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    2022届北京市房山区中考数学全真模拟试题含解析

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    2022届北京市房山区中考数学全真模拟试题含解析

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    这是一份2022届北京市房山区中考数学全真模拟试题含解析,共19页。试卷主要包含了下列运算正确的是,下列说法中,正确的个数共有等内容,欢迎下载使用。


    2021-2022中考数学模拟试卷
    考生须知:
    1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
    2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
    3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。

    一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
    1.化简:-,结果正确的是(  )
    A.1 B. C. D.
    2.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有匹,小马有匹,则可列方程组为( )
    A. B.
    C. D.
    3.如图,圆弧形拱桥的跨径米,拱高米,则拱桥的半径为( )米

    A. B. C. D.
    4.已知方程的两个解分别为、,则的值为()
    A. B. C.7 D.3
    5.下列运算正确的是(  )
    A.a﹣3a=2a B.(ab2)0=ab2 C.= D.×=9
    6.下列说法中,正确的个数共有(  )
    (1)一个三角形只有一个外接圆;
    (2)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;
    (3)在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等;
    (4)三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等;
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    7.如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的俯视图是(  )

    A. B. C. D.
    8.已知一次函数且随的增大而增大,那么它的图象不经过(  )
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    9.如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是(  )

    A. B. C. D.
    10.某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是( )

    A.10,15 B.13,15 C.13,20 D.15,15
    二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
    11.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D、E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为________.

    12.已知:=,则的值是______.
    13.如果a+b=2,那么代数式(a﹣)÷的值是______.
    14.计算:sin30°﹣(﹣3)0=_____.
    15.为响应“书香成都”建设的号召,在全校形成良好的人文阅读风尚,成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间,统计结果如图所示,则在本次调查中,阅读时间的中位数是________小时.

    16.如图,直线交于点,,与轴负半轴,轴正半轴分别交于点,,,的延长线相交于点,则的值是_________.

    17.一组数:2,1,3,,7,,23,…,满足“从第三个数起,前两个数依次为、,紧随其后的数就是”,例如这组数中的第三个数“3”是由“”得到的,那么这组数中表示的数为______.
    三、解答题(共7小题,满分69分)
    18.(10分)如图,在中,,的垂直平分线交于,交于,射线上,并且.
    ()求证:;
    ()当的大小满足什么条件时,四边形是菱形?请回答并证明你的结论.

    19.(5分)定义:如果把一条抛物线绕它的顶点旋转180°得到的抛物线我们称为原抛物线的“孪生抛物线”.
    (1)求抛物线y=x2﹣2x的“孪生抛物线”的表达式;
    (2)若抛物线y=x2﹣2x+c的顶点为D,与y轴交于点C,其“孪生抛物线”与y轴交于点C′,请判断△DCC’的形状,并说明理由:
    (3)已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C,与x轴正半轴的交点为A,那么是否在其“孪生抛物线”上存在点P,在y轴上存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
    20.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB.
    (1)求证:AC是△BDE的外接圆的切线;
    (2)若AD=2,AE=6,求EC的长.

    21.(10分)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC边的中点,点P在线段AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x.

    (1)求证:△PFA∽△ABE;
    (2)当点P在线段AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由;
    (3)探究:当以D为圆心,DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时,请直接写出x满足的条件:   .
    22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点C是弧AB的中点,点D是⊙O外一点,AD=AB,AD交⊙O于F,BD交⊙O于E,连接CE交AB于G.
    (1)证明:∠C=∠D;
    (2)若∠BEF=140°,求∠C的度数;
    (3)若EF=2,tanB=3,求CE•CG的值.

    23.(12分)计算:(﹣2)﹣2﹣sin45°+(﹣1)2018﹣÷2
    24.(14分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.



