2022届北京市房山区中考数学全真模拟试题含解析
展开这是一份2022届北京市房山区中考数学全真模拟试题含解析,共19页。试卷主要包含了下列运算正确的是,下列说法中,正确的个数共有等内容,欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.化简:-,结果正确的是( )
A.1 B. C. D.
2.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有匹,小马有匹,则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
3.如图,圆弧形拱桥的跨径米,拱高米,则拱桥的半径为( )米
A. B. C. D.
4.已知方程的两个解分别为、,则的值为()
A. B. C.7 D.3
5.下列运算正确的是( )
A.a﹣3a=2a B.(ab2)0=ab2 C.= D.×=9
6.下列说法中,正确的个数共有( )
(1)一个三角形只有一个外接圆;
(2)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;
(3)在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等;
(4)三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等;
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
8.已知一次函数且随的增大而增大,那么它的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
10.某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是( )
A.10,15 B.13,15 C.13,20 D.15,15
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D、E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为________.
12.已知:=,则的值是______.
13.如果a+b=2,那么代数式(a﹣)÷的值是______.
14.计算:sin30°﹣(﹣3)0=_____.
15.为响应“书香成都”建设的号召,在全校形成良好的人文阅读风尚,成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间,统计结果如图所示,则在本次调查中,阅读时间的中位数是________小时.
16.如图,直线交于点,,与轴负半轴,轴正半轴分别交于点,,,的延长线相交于点,则的值是_________.
17.一组数:2,1,3,,7,,23,…,满足“从第三个数起,前两个数依次为、,紧随其后的数就是”,例如这组数中的第三个数“3”是由“”得到的,那么这组数中表示的数为______.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(10分)如图,在中,,的垂直平分线交于,交于,射线上,并且.
()求证:;
()当的大小满足什么条件时,四边形是菱形?请回答并证明你的结论.
19.(5分)定义:如果把一条抛物线绕它的顶点旋转180°得到的抛物线我们称为原抛物线的“孪生抛物线”.
(1)求抛物线y=x2﹣2x的“孪生抛物线”的表达式;
(2)若抛物线y=x2﹣2x+c的顶点为D,与y轴交于点C,其“孪生抛物线”与y轴交于点C′,请判断△DCC’的形状,并说明理由:
(3)已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C,与x轴正半轴的交点为A,那么是否在其“孪生抛物线”上存在点P,在y轴上存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
20.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB.
(1)求证:AC是△BDE的外接圆的切线;
(2)若AD=2,AE=6,求EC的长.
21.(10分)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC边的中点,点P在线段AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x.
(1)求证:△PFA∽△ABE;
(2)当点P在线段AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由;
(3)探究:当以D为圆心,DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时,请直接写出x满足的条件: .
22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点C是弧AB的中点,点D是⊙O外一点,AD=AB,AD交⊙O于F,BD交⊙O于E,连接CE交AB于G.
(1)证明:∠C=∠D;
(2)若∠BEF=140°,求∠C的度数;
(3)若EF=2,tanB=3,求CE•CG的值.
23.(12分)计算:(﹣2)﹣2﹣sin45°+(﹣1)2018﹣÷2
24.(14分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
参考答案
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1、B
【解析】
先将分母进行通分,化为(x+y)(x-y)的形式,分子乘上相应的分式,进行化简.
【详解】
【点睛】
本题考查的是分式的混合运算,解题的关键就是熟练掌握运算规则.
2、B
【解析】
设大马有匹,小马有匹,根据题意可得等量关系:大马数+小马数=100,大马拉瓦数+小马拉瓦数=100,根据等量关系列出方程即可.
【详解】
解:设大马有匹,小马有匹,由题意得:
,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程组.
3、A
【解析】
试题分析:根据垂径定理的推论,知此圆的圆心在CD所在的直线上,设圆心是O.连接OA.根据垂径定理和勾股定理求解.得AD=6设圆的半径是r, 根据勾股定理, 得r2=36+(r﹣4)2,解得r=6.5
考点:垂径定理的应用.
4、D
【解析】
由根与系数的关系得出x1+x2=5,x1•x2=2,将其代入x1+x2−x1•x2中即可得出结论.
【详解】
解:∵方程x2−5x+2=0的两个解分别为x1,x2,
∴x1+x2=5,x1•x2=2,
∴x1+x2−x1•x2=5−2=1.
故选D.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系,解题的关键是根据根与系数的关系得出x1+x2=5,x1•x2=2.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键.
5、D
【解析】
直接利用合并同类项法则以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质分别化简得出答案.
【详解】
解:A、a﹣3a=﹣2a,故此选项错误;
B、(ab2)0=1,故此选项错误;
C、故此选项错误;
D、×=9,正确.
故选D.
【点睛】
此题主要考查了合并同类项以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质,正确把握相关性质是解题关键.
6、C
【解析】
根据外接圆的性质,圆的对称性,三角形的内心以及圆周角定理即可解出.
【详解】
(1)一个三角形只有一个外接圆,正确;
(2)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,正确;
(3)在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,正确;
(4)三角形的内心是三个内角平分线的交点,到三边的距离相等,错误;
故选:C.
