2022年广东省广州市花都区中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省广州市花都区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列四个实数中，为无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 甲、乙两位学生各进行次一分钟跳绳训练，经统计两人的平均成绩相同，方差分别为，，则成绩更为稳定的是

A. 甲 B. 乙
C. 甲、乙成绩一样稳定 D. 无法确定

3. 关于原点对称的点的坐标为

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，，，是上的三点，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 甲、乙两位同学去图书馆参加整理书籍的志愿活动，已知甲每小时比乙多整理本，甲整理本书所用的时间与乙整理本书所用的时间相同，设乙每小时整理本书，根据题意列方程得

A.  B.  C.  D.

7. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，是等腰三角形的三边长，且，是关于的方程的两个实数根，则的值是

A.  B.
C. 或 D. 或

9. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，则的正弦值为

A.
B.
C.
D.

10. 已知，直线：与轴交于点，点与点关于轴对称．是直线上的动点，将绕点逆时针旋转得连接，则线段的最小值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 如图，点是直线上一点，，则的度数为______．
     

12. ______．
13. 已知直线与直线交于点，则关于，的方程组的解是______．
14. 若关于的方程的解为负数，则点在第______象限．
15. 如图，是的直径，是的切线，且，则图中阴影部分的面积为______．

16. 如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点则下列结论：
    ；
    若，，则；
    ；
    当是的中点时，：：．
    其中正确的结论是______填写所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，点是的中点，，，求证：．

19. 已知
    化简；
    若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 为了落实“双减”政策，更好地进行家校共育，学校计划对每位学生进行家访，家访的形式由家长自行选择，某班主任对本班学生家长的家访形式进行调查统计，并绘制如下的统计表和不完整的扇形统计图．

扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是______．
若选择“入户家访”的四位学生分别为，，，，班主任决定本周从这四人中随机选取两人进行入户家访，用列表法或画树状图法求恰好选中，两人的概率．






 

21. 学校玩转数学小组利用无人机测量大树的高．当无人机在处时，恰好测得大树顶端的俯角为，大树底端的俯角为，此时无人机距离地面的高度米，求大树的高．
    结果保留小数点后一位．，

22. 如图，在中，，．
    在上求作点，使得；不写作法，保留作图痕迹
    若，求的长．
     

23. 如图，反比例函数经过点，其中，满足．
    求反比例函数的解析式；
    以点为圆心，为半径画圆，点是圆周上一点，且，求点的坐标．
    
     

24. 如图，在中，平分，且．
    若，，，求的度数；
    证明：；
    设，试判断，，之间的数量关系用含的式子表示，并说明理由．
     

已知抛物线与轴交于，两点在的左侧，点．
判断点是否在抛物线上；
直线与抛物线的对称轴交于点，连接，．
若，求抛物线的解析式；
将直线沿轴翻折所得直线与抛物线的另一个交点为，是线段上的一点，且是的外心，设过点，的直线与轴的夹角为试判断的大小是否发生变化．若不变，请求出的值；若发生变化，请说明理由．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：是整数，是分数，是有限小数，这些都属于有理数；
是无理数．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：甲、乙两位学生的平均成绩相同，，，
，
成绩较为稳定的是乙．
故选：．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

3.【答案】
 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：．
根据关于原点对称的两个点的坐标特征判断即可．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标特征是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，故A正确，符合题意；
B、，故B错误，不符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据单项式乘除单项式法则，积的乘方、幂的乘方法则及同类项定义逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键式掌握整式相关运算的法则．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得的度数，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及圆周角定理是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设乙每小时整理本书，根据题意列方程得，
故选A．
设乙每小时整理本书，根据甲整理本书所用的时间与乙整理本书所用的时间相同，列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：、反比例函数图象在第二、四象限，因此，可得，二次函数开口向上，则，抛物线与轴交于正半轴，则，一致，故此选项正确；
B、抛物线与轴交于负半轴，不合题意，故此选项错误；
C、反比例函数图象在第二、四象限，因此，可得，二次函数开口向下，则，前后矛盾，故此选项错误；
D、抛物线与轴交于负半轴，不合题意，故此选项错误；
故选：．
根据反比例函数的性质可确定反比例函数的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母的范围，看的范围是否统一．
此题主要考查了反比例函数和二次函数图象，关键是掌握反比例函数和二次函数的性质．
 

8.【答案】
 

【解析】解：当腰长为时，把代入原方程得，
，
原方程变为：，
解得，，

能构成三角形；

当底边为时，那么的方程的两根是相等的，
，
，
方程变为，
方程的两根相等为，

能构成三角形；
综上，的值是或，
故选：．
当腰长为时，直接把代入原方程即可求出的值；
当底边为时，那么的方程的两根是相等的，利用判别式为即可求出的值．
此题主要考查了一元二次方程的解的定义、等腰三角形的性质，根的判别式，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到方程的解，把方程的解代入原方程即可求出待定字母的取值即可解决问题．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图，过作于，
四边形是菱形，且，，
，，，，
，
，
，
，
，
在中，，
故选：．
过作于，由菱形的性质得，，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长，即可解决问题．
此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：设直线交轴于，
在中，令得，令得，
，，
点与点关于轴对称，
，，
绕点逆时针旋转得，
当在直线上运动时，的轨迹是将直线绕点逆时针旋转得到的一条直线，
设直线交轴于，过作于，当运动到时，过轴于，如图：