    参考答案

    一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
    1、B
    【解析】
    先将分母进行通分,化为(x+y)(x-y)的形式,分子乘上相应的分式,进行化简.
    【详解】

    【点睛】
    本题考查的是分式的混合运算,解题的关键就是熟练掌握运算规则.
    2、B
    【解析】
    设大马有匹,小马有匹,根据题意可得等量关系:大马数+小马数=100,大马拉瓦数+小马拉瓦数=100,根据等量关系列出方程即可.
    【详解】
    解:设大马有匹,小马有匹,由题意得:

    故选:B.
    【点睛】
    本题主要考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程组.
    3、A
    【解析】
    试题分析:根据垂径定理的推论,知此圆的圆心在CD所在的直线上,设圆心是O.连接OA.根据垂径定理和勾股定理求解.得AD=6设圆的半径是r, 根据勾股定理, 得r2=36+(r﹣4)2,解得r=6.5

    考点:垂径定理的应用.
    4、D
    【解析】
    由根与系数的关系得出x1+x2=5,x1•x2=2,将其代入x1+x2−x1•x2中即可得出结论.
    【详解】
    解:∵方程x2−5x+2=0的两个解分别为x1,x2,
    ∴x1+x2=5,x1•x2=2,
    ∴x1+x2−x1•x2=5−2=1.
    故选D.
    【点睛】
    本题考查了根与系数的关系,解题的关键是根据根与系数的关系得出x1+x2=5,x1•x2=2.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键.
    5、D
    【解析】
    直接利用合并同类项法则以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质分别化简得出答案.
    【详解】
    解:A、a﹣3a=﹣2a,故此选项错误;
    B、(ab2)0=1,故此选项错误;
    C、故此选项错误;
    D、×=9,正确.
    故选D.
    【点睛】
    此题主要考查了合并同类项以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质,正确把握相关性质是解题关键.
    6、C
    【解析】
    根据外接圆的性质,圆的对称性,三角形的内心以及圆周角定理即可解出.
    【详解】
    (1)一个三角形只有一个外接圆,正确;
    (2)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,正确;
    (3)在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,正确;
    (4)三角形的内心是三个内角平分线的交点,到三边的距离相等,错误;
    故选:C.
    【点睛】
    此题考查了外接圆的性质,三角形的内心及轴对称和中心对称的概念,要求学生对这些概念熟练掌握.
    7、A
    【解析】
    分析:根据从上面看得到的图形是俯视图,可得答案.
    详解:从上面看第一列是两个小正方形,第二列是一个小正方形,第三列是一个小正方形,
    故选:A.
    点睛:本题考查了简单组合体的三视图,从上面看得到的图形是俯视图.
    8、B
    【解析】
    根据一次函数的性质:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x的增大而减小,进行解答即可.
    【详解】
    解:∵一次函数y=kx-3且y随x的增大而增大,
    ∴它的图象经过一、三、四象限,
    ∴不经过第二象限,
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查了一次函数的性质,掌握一次函数所经过的象限与k、b的值有关是解题的关键.
    9、D
    【解析】试题分析:俯视图是从上面看到的图形.
    从上面看,左边和中间都是2个正方形,右上角是1个正方形,
    故选D.
    考点:简单组合体的三视图
    10、D
    【解析】
    将五个答题数,从小打到排列,5个数中间的就是中位数,出现次数最多的是众数.
    【详解】
    将这五个答题数排序为:10,13,15,15,20,由此可得中位数是15,众数是15,故选D.
    【点睛】
    本题考查中位数和众数的概念,熟记概念即可快速解答.

    二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
    11、1-1.
    【解析】
    将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF,取CF的中点G,连接EF、EG,由AB=AC=2、∠BAC=120°,可得出∠ACB=∠B=10°,根据旋转的性质可得出∠ECG=60°,结合CF=BD=2CE可得出△CEG为等边三角形,进而得出△CEF为直角三角形,通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE,设EC=x,则BD=CF=2x,DE=FE=6-1x,在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE=x,利用FE=6-1x=x可求出x以及FE的值,此题得解.
    【详解】
    将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF,取CF的中点G,连接EF、EG,如图所示.

