2020-2021学年福建省泉州十一中等六校高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年福建省泉州十一中等六校高二（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年福建省泉州十一中等六校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集为，集合，为的子集，若，则　　
A． B． C． D．
2．（5分）已知函数，若，则　　
A． B． C．1 D．2
3．（5分）已知，，，则　　
A． B． C． D．
4．（5分）若，，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球3个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有　　
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
6．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
7．（5分）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则函数的值域为　　
A． B．， C． D．，0，
8．（5分）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则　　
A．2 B． C．3 D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成．如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分、“较强”记为5分、“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是　　

A．甲、乙的五项能力指标的均值相同
B．甲、乙的五项能力指标的方差相同
C．如果从控制力、决断力、前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力
D．如果从影响力、控制力、感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力
10．（5分）设实数，满足，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
11．（5分）已知函数，则　　
A．恒成立
B．是上的减函数
C．在得到极大值
D．只有一个零点
12．（5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则　　
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设曲线在处的切线斜率为1，试写出满足题设的一个　　．
14．（5分）某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如表：根据如表可得回归方程，则为 　　．
广告费用（万元）
2
3
4
5
销售额（万元）
26

49
54
15．（5分）购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金50万元．已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为　　；一年度内盈利的期望为　　万元．（参考数据：
16．（5分）已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是　　．
四、解答题（6题共70分）
17．（10分）已知的展开式前三项的二项式系数之和37．
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数．
18．（12分）已知关于的函数，其导函数为，且函数在处有极值．
（1）求实数、的值；
（2）求函数在，上的最大值和最小值．
19．（12分）2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议．对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺、不可违．某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示．
（1）求这100名受访群众年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值代替）．
（2）由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄服从正态分布，其中近似为，近似为．
①求；
②从年龄在，，，的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出7人参加访谈节目录制，再从这7人中随机抽出3人作为代表发言，设这3位发言人的年龄落在，内的人数为，求变量的分布列和数学期望．
参考数据：取，若，则，．

20．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人．
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关．

平均车速超过
人数
平均车速不超过
人数
合计
男性驾驶员人数
　　
　　
　　
女性驾驶员人数
　　
　　
　　
合计
　　
　　
　　
（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望．
参考公式与数据：，其中

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．（12分）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间（天数）与销售单价（元的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）．







1.63
37.8
0.89
5.15
0.92

18.40
表中，．
（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个更适宜作价格关于时间的回归方程类型？（不必说明理由）
（Ⅱ）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）若该产品的日销售量（件与时间的函数关系为，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？
附：对于一组数据，，，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

22．（12分）已知函数，其中．
（1）当时，函数的单调性；
（2）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时，．

2020-2021学年福建省泉州十一中等六校高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集为，集合，为的子集，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，
所以．
故选：．
2．（5分）已知函数，若，则　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：函数，，
（2）
．
故选：．
3．（5分）已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
．
故选：．
4．（5分）若，，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：，，假设，
，，即，
若，，则，
但，
即推不出，
是的必要不充分条件．
故选：．
5．（5分）将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球3个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有　　
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
【解答】解：先将4人分为3组，其中一组有2人，另外两组各1人，共有种分法，
然后将3个项目全排列，共有种排法，
根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有种，
故选：．
6．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数的定义域为，
，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，
当，排除，，
故选：．
7．（5分）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则函数的值域为　　
A． B．， C． D．，0，
【解答】解：①当时，，②当时，（当且仅当时，等号成立），
故，
③当时，（当且仅当时，等号成立），
故，
故函数的值域为，，
故函数的值域为，0，，
故选：．
8．（5分）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则　　
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：根据题意，为奇函数，则有（1），且，
又由偶函数，则有，
故由，即，
，是周期为4的周期函数；
又由为奇函数，则（2），则，
为偶函数，则（3）（1），
若（3），则，则，
又由（1），则；
当，时，；
；
故选：．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成．如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分、“较强”记为5分、“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是　　

