2022年广东省广州市花都区中考数学二模试卷（含解析）

2022年广东省广州市花都区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 实数的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，下面几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

3. 某学校开展“阅读伴成长”活动，对四月份数学类书藉借阅情况进行了调查，统计数据如表：

依据统计数据可知，学生最感兴趣的书是

A. 算术探索 B. 古今数学思想
C. 数学家的眼光 D. 玩转数学

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，是的直径，弦于点，如果，，那么线段的长为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，一辆小车沿着坡度为：的斜坡向上行驶了米，则此时该小车上升的高度为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7. 如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是

A.
B.
C. 或
D. 减

8. 当时，关于的一元二次方程的根的情况为

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

9. 如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且点不与点，重合．过点作于点，于点，连接，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限经过的顶点，且点在轴上，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点，连结交于点，已知，，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 如图，直线与直线，相交，且，，则的度数是______．
    
     

12. 分解因式：______．
13. 使代数式有意义的的取值范围是______ ．
14. 圆锥底面圆的半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长为______．
15. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，把沿直线翻折后得到，则点的坐标是______．
    
     

16. 如图，已知正方形，点是边延长线上的动点不与点重合，且，由平移得到若过点作，为垂足，则有以下结论：点位置变化，使得时，；无论点运动到何处，都有；无论点运动到何处，一定等于；无论点运动到何处，都有其中正确结论的序号为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共4分）

17. 解方程组：．

四、解答题（本大题共8小题，共68分）

18. 已知：如图，与交于点，，．
    求证：．
    
    
     

19. 已知：．
    化简；
    若点在二次函数的图象上，求的值．
20. 北京冬奥会已落下推幕，但它就象一团火焰，点燃了中国人参与冰雪运动的热情．某校为了解学生对冰雪运动相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评．所有问卷全部收回，从中随机抽取若干份答卷，并统计成绩将结果绘制成如下所示的统计图均不完整．
    请答下列问题：
    本次随机抽取了______份答卷，并补全条形统计图；
    莱班计划在“短道速滑”、“花样滑冰”、“单板滑雪”、“冰壶”四项冰雪运动中任选两项作为板报素材，求恰好选中“短道速滑”、“冰壶”这两项运动的概率．

21. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？
22. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，．
    作的角平分线，分别交，于点，；不写作法，保留作图痕迹
    若，，求线段的长．

23. 如图，函数与的图象交于点，点的纵坐标为直线轴于点．
    求的值；
    点是函数图象上一动点，过点作于点，在中，若两条直角边的比为：，求点的坐标．
    
     

24. 已知抛物线为常数，，与轴交于点，，与轴的交点为．
    当，时，求该抛物线的顶点坐标；
    过点作直线平行于轴，是直线上的动点，是轴上的动点，．
    当点落在抛物线上不与点重合，且时，求点的坐标；
    取的中点，当为何值时，的最小值是．
25. 如图，已知的半径为，在的对称轴上取一点，使得点在点的下方，过作直线，为直线上的一点，过点作的切线，，切点为，，连接．
    当时，求的长；
    连接，当最小时，求的长；
    试证明点在直线上运动时，弦必过一个定点．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：实数的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义直接求解．
本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层左边一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

3.【答案】

【解析】解：因为有人借阅玩转数学，借阅的次数最多，
所以学生最感兴趣的书是玩转数学；
故选：．
根据图表给出的数据和众数的定义即可得出答案．
此题主要考查了众数意义，众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

4.【答案】

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则，可得答案．
本题考查了完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则，熟记法则和公式是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
在中，
．
故选：．
根据垂径定理可得，，在中，根据勾股定理，，计算即可得出答案．
本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理的应用进行求解是解决本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：设此时该小车上升的高度为米，则水平前进了米．
根据勾股定理可得：，
解得．
即此时该小车上升的高度为米．
故选：．
设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：坡度垂直高度水平宽度，综合利用了勾股定理．
 

7.【答案】

【解析】解：根据函数图象，
当或时，，
所以的解集为或．
故选：．
结合函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围．
本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，
 

8.【答案】

【解析】解：根据题意得，
，
，

，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算出根的判别式得到，再消去得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

9.【答案】

【解析】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，，，
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
当时，有最小值，
此时，
，
的最小值为，
故选：．
由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可证四边形是矩形，可得，时，有最小值，由面积法可求解．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，过作垂直于点，交于点，
，
∽，
，
，
设，则，
，
又，
，
又，
∽
，
，
解得，舍去，
，，
又，
，
，
在中，勾股定理可得，
，
在中，，
，
解得或舍去，
，
，
故选：．
过向作垂线，垂足为，交于，根据，得出，设，则，得，又，可推导出，求出的值，得出，进一步导出，在中，，，在中，即可求出的长，求出的值．
本题考查了反比例函数与相似三角形结合的综合性题目，主要涉及到反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质，线段之间比例关系的转化，解题关键在于做出辅助线，设出线段比例关系，通过不断转化得出线段等量关系，最后求出值．
 