    ∵AB=AC=2,∠BAC=120°,
    ∴∠ACB=∠B=∠ACF=10°,
    ∴∠ECG=60°.
    ∵CF=BD=2CE,
    ∴CG=CE,
    ∴△CEG为等边三角形,
    ∴EG=CG=FG,
    ∴∠EFG=∠FEG=∠CGE=10°,
    ∴△CEF为直角三角形.
    ∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,
    ∴∠BAD+∠CAE=60°,
    ∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°.
    在△ADE和△AFE中,

    ∴△ADE≌△AFE(SAS),
    ∴DE=FE.
    设EC=x,则BD=CF=2x,DE=FE=6-1x,
    在Rt△CEF中,∠CEF=90°,CF=2x,EC=x,
    EF==x,
    ∴6-1x=x,
    x=1-,
    ∴DE=x=1-1.
    故答案为:1-1.
    【点睛】
    本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质,通过勾股定理找出方程是解题的关键.
    12、–
    【解析】
    根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.
    【详解】
    解:由,可设a=2k,b=3k,(k≠0),
    故:,
    故答案:.
    【点睛】
    此题主要考查比例的性质,a、b都用k表示是解题的关键.
    13、2
    【解析】
    分析:根据分式的运算法则即可求出答案.
    详解:当a+b=2时,
    原式=
    =
    =a+b
    =2
    故答案为:2
    点睛:本题考查分式的运算,解题的关键熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.
    14、-
    【解析】
    sin30°=,a0=1(a≠0)
    【详解】
    解:原式=-1
    =-
    故答案为:-.
    【点睛】
    本题考查了30°的角的正弦值和非零数的零次幂.熟记是关键.
    15、1
    【解析】
    由统计图可知共有:8+19+10+3=40人,中位数应为第20与第21个的平均数,
    而第20个数和第21个数都是1(小时),则中位数是1小时.
    故答案为1.
    16、
    【解析】
    连接,根据可得,并且根据圆的半径相等可得△OAD、△OBE都是等腰三角形,由三角形的内角和,可得∠C=45°,则有是等腰直角三角形,可得
    即可求求解.
    【详解】
    解:如图示,连接,

    ∵,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∵是直径,
    ∴,
    ∴是等腰直角三角形,
    ∴.
    【点睛】
    本题考查圆的性质和直角三角形的性质,能够根据圆性质得出是等腰直角三角形是解题的关键.
    17、-9.
    【解析】
    根据题中给出的运算法则按照顺序求解即可.
    【详解】
    解:根据题意,得:,.
    故答案为:-9.
    【点睛】
    本题考查了有理数的运算,理解题意、弄清题目给出的运算法则是正确解题的关键.

