2022年广东省广州市增城区中考数学二模试卷（含解析） (1)

2022年广东省广州市增城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 实数，，，中，最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 直角三角形斜边上的中线长为，则该斜边长为

A.  B.  C.  D.

3. 交通是经济发展的重要支柱．公安部月日发布，截止年月，全国新能源汽车保有量达万辆．将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

4. 年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

5. 三张外观相同的卡片分别标有数字、、，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于的概率是

A.  B.  C.  D.

6. 下列各式正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 九章算术中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出元，则差元；每人出元，则差元，求人数和羊价各是多少？设买羊人数为人，根据题意可列方程为

A.  B.
C.  D.

8. 不等式组的解集在数轴表示正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 将二次函数的图象向上平移个单位，再向左平移个单位后得到的图象的顶点坐标是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知▱的面积为，点在边上从左向右运动不含端点，设的面积为，的面积为，则关于的函数图象大致是

A.
B.
C.
D.
 

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 化简：______．
12. 分式方程的解为______．
13. 代数式有意义，则的取值范围是______．
14. 如图，将绕顺时针旋转到的位置，在边上，则______度．
    
    
    
     

15. 如图，在中，，，现将折叠，使点与点重合，则的长为______．

16. 如图，将个边长都为的正方形按如图所示摆放，、，，分别是正方形的中心，若按此规律摆放个这样的正方形，则这个正方形两两重叠阴影部分的面积之和是______．

三、计算题（本大题共1小题，共4分）

17. 解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共68分）

18. 如图，点、在上，，，．
    求证：≌．
    
    
     

19. 已知．
    化简；
    若与，构成的三边，且为整数，求的值．
20. 为了解初二某班学生使用共享单车次数的情况，某数学小组随机采访该班的位同学，得到这位同学一周内使用共享单车的次数，统计如下：

这位同学一周内使用共享单车次数的众数是______ ，中位数是______ ；
求这位同学一周内使用共享单车次数的平均数．

21. 如图，已知钝角．
    过钝角顶点作，交于点使用直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹；
    若，，，求的长．

22. 在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买、两种防疫物品如果购买种物品件，种物品件，共需元；如果购买种物品件，种物品件，共需元．
    求、两种防疫物品每件各多少元；
    现要购买、两种防疫物品共件，总费用不超过元，那么种防疫物品最少购买多少件？
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、，四边形为菱形．
    求一次函数与反比例函数的解析式；
    根据图象，直接写出反比例函数的值小于时，的取值范围；
    设点是直线上一动点，且，求点的坐标．

24. 如图，在中，，，，动点由点向点以每秒速度在边上运动，动点由点向点以每秒速度在边上运动，若点，点从点同时出发，运动秒，连接．
    求证：∽．
    如图，设经过点、、三点的圆为，连接并延长，交于点．
    当与边相切时，求的值．
    在点、点运动过程中，若与边交于点、点在点左侧，当与相似时，求的值．

25. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在直线上，，且．

若点的坐标为，求点的坐标；
若的面积比面积大，当随着的增大而减小时，求自变量的取值范围；
在的条件下，点在的图象上，点在的图象上，求与的较大值用表示，问有无最小值？若有，请求出该值；若无，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
最小的数是，
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较大小，再求出答案即可．
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】

【解析】解：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得斜边长，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握这一知识是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于 的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】

解：画树状图得：

共有 种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于 有 种情况，
两张卡片上的数字恰好都小于 概率 ．
故选 A ．
 

6.【答案】

【解析】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
、都没有意义，不能乘除，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：．
利用特殊角的三角函数值、积的乘方、二次根式的乘法、单项式除以单项式法则分别计算各选项，根据计算结果可得结论．
本题考查了整式的运算和二次根式的乘法，掌握“、“”、单项式除以单项式法则及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：设买羊人数为人，
则根据题意可列方程为．
故选：．
设买羊人数为人，根据出资数不变列出方程．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标是，将其向上平移个单位，再向左平移个单位后得到．
故选：．
利用配方法求得原抛物线顶点坐标，然后根据平移规律得到新抛物线顶点坐标．
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 

10.【答案】

【解析】解：▱的面积为，
当时，；时，；
的底边边上的高不变，
是的一次函数，
故只有选项B符合题意．
故选：．
根据平行四边形的性质可知，当点在处时即，的面积为，当点运动到时即，的面积为，因为的底边边上的高不变，所以是的一次函数，据此判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
 

11.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：方程两边乘得，
，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解，
故答案为：．
方程两边乘化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：由题意，得，
解得．
故答案是：．
由分式的分母不等于零和二次根式的被开方数是非负数得到．
考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，注意，二次根式在分母上，所以不能取到．
 

