安徽省蚌埠市怀远实验教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年安徽省蚌埠市怀远实验教育集团九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 如果，那么的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若双曲线的图象的一支位于第三象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，点、分别在的边、上，要使∽，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是(    )

A. 点在函数图象上 B. 开口方向向上
C. 对称轴是直线 D. 与直线有两个交点

6. 如图，已知为的角平分线，交于点，如果，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是(    )

A.  B.
C.  D. 以上都不对

8. 如图．在平面直角坐标系中，的面积为，垂直轴于点，与双曲线相交于点，且：：则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知二次函数的、的部分对应值如下表：

下列结论中正确的有个(    )
；抛物线的对称轴是直线；不等式的解集是；是方程的根．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，在纸片中，，，，点，分别在、边上，连接，将沿翻折，使点落在点的位置，连接，若四边形是菱形，则的长的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共4小题，共16分）

11. 若抛物线与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的坐标为______．
12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于______．

13. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是______．

14. 如图，在中，，，，平分交于点，点是上一动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点．
    的长度是______；
    若，则的长度是______．

三、解答题（本题共9小题，共104分）

15. 已知抛物线经过点，．
    求抛物线的解析式；
    求抛物线的顶点坐标．
16. 已知，并且，求的值．
17. 已知点在反比例函数的图象上．
    求的值；
    当时，求的取值范围．
18. 已知三个顶点的坐标分别为，，．
     

画出关于轴对称的．

以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出，并写出点的坐标．

19. 如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且已知：：，
    求的长；
    当，时，求的长．

20. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，已知小明的身高为米，求旗杆的高．
     

21. 如图，四边形中，平分，，为的中点，
    求证：；
    求证：；
    若，，求的值．

22. 已知抛物线．
    求这条抛物线的对称轴；
    若该抛物线的顶点在轴上，求其解析式；
    设点，在抛物线上，若，求的取值范围．
23. 如图，≌，．
    连接，若，点、、在同一条直线上，求的长；
    将绕点逆时针旋转，如图，与交于点，的延长线与交于点，
    过点，作交于点．
    求证：；
    ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设，，
则


，
故选：．
根据设，，把，代入，即可求出答案即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：双曲线的图象的一支位于第三象限，
，
；
故选：．
反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小．
此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数，当时，图象在第一、三象限，且在每一个象限随的增大而减小；当时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随增大而增大，
故选：．
将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

4.【答案】 

【解析】解：、由，，可以推出，∽，故本选项不符合题意；
B、由，，可以推出，∽，故本选项不符合题意；
C、由，可以推出，∽，故本选项不符合题意；
D、由，推不出，∽，故本选项符合题意；
故选：．
利用相似三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：、把代入，
得，
A错误；
B、化简二次函数：，
，
二次函数的图象开口方向向下，
B错误；
C、二次函数对称轴是直线
，
C错误；
D、，
，
，
，
二次函数的图象与直线有两个交点，
D正确；
故选：．
A、把代入，求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：，根据的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
故选：．
根据等腰三角形的判定定理得到，证明∽，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．点是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解．
【解答】
解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则，
，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：过作轴于，
，
，
轴，
，
∽，
，
，
，
双曲线在第二象限，
，
故选：．
过作轴于，可得∽，根据相似三角形的性质求出，由反比例函数系数的几何意义即可求得．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由表格可知：当越来越大，先减小后增大，即二次函数图象开口向上，故正确；
由表格可知：当，，，，即抛物线的对称轴为，故正确；
不等式，即，根据表格数据可知当时不等式，故正确；
当时，，故正确；
正确的选项有个．
故选：．
根据表格确定二次函数图象的开口方向以及对称轴，结合表格数据即可对各个选项进行判断．
本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格发现二次函数图象的对称轴以及开口方向，此题难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，设与交于点，

