2023年北京市房山区中考数学二模试卷（含解析）

2023年北京市房山区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年我国的进出口总额超过了万亿美元，实际使用外资亿美元，规模再创历史新高将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，用量角器测量，可读出的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，表示实数的点在原点右侧，且，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列图形中，点是该图形的对称中心的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  不透明的盒子中有三张卡片，上面分别写有数字“，，”，除数字外三张卡片无其他差别从中随机取出一张卡片，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机取出一张卡片，记录其数字，两次取出卡片上的数字的乘积是偶数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，，，若为整数，且，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，，分别是边，的中点，点为线段上的一个动点，连接，，设，图中某条线段长为，若表示与的函数关系的图象大致如图所示，则这条线段可能是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．

10.  分解因式： ______ ．

11.  方程的解为______ ．

12.  在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______ ．

13.  若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是______ ．

14.  如图，点，，在上，若，，则的半径为______ ．

15.  某公司销售部在出售一批柑橘前需要先进行“柑橘损坏率”统计，去掉损坏的柑橘后，再确定柑橘的售价表是销售部随机取样得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分：

估计这批柑橘完好的概率为______ 结果精确到．

16.  甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛训练，两人先比，若分出胜负，则由第三个人与胜者比赛；若是和棋，则这两个人继续下一局比赛，直到分出胜负如此进行比赛若干局后，甲胜局，负局；乙胜局，负局；若丙负局，那么丙胜了______ 局，三位同学至少进行了______ 局比赛．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．

21.  本小题分
如图，点为▱的对角线的中点，直线绕点旋转，当时，与边，分别交于点，，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，，求▱的面积．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，且与函数的图象交于点．
求的值及函数的表达式；
当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
如图，，，三点在上，直径平分，过点作交弦于点，在的延长线上取一点，使得．
求证：是的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
青少年的健康素质是全民族健康素质的基础某校为了解学生寒假参加体育锻炼的
情况，从七、八、九年级学生中各随机抽取了该年级学生人数的，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息．
七，八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下：

九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长：
，，，，，，，；
七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数：

根据所给信息，回答下列问题：
表中的值是______ ，的值是______ ，的值是______ ；
设七、八、九三个年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是，，，直接写出，，之间的大小关系用“”连接；
估计全校九年级所有学生中，共有______ 名学生参加体育锻炼的时长不少于小时．

25.  本小题分
排球场的长度为，球网在场地中央且高度为排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．

某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下：

根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；
判断该运动员第一次发球能否过网______ 填“能”或“不能”．
该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．

26.  本小题分
平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．
若抛物线经过点，求和的值；
若抛物线上存在两点和，．
判断抛物线的开口方向；并说明理由；
若，求的取值范围．

27.  本小题分
如图，，，点是延长线上一点，连接，点和点关于直线对称，连接交于点，连接，，．
依题意补全图形，并求的度数；
用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明．

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，有图形和点，我们规定：若图形上存在点、点和可以重合，满足，其中点是点关于轴的对称点，则称点是图形的“对称平衡点”．
如图所示，已知，点，点．
在点，，中，是线段的“对称平衡点”的是______ ；
线段上是否存在线段的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由．
如图，以点为圆心，为半径作坐标系内的点满足，再以点为圆心，为半径作，若上存在的“对称平衡点”，直接写出点纵坐标的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意．
故选：．
主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

2.【答案】 

【解析】解：   ．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：看量角器内圈的数字可读出的度数为．
故选：．
根据角的定义和量角器的使用方法，让角的顶点与量角器的圆心重合，一边与量角器的半径重合，再观察另一边所对的角度，从而得出答案．
本题考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、由图得，，且，，，故A不正确；
B、的点在原点右侧，，，，故B正确；
C、，，，故C不正确；
D、、异号，，故D不正确；
故选：．
根据有理数运算法则逐个判断即可．
本题考查了有理数运算法则的应用，利用数轴比较数的大小是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由中心对称图形的定义，得到选项B中的图形是中心对称图形，并且点是该图形的对称中心，故B符合题意；
选项A、、中的图形不是中心对称图形，故A、、不符合题意．
故选：．
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与原来图形重合，那么就说这个图形叫中心对称图形，这个点叫做对称中心，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义，
 

6.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中两次取出卡片上的数字的乘积是偶数的有种结果，
所以两次取出卡片上的数字的乘积是偶数的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，而，
，
又，
，
故选：．
根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：设．
A、不符合题意，观察图可知在取得最小值．
B、不符合题意．观察图可知在取得最小值．
C、符合题意．观察图可知在取得最小值．
D、不符合题意．观察图可知在取得最小值为．
故选：．
观察图，确定为何值取得最小值即可一一判断．
本题主要考查了动点问题的函数图象，灵活应用所学知识是解题的关键，学会利用函数的最值解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不等于零是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，然后利用平方差公式进行二次分解即可
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点和点，
，
解得，
即的值为，
故答案为：．
利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于点，连接，