【点睛】
此题考查了外接圆的性质,三角形的内心及轴对称和中心对称的概念,要求学生对这些概念熟练掌握.
7、A
【解析】
分析:根据从上面看得到的图形是俯视图,可得答案.
详解:从上面看第一列是两个小正方形,第二列是一个小正方形,第三列是一个小正方形,
故选:A.
点睛:本题考查了简单组合体的三视图,从上面看得到的图形是俯视图.
8、B
【解析】
根据一次函数的性质:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x的增大而减小,进行解答即可.
【详解】
解:∵一次函数y=kx-3且y随x的增大而增大,
∴它的图象经过一、三、四象限,
∴不经过第二象限,
故选:B.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质,掌握一次函数所经过的象限与k、b的值有关是解题的关键.
9、D
【解析】试题分析:俯视图是从上面看到的图形.
从上面看,左边和中间都是2个正方形,右上角是1个正方形,
故选D.
考点:简单组合体的三视图
10、D
【解析】
将五个答题数,从小打到排列,5个数中间的就是中位数,出现次数最多的是众数.
【详解】
将这五个答题数排序为:10,13,15,15,20,由此可得中位数是15,众数是15,故选D.
【点睛】
本题考查中位数和众数的概念,熟记概念即可快速解答.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11、1-1.
【解析】
将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF,取CF的中点G,连接EF、EG,由AB=AC=2、∠BAC=120°,可得出∠ACB=∠B=10°,根据旋转的性质可得出∠ECG=60°,结合CF=BD=2CE可得出△CEG为等边三角形,进而得出△CEF为直角三角形,通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE,设EC=x,则BD=CF=2x,DE=FE=6-1x,在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE=x,利用FE=6-1x=x可求出x以及FE的值,此题得解.
【详解】
将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF,取CF的中点G,连接EF、EG,如图所示.
∵AB=AC=2,∠BAC=120°,
∴∠ACB=∠B=∠ACF=10°,
∴∠ECG=60°.
∵CF=BD=2CE,
∴CG=CE,
∴△CEG为等边三角形,
∴EG=CG=FG,
∴∠EFG=∠FEG=∠CGE=10°,
∴△CEF为直角三角形.
∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,
∴∠BAD+∠CAE=60°,
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°.
在△ADE和△AFE中,
,
∴△ADE≌△AFE(SAS),
∴DE=FE.
设EC=x,则BD=CF=2x,DE=FE=6-1x,
在Rt△CEF中,∠CEF=90°,CF=2x,EC=x,
EF==x,
∴6-1x=x,
x=1-,
∴DE=x=1-1.
故答案为:1-1.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质,通过勾股定理找出方程是解题的关键.
12、–
【解析】
根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.
【详解】
解:由,可设a=2k,b=3k,(k≠0),
故:,
故答案:.
【点睛】
此题主要考查比例的性质,a、b都用k表示是解题的关键.
13、2
【解析】
分析:根据分式的运算法则即可求出答案.
详解:当a+b=2时,
原式=
=
=a+b
=2
故答案为:2
点睛:本题考查分式的运算,解题的关键熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.
14、-
【解析】
sin30°=,a0=1(a≠0)
【详解】
解:原式=-1
=-
故答案为:-.
【点睛】
本题考查了30°的角的正弦值和非零数的零次幂.熟记是关键.
15、1
【解析】
由统计图可知共有:8+19+10+3=40人,中位数应为第20与第21个的平均数,
而第20个数和第21个数都是1(小时),则中位数是1小时.
故答案为1.
16、
【解析】
连接,根据可得,并且根据圆的半径相等可得△OAD、△OBE都是等腰三角形,由三角形的内角和,可得∠C=45°,则有是等腰直角三角形,可得
即可求求解.
【详解】
解:如图示,连接,
∵,
∴,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∵是直径,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴.
【点睛】
本题考查圆的性质和直角三角形的性质,能够根据圆性质得出是等腰直角三角形是解题的关键.
17、-9.
【解析】
根据题中给出的运算法则按照顺序求解即可.
【详解】
解:根据题意,得:,.
故答案为:-9.
【点睛】
本题考查了有理数的运算,理解题意、弄清题目给出的运算法则是正确解题的关键.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18、(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)求出EF∥AC,根据EF=AC,利用平行四边形的判定推出四边形ACEF是平行四边形即可;
(2)求出CE=AB,AC=AB,推出 AC= CE,根据菱形的判定推出即可.
【详解】
(1)证明:∵∠ACB=90°,DE是BC的垂直平分线,∴∠BDE=∠ACB=90°,∴EF∥AC,∵EF=AC,∴四边形ACEF是平行四边形,∴AF=CE;
(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形,证明:∵∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=AB,∵DE是BC的垂直平分线,∴BD=DC,∵DE∥AC,∴BE=AE,∵∠ACB=90°,∴CE=AB,∴CE=AC,∵四边形ACEF是平行四边形,∴四边形ACEF是菱形,即当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.