四边形是菱形，
平分，
点在的平分线上运动，
当时，的长最小．
在菱形中，，，，
，
∽，
，
．
在中，，，
，
，
．
，
，
∽，
，，
，，
．
，
．
故选：．
连接交于点，设与交于点根据菱形的性质可得点在的平分线上运动，从而得到当时，再证明∽，可得，再证明，，，从而再由勾股定理，即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直的性质，菱形的性质，准确得到点在的平分线上运动是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，
抛物线与轴的另一交点坐标为．
故答案为：．
由抛物线的对称轴及抛物线与轴的一个交点坐标，利用抛物线的对称性可求出另一交点坐标，此题得解．
本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，利用抛物线的对称性找出另一交点坐标是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理．
先根据三边对应成比例，两个三角形相似，证明∽，再根据相似三角形的周长比等于相似比，即可解答．
【解答】
解：，
，
，
，
∽，
，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：二次函数经过，
，
解得，，
抛物线开口向下，
，
解得，
．
故答案为：．
由图可知，二次函数图象经过坐标原点，然后代入函数解析式进行计算即可求出的值，再根据抛物线开口向下求出的取值范围，从而得解．
本题考查了二次函数图象，观察图形得到抛物线经过坐标原点是解题的关键，要注意根据抛物线的开口方向确定出的取值范围，这也是本题容易出错的地方．
 

14.【答案】
． 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
．
的长度是．
故答案为：；
由翻折可知：，，
，
，
，，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
．
的长度是．
故答案为：；
根据已知条件可得，所以，然后证明∽，进而可以解决问题；
由翻折可得，，由，可得，，根据等腰三角形的性质可得，再根据∽，得，进而可以解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，解决本题的关键是得到，然后由∽解决问题．
 

15.【答案】解：抛物线经过点，．
抛物线的解析式为；，
即，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为：． 

【解析】根据抛物线经过点，，直接得出抛物线的解析式为；，再整理即可，
根据抛物线的解析式为，即可得出答案．
此题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数的解析式的形式，关键是根据题意选择合适的解析式．
 

16.【答案】解：设，
则，，，
，
，
，
． 

【解析】根据题意，设，，又因为，则可得的值，故可求．
本题考查了比例的性质和代数式求值．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
 

17.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
解得．
，
图象在第一象限随的增大而减小，
时，；时，
当时，． 

【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，解得；
先分别求出和时的值，再根据反比例函数的性质求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是关键．
 

18.【答案】解：如图所示：即为所求：
如图所示：即为所求； 
 

【解析】利用关于轴对称点的性质得出对应点得出即可；
利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案．
此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．
 

19.【答案】解：，
，
即，解得，
；
作交于，交于，如图，
易得四边形和四边形为平行四边形，
，
，
，
，即，，
． 

【解析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质求出，再计算即可；
作交于，交于，如图，易得四边形和四边形为平行四边形，则，所以，根据平行线分线段成比例定理，由得到，然后求出后计算即可．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边或两边的延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
 

20.【答案】解：，
，
，
∽，
，即，
，
同理得∽，
，即，
，
米，
答：旗杆的高是米． 

【解析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定．
先证明∽，列比例式可得的长，再证明∽，可得的长，最后由线段的差可得结论．
 

21.【答案】证明：平分，
，
，
∽，
：：，
；

证明：为的中点，
，
，
，
，
；

解：，
∽，
：：，
，
，
，
，
． 

【解析】由平分，，可证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，证得；
由为的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，继而可证得，得到；
易证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

22.【答案】解：抛物线．
抛物线的对称轴为直线；
抛物线的顶点在轴上，
，
解得或，
抛物线为或；
抛物线的对称轴为直线，
则关于对称点的坐标为，
当，时，；
当，或时， 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
把解析式化成顶点式即可求得；
根据顶点在轴上得到关于的方程，解方程求得的值，从而求得抛物线的解析式；
根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的性质写出的取值．  

23.【答案】解：≌，
，，
，
，
∽，
，
，
，
舍，
解得；
证明：连接，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
连接，
由知，，，
，
≌，
，
由知，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】

【分析】
根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论；
证明：连接，根据全等三角形的性质得到，，
根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到答案；
连接，由知，，，根据全等三角形的性质得到，由知，，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．