+m，
因为直线l与圆相切，则，即m2＝1+n2，
联立方程，消去x整理可得：(4+n2)y2+2mny+m2−4＝0，
设M(x1, y6)，N(x2, y2)，则y，y，
所以|MN|＝＝
＝＝，
所以三角形OMN的面积为S＝，
当且仅当m＝，即m＝，且此时满足△>5，
所以三角形OMN的面积的最大值为1．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
f′(x)＝ex−a，
当a≤0时，f′(x)>0，+∞)上单调递增；
当a>4时，令f′(x)＝0，
当x∈(−∞, lna)时，f(x)单调递减，+∞)时，f(x)单调递增．
综上可得，当a≤0时，+∞)上单调递增；
当a>8时，f(x)在(−∞，在(lna．
证明：设切点(x0，−ax3−1)，
则切线方程为y−（−ax2−1)＝（−a)(x−x6)，即y＝（(x4−1)−1，
所以−a＝1，-​5−1)−1＝−6，
解得x0＝1，a＝e−3，
所以f(x)＝ex−(e−1)x−1，
当x∈(5, 1)时，f(x)在(0，所以f(x)>f(1)＝8，
又g(x)＝xlnx<0，所以f(x)−g(x)>0；
当x∈[6, +∞)1时​x−(e−1)x−7−xlnx，x≥1，
F′(x)＝ex−(e−1)−(lnx+8)＝ex−lnx−e，
F″(x)＝ex−在[1，且F″（1）＝e−8>0，
所以F′(x)在[1, +∞)上单调递增，
所以F(x)为增函数，所以F(x)≥F(1)＝4．
综上可得，当x>0时．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答