A．甲、乙的五项能力指标的均值相同
B．甲、乙的五项能力指标的方差相同
C．如果从控制力、决断力、前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力
D．如果从影响力、控制力、感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力
【解答】解：甲的五项能力指标为6，5，4，5，4，平均值为，
乙的五项能力指标为6，4，5，4，5，平均值为，故选项正确；
由于均值相同，各项指标数也相同（只是顺序不同），所以方差也相同，故选项正确；
从控制力、决断力、前瞻力考虑，甲的均值为，乙的均值为，所以甲的领导力高于乙的领导力，故选项不正确；
从影响力、控制力、感召力考虑，甲、乙的指标均值相同，方差也相同，所以甲、乙水平相当，故选项不正确．
故选：．
10．（5分）设实数，满足，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：对于，则，，故错误；
对于，则，由对数函数的单调性得，故正确；
对于：由基本不等式可知，因为，所以等号取不到，故正确；
对于，，由基本不等式可知，，因为，所以等号取不到，故正确．
故选：．
11．（5分）已知函数，则　　
A．恒成立
B．是上的减函数
C．在得到极大值
D．只有一个零点
【解答】解：函数，
则，
令，可得，
令，可得，
所以在上单调递增，
在，上单调递减，故选项错误；
当时，取得极大值，故选项正确；
在区间内，有唯一的极大值即最大值，故选项错误；
因为当时，，当时，，
又，（e），则，
由零点的存在性定理可得，在区间内存在唯一的零点，故选项正确．
故选：．
12．（5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则　　
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立
【解答】解：由题意可得，（甲，（乙，，（丁，
（甲丙）（甲（丙，（甲丁）（甲（丁，
（乙丙），（丙丁）（丁（丙．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设曲线在处的切线斜率为1，试写出满足题设的一个　（答案不唯一）　．
【解答】解：曲线在处的切线斜率为1，
可得，不妨令，
所以可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
14．（5分）某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如表：根据如表可得回归方程，则为 　39　．
广告费用（万元）
2
3
4
5
销售额（万元）
26

49
54
【解答】解：由题意可得，，
因为线性回归方程经过样本中心，
则有，
解得．
故答案为：39．
15．（5分）购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金50万元．已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为　0.63　；一年度内盈利的期望为　　万元．（参考数据：
【解答】解：根据题意，设该保险业务需要赔付为事件，
该保险每一份保单需要赔付的概率为，则每一份保单不需要赔付的概率为，
则10万份保单都不需要赔付的概率，
则保险业务需要赔付的概率（A）；
一年度内盈利的期望（万元），
故答案为：0.63，150．
16．（5分）已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是　，　．
【解答】解：因为，
所以，所以，
因为，，
当时，，则，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得最小值，
所以，
所以，
令，则，
所以，
故当时，取得最小值，当时，取得最大值0，
所以的取值范围是，．
故答案为：，．
四、解答题（6题共70分）
17．（10分）已知的展开式前三项的二项式系数之和37．
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数．
【解答】解：（1）展开式前三项的二项式系数之和37，
，
即，
得，
得，即，
得．
（2）当时，展开式的通项公式为，
由，得，
得，
即展开式中的系数为．
18．（12分）已知关于的函数，其导函数为，且函数在处有极值．
（1）求实数、的值；
（2）求函数在，上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由函数得，
根据题意得：（1）且（1），
，
解得：，
实数、的值分别为、3；
（2）由（1）知，
，
由，得，
函数在，上的单调递增区间是，，单调递减区间是，，
又，（1），（2），
函数的最大值和最小值分别为、．
19．（12分）2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议．对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺、不可违．某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示．
（1）求这100名受访群众年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值代替）．
（2）由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄服从正态分布，其中近似为，近似为．
①求；
②从年龄在，，，的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出7人参加访谈节目录制，再从这7人中随机抽出3人作为代表发言，设这3位发言人的年龄落在，内的人数为，求变量的分布列和数学期望．
参考数据：取，若，则，．

【解答】解：（1）这100名受访群众年龄的平均数为：
，
方差．
（2）①由（1）知，
．
②分层抽样抽取的7人中年龄在，，，内的分别有3人，4人，
的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：

0
1
2
3





．
20．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人．
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关．

平均车速超过
人数
平均车速不超过
人数
合计
男性驾驶员人数
　40　
　　
　　
女性驾驶员人数
　　
　　
　　
合计
　　
　　
　　
（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望．
参考公式与数据：，其中

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解答】解：
（Ⅰ）

平均车速超过人数
平均车速不超过人数
合计
男性驾驶员人数
40
15
55
女性驾驶员人数
20
25
45
合计
60
40
100
因为，所以有的把握认为平均车速超过与性别有关．（6分）
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率为．可取值是0，1，2，3，，有：，，，，
分布列为

0
1
2
3





．（12分）
21．（12分）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间（天数）与销售单价（元的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）．







1.63
37.8
0.89
5.15
0.92

18.40
表中，．
（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个更适宜作价格关于时间的回归方程类型？（不必说明理由）
（Ⅱ）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）若该产品的日销售量（件与时间的函数关系为，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？
附：对于一组数据，，，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断适合作价格关于时间的回归方程类型；
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于，，
关于的线性方程为，
关于的线性方程为；
（Ⅲ）日销售额，
时，有最大值2420元，
即该产品投放市场第10天的销售额最高，最高为2420元．
22．（12分）已知函数，其中．
（1）当时，函数的单调性；
（2）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时，．
【解答】解：（1）时，，函数的定义域是，
，
由，解得或，由，解得：，
故在，上单调递增，在，上单调递减；
证明：（2），
又导函数在上存在零点，
在上有解，则有，即，
且当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
设，，
则，
则，在上单调递减，
在上单调递减，
则（2），
，
则根据不等式的传递性可得，当时，．
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