11.【答案】

【解析】解：直线，，
．
故答案为：．
直接根据平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
应先提取公因式 ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】

解： ，
，
．
故答案为 ．

 

13.【答案】

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数进行解答．
本题考查的是分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：设圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的母线长为．
故答案为．
设圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，作轴，交轴于点，轴，交轴于点，

直线与轴、轴分别交于、两点，
，，
，，
在中，
，
，
由折叠的特性得，，
，
，
，
，，
，，

故答案为：
作轴，交轴于点，轴，交轴于点，由直线与轴、轴分别交于、两点，求出，，和，运用直角三角形求出和，再求出点的坐标．
本题考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线段．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，在正方形中，，，
，
，
，
，
；
由平移得，
，
≌，
，
；
以的中点为圆心，以为直径作，连结、，则，
点、在上．
当时，则，
，
．
故正确；
由得，，
，
．
故正确；
，
的大小随即的变化而变化，如当时，则．
故错误；
作于点，于点，则．
设正方形的边长为，，则．
，，
．
故正确．
故答案为：．
由正方形的性质、平移的特征证明≌，再以为直径作圆，则该圆经过点、，可证明，由，得，故正确；
由得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得到，故正确；
由得的大小随的变化而变化，举一个反例说明的大小不是定值，故错误；
过点作，，设正方形的边长为，的长为，用含、的式子分别表示和的面积，即可得出，故正确．
此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定、平移的特征、圆周角定理、勾股定理等知识和方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
原方程组的解为．

【解析】利用加减消元法解二元一次方程组．
本题考查解二元一次方程组，掌握消元法加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的步骤是解题关键
 

18.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
．

【解析】由已知两对边相等，再加上一对对顶角相等，利用得出≌，利用全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，可得出与平行．
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，全等三角形的判定方法有：；；；，以及直角三角形判定全等的方法．
 

19.【答案】解：

．
在二次函数的图象上，
，
解得，，
中，
．

【解析】括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
将代入函数解析式求出的值，再代入原式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握分数的化简求值，注意分式有意义的条件．
 

20.【答案】

【解析】解：本次随机调查的答卷数量为份，
分的人数为人，
补全图形如下：

故答案为：；
将四项冰雪运动分别记作甲、乙、丙、丁，
画树状图得：

一共有种等可能的结果，其中恰好选中“短道速滑”、“冰壶”这两项运动的有种结果，
恰好选中“短道速滑”、“冰壶”这两项运动的概率为．
由分的人数及其所占百分比可得总人数；用总人数乘以得分人数所占比例即可；
将四项冰雪运动分别记作甲、乙、丙、丁，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设江水的流速为，
根据题意得：，
，
解得：．
经检验，是原方程的解．
答：江水的流速为．

【解析】根据题意可得顺水速度为，逆水速度为，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行所用时间以最大航速逆流航行所用时间，根据等量关系列出方程求解即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程．
 

22.【答案】解：如图所示：


过点作于点，于点．
由作图可知平分，
，
，，四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】根据题意作出图即可；
过点作于点，于点首先证明，再根据平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握基本作图，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：将代入函数得，
，
，
，
将代入得，；
当点在点下方时，

若，设，则，
，
再将点代入得，
，
解得舍去或，
，
当时，设，则，
，
，
解得或舍去，
当点在点的上方时，

同理可得点，
综上，点的坐标为或．

【解析】首先利用一次函数解析式得出点坐标，再代入反比例函数即可；
分点在点的下方和上方，再两条直角边的比为：，进行分类讨论，表示出点的坐标，再代入反比例函数解析式可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，运用分类思想、方程思想是解题的关键．
 

24.【答案】解：当，时，，
经过点，
，
，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的顶点为；
抛物线经过点，，
，，
，
，，
抛物线的解析式为，
，，
过点作于点，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
点在轴上，
在中，，
点的坐标为或；
由是的中点，连接、，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
，，
，，
在中，，
当时，即时，满足条件的点在线段上，
的最小值为，
解得；
当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，
的最小值为，
解得；
当或时，的最小值为．

【解析】先求出抛物线的解析式再求顶点坐标即可；
由题意可知抛物线的解析式为，则，，过点作于点，则，求出，由，求出，在中，，即可求点的坐标为或；
由题意可知点在以点为圆心，为半径的圆上，即可求，，在中，，分两种情况讨论：当时，即时，满足条件的点在线段上，的最小值为，解得；当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，的最小值为，解得．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图像上点的坐标特点，直角三角形勾股定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，

连接，，
，
，
为的切线，
，
，
，
；
如图，设与交于点，
和是的切线，
，平分，
，
，
，
当最小时，最小，最小，
当点运动到点时，最小等于，
；
如图，

设与的交点为点，
，，
∽，
，
，
同理可得：∽，
，
，
，
，
，
恒过点

【解析】连接，，解直角三角形和直角三角形，从而求得结果；
因为，而，当最小时，最小，进一步求得结果；
可证明∽，∽，进一步求得结果．
本题考查了圆的切线性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是转化题意，将求定点问题转化为求线段的长．