由已知可得：是等边三角形，
，，
，，
，
由，可得直线解析式为，
令得，
，，
，
，
在中，
，
当运动到时，的最小值即为的长，如图：

故选：．
设直线交轴于，可得，，，，当在直线上运动时，的轨迹是将直线绕点逆时针旋转得到的一条直线，设直线交轴于，过作于，当运动到时，过轴于，可得，直线解析式为，令得，，从而可得，在中，，即得当运动到时，的最小值即为的长．
本题考查一次函数图象的旋转变换，解题的关键是掌握的轨迹是将直线绕点逆时针旋转得到的一条直线．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据补角的概念直接计算即可．
本题主要考查角的概念，熟练掌握角的概念是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：原式．
故答案为：
原式化为最简二次根式，合并即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：直线与的交点坐标为，
方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
方程组的解，
故答案为：．
根据方程组的解是一次函数的交点坐标解答即可．
本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是厉害一次函数的交点坐标．
 

14.【答案】三
 

【解析】解：解关于的方程，得：，
根据题意知，，
解得，
点在第三象限，
故答案为：三．
解方程得出，根据解为负数得出，从而得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式、一元一次方程的解和点的坐标，解题的关键是解方程，并根据解为负数得出的范围．
 

15.【答案】
 

【解析】解：连接，

是的切线，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
阴影部分的面积为：


．
故答案为：．
连接，根据切线的性质及可判断、是等腰直角三角形，再根据阴影部分的面积为计算即可．
本题主要考查了扇形的面积公式，解题关键是将求不规则图形面积转化成规则图形面积．
 

16.【答案】
 

【解析】解：在矩形中，，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
；故正确；
，，
，
，
∽，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，
，
，
；故正确；
，，
，
，
，
，，
；故错误；
当是的中点时，
设，则，
，
，
，
，
，
：：：故正确．
综上所述：．
故答案为：．
根据矩形的性质证明是等腰直角三角形，进而可以判断；
首先证明∽，证明≌，可得，可得四边形是正方形，所以，进而可以判断；
根据勾股定理可得，根据，，即可判断；
设，则，可得，所以，根据勾股定理可得，所以得，进而可以判断．
本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到∽．
 

17.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为．
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：


；
，
，
当时，原式．
 

【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法即可；
由，可以得到，然后代入中化简后的式子即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
 

20.【答案】
 

【解析】解：扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是，
故答案为：；
列表如下：

共有种等情况数，其中恰好选中，两人的有种，
所以恰好选中，两人的概率为．
用乘以“电话家访”的人数占总人数的比例即可；
列表展示所有种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：如图：延长，交过点的水平线于点，

则，米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
大树的高约为米．
 

【解析】延长，交过点的水平线于点，根据题意可得，米，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，点即为所求；

，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，连接即可；
证明∽，推出，求出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：．
，，
，，
，
反比例函数经过点，
，
反比例函数的解析式为；
如图，作轴于，

，
，，
，，
，
则与轴的另一个交点即为，此时，
，
，
延长交于，此时，
，
，
综上：或
 

【解析】首先利用二次根式和平方的非负性可得，，从而得出点的坐标，即可得出答案；
作轴于，根据点的坐标可得，，则，则与轴的另一个交点即为，此时，延长交于，此时，分别求出点和的坐标即可．
本题是反比例函数综合题，主要考查了二次根式的性质，圆的性质，函数图象上点的坐标的特征，三角函数等知识，求出是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，，
，
是直角三角形，，
平分，
；
证明：过点分别作于点，于点，

平分，
，
又，，
≌，
，，
，
≌，
，
，即，
在四边形中，，
，
；
解：过点作于点，
，
，
由可得≌，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
∽，
，
，
，
，
．
 

【解析】证出是直角三角形，，由角平分线的性质得出答案；
过点分别作于点，于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，由四边形内角和定理可得出答案；
过点作于点，证明∽，由相似三角形的性质可得出结论，则可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、角平分线的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是根据角平分线正确的作出辅助线．
 

25.【答案】解：把代入得：
，
点在抛物线上；

抛物线，令，则，
，
，
解得，，
，，

设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
整理得：，解得，不合题意，舍去，
抛物线的解析式为，
；

如图，过作轴于、过作轴于．

是的外心，
、分别为、的垂直平分线，为抛物线的对称轴，
为，
直线的解析式为，
，
，
，
设，，为，
，解得，
为，
，为的中点，
，
，解得，
直线的解析式为，
，即
与关于轴对称，
的解析式为．
，解得或，
 ．
．
，
，
∽，
，

的纵坐标为代入．
的横坐标为．
，即，
设为，
，解得，
的解析式为，
当时，，
，
．
，
的大小不会发生变化．．
 

【解析】直接把的坐标代入解析式进行检验即可；
先求解抛物线与轴的两个交点坐标，再求解的解析式，表示出的坐标，再利用面积公式列方程，解方程即可；
如图，过作轴于、过作轴于先求得三角形的外心的坐标再求的解析式为求出 再利用相似三角形的性质求得的坐标，设为，求出的解析式即可得到答案．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，三角形外接圆的圆心的坐标的确定，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，本题难度较大，对学生的要求高，特别是对计算能力的要求高，细心是解题的关键．