14.【答案】

【解析】解：由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，
故答案为：．
根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的判定可得的度数．
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：将折叠，使点与点重合，
，，
，，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
根据折叠，使点与点重合，可得，，由，，得，即知，在中，，再根据，可得的长．
本题考查直角三角形中的折叠，解题的关键是掌握折叠的性质及所对直角边等于斜边的一半．
 

16.【答案】

【解析】解：，，，分别是正方形的中心，
一个阴影部分面积等于正方形面积的，即．
故个正方形两两重叠阴影部分的面积之和是，
故答案为：．
根据题意可得，一个阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则个这样的正方形重叠部分即为个阴影部分的和．
此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到两个这样的正方形重叠部分阴影部分的面积是正方形的面积的．
 

17.【答案】解：，
分解因式得：，
可得：或，
解得：，．

【解析】将方程左边的多项式提取公因式，分解因式后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
 

18.【答案】证明：，
，
即，
，
，
在和中

≌．

【解析】求出，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
 

19.【答案】解：



．
由题意可知：，
由分式有意义的条件可知：，
．

【解析】根据分式的运算法则进行化简即可求出答案．
根据三角形三边关系求出的值，再代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及三角形的三边关系，本题属于基础题型．
 

20.【答案】次  次

【解析】解：按照大小顺序重新排列后，第、第个数都是，所以中位数是次，出现次最多，所以众数是次，
故答案为：次，次；
次，
故这位同学一周内使用共享单车次数的平均数是次．
出现次数最多的即为众数；将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数；
根据加权平均数的计算公式，将所有数的和除以即可得出结论．
本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．
 

21.【答案】解：如图，线段即为所求．
解：在中，，
，
在中，．

【解析】利用尺规作出，垂足为即可．
在中求出，再在中，求出即可．
本题考查作图基本作图，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设种防疫物品元件，种防疫物品元件，
依题意得：，
解得：．
答：种防疫物品元件，种防疫物品元件．
设种防疫物品购买件，则种防疫物品购买件，
依题意得：，
解得：．
答：种防疫物品最少购买件．

【解析】设种防疫物品元件，种防疫物品元件，根据“如果购买种物品件，种物品件，共需元；如果购买种物品件，种物品件，共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设种防疫物品购买件，则种防疫物品购买件，利用总费用单价数量，结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：如图，连接，交轴于点，

，
，，
四边形是菱形，
，，
，
将代入直线可得，
解得，
将代入反比例函数可得，
解得：；
一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
当时，反比例函数的值为，
当反比例函数图象在点下方时，对应的函数值小于，
此时的取值范围为：或；
，，
，
，
，
设点坐标为，与轴相交于，
则，
，
，
当在的左侧时，，
，，
，
当在的右侧时，，
，，
，
综上所述，点的坐标为或．

【解析】本题考查一次函数与反比例函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，菱形的性质，三角形的面积等，
由菱形的性质可知、关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
由可知点坐标为，结合图象可知在点的下方时，反比例函数的值小于，可求得的取值范围；
根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标．
 

24.【答案】证明：由题意得：，，
，，，
，
，，
，
又，
∽．
解：，
是直径，
与边相切，
，

则，
， ，
，
，
，
；
由题意得，
解得，

由得， ，，
， ，，
由与相似可得：
当时，
即，
解得；
当时，
即，
解得，
综上，当与相似时，的值为或．

【解析】利用，再根据，即可证明结论；
由相切的性质知，则，利用勾股定理可得的长，利用等积法求出的长，从而得出答案；
由与相似，分两种情形，当时，或时，分别代入解方程即可．
本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角第，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
 

25.【答案】解：把点代入直线，得，解得，
把代入，得，
点的坐标为；
由，且可得，
，
因为在轴负半轴且，在直线上，
，开口向下，
，，
由的面积比面积大，得，
解得，
，，
抛物线对称轴为直线，且开口向下，
当随着的增大而减小时，自变量的取值范围为；

由，设的解析式为，
将代入得，解得，

而，
它们的图象如图所示，由图象，可得，
当时，，随的减小而减小，无最小值．

【解析】把点代入直线，求得，即可求得；
由题意可知，因为在轴负半轴且，在直线上，则，开口向下，即可得到，，由的面积比面积大，得到，求得，从而求得，，得到抛物线对称轴为直线，且开口向下，即可得到当随着的增大而减小时，求自变量的取值范围为；
由可知，，即可得到，根据图象即可得到结论．
本题考查二次函数的图象及性质；抛物线与轴的交点，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．