    三、解答题(共7小题,满分69分)
    18、(1)见解析;(2)见解析
    【解析】
    (1)求出EF∥AC,根据EF=AC,利用平行四边形的判定推出四边形ACEF是平行四边形即可;
    (2)求出CE=AB,AC=AB,推出 AC= CE,根据菱形的判定推出即可.
    【详解】
    (1)证明:∵∠ACB=90°,DE是BC的垂直平分线,∴∠BDE=∠ACB=90°,∴EF∥AC,∵EF=AC,∴四边形ACEF是平行四边形,∴AF=CE;
    (2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形,证明:∵∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=AB,∵DE是BC的垂直平分线,∴BD=DC,∵DE∥AC,∴BE=AE,∵∠ACB=90°,∴CE=AB,∴CE=AC,∵四边形ACEF是平行四边形,∴四边形ACEF是菱形,即当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.
    【点睛】
    本题考查了菱形的判定平行四边形的判定线段垂直平分线,含30度角的直角三角形性质,直角三角形斜边上中线性质等知识点的应用综合性比较强,有一定的难度.
    19、(1)y=-(x-1)²=-x²+2x-2;(2)等腰Rt△,(3)P1(3,-8),P2(-3,-20).
    【解析】
    (1)当抛物线绕其顶点旋转180°后,抛物线的顶点坐标不变,只是开口方向相反,则可根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式;
    (2)可分别求出原抛物线和其“孪生抛物线”与y轴的交点坐标C、C′,由点的坐标可知△DCC’是等腰直角三角形;
    (3)可求出A(3,0),C(0,-3),其“孪生抛物线”为y=-x2+2x-5,当AC为对角线时,由中点坐标可知点P不存在,当AC为边时,分两种情况可求得点P的坐标.
    【详解】
    (1)抛物线y=x2-2x化为顶点式为y=(x-1)2-1,顶点坐标为(1,-1),由于抛物线y=x2-2x绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变,只是开口方向相反,
    则所得抛物线解析式为y=-(x-1)2-1=-x2+2x-2;
    (2)△DCC'是等腰直角三角形,理由如下:
    ∵抛物线y=x2-2x+c=(x-1)2+c-1,
    ∴抛物线顶点为D的坐标为(1,c-1),与y轴的交点C的坐标为(0,c),
    ∴其“孪生抛物线”的解析式为y=-(x-1)2+c-1,与y轴的交点C’的坐标为(0,c-2),
    ∴CC'=c-(c-2)=2,
    ∵点D的横坐标为1,
    ∴∠CDC'=90°,
    由对称性质可知DC=DC’,
    ∴△DCC'是等腰直角三角形;
    (3)∵抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C,与x轴正半轴的交点为A,
    令x=0,y=-3,令y=0时,y=x2-2x-3,解得x1=-1,x2=3,
    ∴C(0,-3),A(3,0),
    ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
    ∴其“孪生抛物线”的解析式为y=-(x-1)2-4=-x2+2x-5,
    若A、C为平行四边形的对角线,
    ∴其中点坐标为(,−),
    设P(a,-a2+2a-5),
    ∵A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,
    ∴Q(0,a-3),
    ∴=−,
    化简得,a2+3a+5=0,△<0,方程无实数解,
    ∴此时满足条件的点P不存在,
    若AC为平行四边形的边,点P在y轴右侧,则AP∥CQ且AP=CQ,
    ∵点C和点Q在y轴上,
    ∴点P的横坐标为3,
    把x=3代入“孪生抛物线”的解析式y=-32+2×3-5=-9+6-5=-8,
    ∴P1(3,-8),
    若AC为平行四边形的边,点P在y轴左侧,则AQ∥CP且AQ=CP,
    ∴点P的横坐标为-3,
    把x=-3代入“孪生抛物线”的解析式y=-9-6-5=-20,
    ∴P2(-3,-20)
    ∴原抛物线的“孪生抛物线”上存在点P1(3,-8),P2(-3,-20),在y轴上存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.
    【点睛】
    本题是二次函数综合题型,主此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式,解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标以及确定出点P的位置,注意分情况讨论.
    20、(1)证明见解析;(2)1.
    【解析】
    试题分析:(1)取BD的中点0,连结OE,如图,由∠BED=90°,根据圆周角定理可得BD为△BDE的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆的圆心,再证明OE∥BC,得到∠AEO=∠C=90°,于是可根据切线的判定定理判断AC是△BDE的外接圆的切线;
    (2)设⊙O的半径为r,根据勾股定理得62+r2=(r+2)2,解得r=2,根据平行线分线段成比例定理,由OE∥BC得,然后根据比例性质可计算出EC.
    试题解析:(1)证明:取BD的中点0,连结OE,如图,
    ∵DE⊥EB,
    ∴∠BED=90°,
    ∴BD为△BDE的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆的圆心,
    ∵BE平分∠ABC,
    ∴∠CBE=∠OBE,
    ∵OB=OE,
    ∴∠OBE=∠OEB,
    ∴∠EB=∠CBE,
    ∴OE∥BC,
    ∴∠AEO=∠C=90°,
    ∴OE⊥AE,
    ∴AC是△BDE的外接圆的切线;
    (2)解:设⊙O的半径为r,则OA=OD+DA=r+2,OE=r,
    在Rt△AEO中,∵AE2+OE2=AO2,
    ∴62+r2=(r+2)2,解得r=2,
    ∵OE∥BC,
    ∴,即,
    ∴CE=1.

    考点:1、切线的判定;2、勾股定理
    21、(1)证明见解析;(2)3或.(3)或0<
    【解析】
    (1)根据矩形的性质,结合已知条件可以证明两个角对应相等,从而证明三角形相似;
    (2)由于对应关系不确定,所以应针对不同的对应关系分情况考虑:当 时,则得到四边形为矩形,从而求得的值;当时,再结合(1)中的结论,得到等腰.再根据等腰三角形的三线合一得到是的中点,运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解.
    (3)此题首先应针对点的位置分为两种大情况:①与AE相切,② 与线段只有一个公共点,不一定必须相切,只要保证和线段只有一个公共点即可.故求得相切时的情况和相交,但其中一个交点在线段外的情况即是的取值范围.
    【详解】
    (1)证明:∵矩形ABCD,
    ∴AD∥BC.