是的直径，
，
，
，
在中，，
，
的半径为，
故答案为：．
连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是；
故答案为：．
利用频率估计概率得到随试验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在左右，由此可估计柑橘完好率大约是．
本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比是解决问题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：在比赛中一人胜一局，那么就必然有人负一局，
在整个比赛中，胜局众数总等于负局众数，
甲、乙、丙总的负局数为：，甲、乙的总胜局数为：，
乙的胜局数为：．
要使甲、乙、丙三位同学的比赛局数为最少，就不能出现和局，
在没有出现和局的情况下，甲、乙、丙三位同学进行了局比赛，
三位同学至少进行了局比赛．
故答案为：，．
根据比赛的实际情况可知：有人胜一局，便有人负一局，因此最后胜局的总数总等于负数的总局，据此可求出丙的胜局数；要使比赛局数为最少，就不能出现和局现象，在没有出现和局的情况下，胜局的总数或负局众数就是比赛的局数．
此题结合实际问题主要考查了推理，有理数的运算等，解答此题的关键是理清题意，找准数量关系“胜局的总数等于负数的总局”，难点是理解在没有和局的情况下，比赛的总局数为最少．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先计算二次根式、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
 

18.【答案】解：
解不等式得，
解不等式得，
此不等式组的解集． 

【解析】分别求出两个不等式的解集，再求它们的公共解集．
本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组方法与步骤是解题关键．
 

19.【答案】解：


，
，
，
原式

，
代数式的值是． 

【解析】先对代数式进行计算化简，再把变形为，最后整体代入求解．
此题考查了代数式化简求值的能力，关键是能对代数式进行正确地化简计算，并能运用整体代入进行求解．
 

20.【答案】证明：选择方法一：
如图，连接，

四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
即平行四边形的对角相等． 

【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行．
 

21.【答案】四边形是平行四边形，
，
，，
为的中点，
，
在和中，
，
≌．
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
过点作交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
平行四边形的面积 

【解析】根据证明，得，再证明四边形是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明即可；
过点作交延长线于点，求出，再根据菱形的面积计算公式求解即可．
此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质和以及菱形面积求法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
 

22.【答案】解：把点代入中，可得：
，
所以．
把点，点分别代入中，可得：
，
解得：，
一次函数表达式为．
由题意可得：，
解得：，
，
，
，
当，时，与函数值相等，
所以，
故答案为：． 

【解析】首先利用求出的值，然后利用待定系数法可求一次函数解析式．
根据一次函数和不等式的知识可得出的取值范围．
本题考查了两直线的交点，要认真体会点的坐标，熟练掌握待定系数法，了解一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．
 

23.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：连接，
平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由角平分线定义得出，由平行线的性质得出，推出，由三角形外角的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，即可得出结论；
连接，由平分与圆周角定理得出，由勾股定理得出，由是直径，证得，由弦切角定理得出，则∽，得出，求出，即可得出结果．
本题考查了切线的判定、平行线的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、圆周角定理、弦切角定理、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，有一定难度．
 

24.【答案】       

【解析】解：把被抽取的八年级的名学生平均每周参加体育锻炼的时长从小到大排列，排在中间的两个数分别是、，故中位数；
被抽取的八年级的名学生平均每周参加体育锻炼的时长中，出现的次数最多，故众数；
被抽取的九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长的平均数．
故答案为：；；；
由题意可知，七年级名学生平均每周参加体育锻炼的时长在到之间波动，波动幅度最大，故方差最大；九年级名学生平均每周参加体育锻炼的时长在到之间波动，波动幅度最小，故方差最小；
；
名，
即估计全校九年级所有学生中，共有名学生参加体育锻炼的时长不少于小时．
故答案为：．
分别根据中位数、众数和算术平均数的定义解答即可；
根据数据的波动情况判断即可；
用样本估计总体即可．
本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差以及用样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
 

25.【答案】能 

【解析】解：由表中数据可得顶点，
设，
把代入得，
解得：，
所求函数关系为；
能．
当时，，
该运动员第一次发球能过网，
故答案为：能；
判断：没有出界．
第二次发球：，
令，则，
，解得舍，，
，
该运动员此次发球没有出界．
由表格中数据得出顶点坐标，设出函数解析式的顶点式，再把代入解析式求出即可；
当时求出的值与比较即可；
令中的，解方程求出的值与比较即可．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
 

26.【答案】解：将点代入得，
，解得，
抛物线，
对称轴为直线，
；
抛物线的开口向上，理由如下：
，抛物线的对称轴为直线，
是抛物线的顶点，
，且，
点在点的上方，
抛物线的开口向上；
设，
，
或，
将抛物线平移，使落在坐标原点，
平移后的抛物线为，
，点的坐标为或，
将点的坐标代入，得，
，

由二次函数的图象得的取值范围为． 

【解析】将点代入求出的值，化为顶点式即可得的值；
可得是抛物线的顶点，由得点在点的上方，即可得抛物线的开口向上；
由，得或，将抛物线平移，使落在坐标原点，则平移后的抛物线为，，点的坐标为或，结合二次函数的图象即可得的取值范围．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法，二次函数的图象和性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：图形如图所示：

结论：．
理由：设交于．
，关于对称，
，，，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
．
． 

【解析】根据要求画出图形；
证明≌，推出，可得结论．
本题考查作图轴对称变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

28.【答案】， 

【解析】解：如图，点，，，
，
，，
，
线段的“对称平衡点”是，，
故答案为：，；
不存在，理由如下：
设为线段上任意一点，则它与线段上点的距离最小值为，最大值为和中的较大值，
，，
点关于轴的对称点为，它到线段上任意一点的距离大于等于，
若、是线段上的任意两点，则，，
不存在，
线段上不存在线段的“对称平衡点”；
如图，由可知线段上不存在的“对称平衡点”，上存在的“对称平衡点”，
，，
．
根据“对称平衡点”的定义进行判断即可；
不存在，根据“对称平衡点”的定义进行讨论可得结论；
画出图形进行判断即可．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，理解题意，弄清“对称平衡点”的定义，取特殊点特殊位置是解题的关键．