2021-2022学年安徽省蚌埠市怀远实验中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省蚌埠市怀远实验中学教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列各式是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 用配方法解方程，将其化成的形式，则变形正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算：，，，，，，其中结果正确的个数为

A.  B.  C.  D.

4. 一个多边形所有内角与外角的和为，则这个多边形的边数是

A.  B.  C.  D.

5. 一元二次方程的一个根是，则的值是

A.  B.  C. 或 D.

6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是

A.  B.
C.  D.

7. 的三边分别为，，，下列条件：；；：：：：．
   其中能判断是直角三角形的条件个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 如图，是▱边延长线上一点，连接、、，交于点添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是

A.
B.
C.
D.
 

9. 如图，在中，，，以为斜边向外作，、分别为、的中点，连接，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有▱中，最小的值是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

11. 计算：______．
12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，是网格上的格点三角形，则它的边上的高等于______ ．
    
    
    
     

13. 如图，在▱中，，，则______．
    
    
     

14. 如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接若，，则的长为          ．
     

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

15. 计算：

四、解答题（本大题共8小题，共64分）

16. 解方程：
    用配方法求解；
    用因式分解法求解．
17. 已知二次根式．
    求使得该二次根式有意义的的取值范围；
    已知为最简二次根式，且与为同类二次根式，求的值，并求出这两个二次根式的积．
18. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．

19. 已知关于的方程．
    求证：取任何实数值，方程总有实数根；
    若斜边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
20. 年，某市某楼盘以每平方米元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，年的均价为每平方米元．
    求平均每年下调的百分率；
    假设年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套平方米的住房，他持有现金万元，可以在银行贷款万元，张强的愿望能否实现？为什么？房价每平方米按照均价计算
21. 如图，在中是边的中点，于点，交于点，且，
    试说明：；
    若，，求的长．
    
    
     

22. 如图，分别以的直角边及斜边向外作等边及等边，已知：，，垂足为，连接．
    试说明：；
    求证：四边形是平行四边形．

23. 如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，且．

求证：；
    若，，连接；
若，求平行四边的面积；
设，试求与满足的关系．
答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】
解： 、 是最简二次根式，符合题意；
B 、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
C 、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D 、 ，不是最简二次根式，不符合题意．
故选 A ．   

2.【答案】

【解析】解：，
，即，
故选：．
移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得．
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，故正确．
，故错误．
，故正确．
，故错误．
与不是同类二次根式，故错误，
，故正确．
故选：．
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
 

4.【答案】

【解析】解：多边形的内角和是：，
设多边形的边数是，
则，
解得：，
故选：．
根据多边形的外角和是度，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．
本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
 

5.【答案】

【解析】解：把代入方程得，解得，，
因为方程为一元二次方程，
所以，
所以．
故选：．
把代入方程得，解得，，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的解．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的两个实数根；
当 时，方程有两个相等的两个实数根；
当 时，方程无实数根．
利用根的判别式 分别进行判定即可．
【解答】
解： ，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
B. ，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
C. ，没有实数根，故此选项符合题意；
D. ，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
故选 C ．   

7.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
是直角三角形，
正确；
，
，
，
是直角三角形，正确；
：：：：，
设，，，
，，
，
是直角三角形，正确；
故选：．
根据三角形的内角和定理和已知求出最大角的度数，即可判断；根据已知得出，根据勾股定理的逆定理即可判断；设，，求出，根据勾股定理的逆定理即可判断．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，难度适中．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的性质得到 ， ，求得 ， ，推出 ，于是得到四边形 为平行四边形，故 A 正确；根据平行线的性质得到 ，根据全等三角形的性质得到 ，于是得到四边形 为平行四边形，故 B 正确；根据平行线的性质得到 ，求得 ，求得 ，同理， ，不能判定四边形 为平行四边形；故 C 错误；根据平行线的性质得到 ，推出 ，于是得到四边形 为平行四边形，故 D 正确．
【解答】

解： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，
，
，
为平行四边形，故 A 正确；
，
，
在 与 中，
，
≌ ，
，
，
四边形 为平行四边形，故 B 正确；
，
，
，
，
，
同理， ，
不能判定四边形 为平行四边形；故 C 错误；
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，故 D 正确，
故选 C ．