    ∴∠PAF=∠AEB.
    又∵PF⊥AE,

    ∴△PFA∽△ABE.
    (2)情况1,当△EFP∽△ABE,且∠PEF=∠EAB时,
    则有PE∥AB
    ∴四边形ABEP为矩形,
    ∴PA=EB=3,即x=3.
    情况2,当△PFE∽△ABE,且∠PEF=∠AEB时,
    ∵∠PAF=∠AEB,
    ∴∠PEF=∠PAF.
    ∴PE=PA.
    ∵PF⊥AE,
    ∴点F为AE的中点,




    ∴满足条件的x的值为3或
    (3) 或
    【点睛】
    两组角对应相等,两三角形相似.
    22、(1)见解析;(2)70°;(3)1.
    【解析】
    (1)先根据等边对等角得出∠B=∠D,即可得出结论;
    (2)先判断出∠DFE=∠B,进而得出∠D=∠DFE,即可求出∠D=70°,即可得出结论;
    (3)先求出BE=EF=2,进而求AE=6,即可得出AB,进而求出AC,再判断出△ACG∽△ECA,即可得出结论.
    【详解】
    (1)∵AB=AD,
    ∴∠B=∠D,
    ∵∠B=∠C,
    ∴∠C=∠D;
    (2)∵四边形ABEF是圆内接四边形,
    ∴∠DFE=∠B,
    由(1)知,∠B=∠D,
    ∴∠D=∠DFE,
    ∵∠BEF=140°=∠D+∠DFE=2∠D,
    ∴∠D=70°,
    由(1)知,∠C=∠D,
    ∴∠C=70°;
    (3)如图,由(2)知,∠D=∠DFE,
    ∴EF=DE,
    连接AE,OC,
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠AEB=90°,
    ∴BE=DE,
    ∴BE=EF=2,
    在Rt△ABE中,tanB==3,
    ∴AE=3BE=6,根据勾股定理得,AB=,
    ∴OA=OC=AB=,
    ∵点C是 的中点,
    ∴ ,
    ∴∠AOC=90°,
    ∴AC=OA=2,
    ∵,
    ∴∠CAG=∠CEA,
    ∵∠ACG=∠ECA,
    ∴△ACG∽△ECA,
    ∴,
    ∴CE•CG=AC2=1.

    【点睛】
    本题是几何综合题,涉及了圆的性质,圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数,相似三角形的判定和性质,圆内接四边形的性质,等腰三角形的性质等,综合性较强,有一定的难度,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.本题中求出BE=2也是解题的关键.
    23、
    【解析】
    按照实数的运算顺序进行运算即可.
    【详解】
    解:原式


    【点睛】
    本题考查实数的运算,主要考查零次幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值以及立方根,熟练掌握各个知识点是解题的关键.
    24、 (1) △ABC是等腰三角形;(2)△ABC是直角三角形;(3) x1=0,x2=﹣1.
    【解析】
    试题分析:(1)直接将x=﹣1代入得出关于a,b的等式,进而得出a=b,即可判断△ABC的形状;
    (2)利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式,进而判断△ABC的形状;
    (3)利用△ABC是等边三角形,则a=b=c,进而代入方程求出即可.
    试题解析:(1)△ABC是等腰三角形;
    理由:∵x=﹣1是方程的根,
    ∴(a+c)×(﹣1)2﹣2b+(a﹣c)=0,
    ∴a+c﹣2b+a﹣c=0,
    ∴a﹣b=0,
    ∴a=b,
    ∴△ABC是等腰三角形;
    (2)∵方程有两个相等的实数根,
    ∴(2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0,
    ∴4b2﹣4a2+4c2=0,
    ∴a2=b2+c2,
    ∴△ABC是直角三角形;
    (3)当△ABC是等边三角形,∴(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,可整理为:
    2ax2+2ax=0,
    ∴x2+x=0,
    解得:x1=0,x2=﹣1.
    考点:一元二次方程的应用.

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