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了三角形中位线定理，含 角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
根据含 的直角三角形得到 ，根据勾股定理得到 ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】
解：在 中， ， ， ，
，
， ，
，
、 分别为 、 的中点，
是三角形 的中位线，
．   

10.【答案】

【解析】解：在中，，
．
四边形是平行四边形，
，．
当取最小值时，线段最短，此时．
．
又点是的中点，
是的中位线，
，
．
故选：．
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值．
本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
 

11.【答案】

【解析】解：

，
故答案为：．
先根据二次根式的除法法则进行计算，再求出答案即可．
本题考查了分母有理化和二次根式的除法法则，能熟记二次根式的除法法则是解此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，
根据勾股定理得：，
设边边上的高为，
则，
解得，
故答案为．
利用面积和差求出的面积，再借助勾股定理求出的长度，进而可求出边上的高．
本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，

故答案为．
由，，，由勾股定理求得的长，得出长，然后由勾股定理求得的长即可．
此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答．根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到 和 的长，然后可以证明 和 全等，然后即可得到 的长．
解： 四边形 是平行四边形，

， ， ，
， ，
， ，
，
是等边三角形， 为 的中点，
， ，
延长 交 于点 ，
，
，
在 和 中， ，
≌ ，
， ，
， ，
， ，
， ，
是等边三角形，
，
，
故答案为： ．   

15.【答案】解：原式

．

【解析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用完全平方公式以及结合二次根式的性质化简进而得出答案．
 

16.【答案】解：，
，
，
即，
得：，
解得：，；
，
，
或，
所以，．

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

17.【答案】解：要使有意义，必须，
即，
所以使得该二次根式有意义的的取值范围是；

，
所以，
解得：，
这两个二次根式的积为．

【解析】根据二次根式有意义的条件得出，求出不等式的解集即可；
先求出，得出，求出即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和同类二次根式的定义等知识点，能根据知识点得出不等式或方程是解此题的关键．
 

18.【答案】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，则，
故，
解得：，
答：绳索的长度是．

【解析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

19.【答案】证明：，
则取任何实数值，方程总有实数根；

解：斜边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，
，，
则，
，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去．
当时，，符合题意
故的周长．

【解析】此题主要考查了勾股定理以及根与系数的关系和根的判别式，正确将原式变形是解题关键．
直接利用根的判别式结合完全平方式得出答案；
直接利用勾股定理结合根与系数的关系得出答案．
 

20.【答案】解：设平均每年下调的百分率为，则
．
解得：，不合题意舍去．
答：平均每年下调的百分率为；
张强的愿望能实现，理由如下：
万元．
由于，所以张强的愿望能实现．

【解析】设平均每年下调的百分率为，根据题意得到，然后可求得下调的百分比；
根据总房款每平方米的均价平方数，求出总房款，与张强持有的现金与银行贷款之和比较，即可得到答案．
本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示，连接，
是边的中点，于点，
垂直平分，
，
又，
，
是直角三角形，且；
中，，
，
设，则，而，
中，，
中，，
，
解得，
．

【解析】连接，依据垂直平分，即可得到，再根据，可得，进而得到是直角三角形；
依据勾股定理可得的长为，再根据勾股定理即可得到方程，解方程即可得出的长．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，以及线段垂直平分线的性质的运用，关键是掌握：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

22.【答案】解：在中，，
，
又是等边三角形，，

，
在和中，

≌，
；

是等边三角形，
，，
，
又，
，
，，
，
四边形是平行四边形．

【解析】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得≌是关键．
首先由中，由可以得到，又由是等边三角形，，由此得到，并且，然后证得≌，继而证得结论；
根据知道，而是等边三角形，所以，并且，而，由此得到，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
平分，

是等边三角形，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
当时，，
平行四边的面积；
四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
，
的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，
设边上的高为，的长为，
，，
，
，
，
，
．

【解析】根据▱中，，可得是等边三角形，进而可以证明结论；
根据，可得，证明，再利用含度角的直角三角形可得的长，进而可得平行四边的面积；
根据四边形是平行四边形，可得，，由是等边三角形，可得，由的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，设边上的高为，的长为，分别表示出四边形和三角形的面积，进而可得与满足的关系．
此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形是关键．