【点睛】
本题考查了菱形的判定平行四边形的判定线段垂直平分线,含30度角的直角三角形性质,直角三角形斜边上中线性质等知识点的应用综合性比较强,有一定的难度.
19、(1)y=-(x-1)²=-x²+2x-2;(2)等腰Rt△,(3)P1(3,-8),P2(-3,-20).
【解析】
(1)当抛物线绕其顶点旋转180°后,抛物线的顶点坐标不变,只是开口方向相反,则可根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式;
(2)可分别求出原抛物线和其“孪生抛物线”与y轴的交点坐标C、C′,由点的坐标可知△DCC’是等腰直角三角形;
(3)可求出A(3,0),C(0,-3),其“孪生抛物线”为y=-x2+2x-5,当AC为对角线时,由中点坐标可知点P不存在,当AC为边时,分两种情况可求得点P的坐标.
【详解】
(1)抛物线y=x2-2x化为顶点式为y=(x-1)2-1,顶点坐标为(1,-1),由于抛物线y=x2-2x绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变,只是开口方向相反,
则所得抛物线解析式为y=-(x-1)2-1=-x2+2x-2;
(2)△DCC'是等腰直角三角形,理由如下:
∵抛物线y=x2-2x+c=(x-1)2+c-1,
∴抛物线顶点为D的坐标为(1,c-1),与y轴的交点C的坐标为(0,c),
∴其“孪生抛物线”的解析式为y=-(x-1)2+c-1,与y轴的交点C’的坐标为(0,c-2),
∴CC'=c-(c-2)=2,
∵点D的横坐标为1,
∴∠CDC'=90°,
由对称性质可知DC=DC’,
∴△DCC'是等腰直角三角形;
(3)∵抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C,与x轴正半轴的交点为A,
令x=0,y=-3,令y=0时,y=x2-2x-3,解得x1=-1,x2=3,
∴C(0,-3),A(3,0),
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴其“孪生抛物线”的解析式为y=-(x-1)2-4=-x2+2x-5,
若A、C为平行四边形的对角线,
∴其中点坐标为(,−),
设P(a,-a2+2a-5),
∵A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,
∴Q(0,a-3),
∴=−,
化简得,a2+3a+5=0,△<0,方程无实数解,
∴此时满足条件的点P不存在,
若AC为平行四边形的边,点P在y轴右侧,则AP∥CQ且AP=CQ,
∵点C和点Q在y轴上,
∴点P的横坐标为3,
把x=3代入“孪生抛物线”的解析式y=-32+2×3-5=-9+6-5=-8,
∴P1(3,-8),
若AC为平行四边形的边,点P在y轴左侧,则AQ∥CP且AQ=CP,
∴点P的横坐标为-3,
把x=-3代入“孪生抛物线”的解析式y=-9-6-5=-20,
∴P2(-3,-20)
∴原抛物线的“孪生抛物线”上存在点P1(3,-8),P2(-3,-20),在y轴上存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.
【点睛】
本题是二次函数综合题型,主此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式,解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标以及确定出点P的位置,注意分情况讨论.
20、(1)证明见解析;(2)1.
【解析】
试题分析:(1)取BD的中点0,连结OE,如图,由∠BED=90°,根据圆周角定理可得BD为△BDE的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆的圆心,再证明OE∥BC,得到∠AEO=∠C=90°,于是可根据切线的判定定理判断AC是△BDE的外接圆的切线;
(2)设⊙O的半径为r,根据勾股定理得62+r2=(r+2)2,解得r=2,根据平行线分线段成比例定理,由OE∥BC得,然后根据比例性质可计算出EC.
试题解析:(1)证明:取BD的中点0,连结OE,如图,
∵DE⊥EB,
∴∠BED=90°,
∴BD为△BDE的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆的圆心,
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠OBE,
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB,
∴∠EB=∠CBE,
∴OE∥BC,
∴∠AEO=∠C=90°,
∴OE⊥AE,
∴AC是△BDE的外接圆的切线;
(2)解:设⊙O的半径为r,则OA=OD+DA=r+2,OE=r,
在Rt△AEO中,∵AE2+OE2=AO2,
∴62+r2=(r+2)2,解得r=2,
∵OE∥BC,
∴,即,
∴CE=1.
考点:1、切线的判定;2、勾股定理
21、(1)证明见解析;(2)3或.(3)或0<
【解析】
(1)根据矩形的性质,结合已知条件可以证明两个角对应相等,从而证明三角形相似;
(2)由于对应关系不确定,所以应针对不同的对应关系分情况考虑:当 时,则得到四边形为矩形,从而求得的值;当时,再结合(1)中的结论,得到等腰.再根据等腰三角形的三线合一得到是的中点,运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解.
(3)此题首先应针对点的位置分为两种大情况:①与AE相切,② 与线段只有一个公共点,不一定必须相切,只要保证和线段只有一个公共点即可.故求得相切时的情况和相交,但其中一个交点在线段外的情况即是的取值范围.
【详解】
(1)证明:∵矩形ABCD,
∴AD∥BC.
∴∠PAF=∠AEB.
又∵PF⊥AE,
∴△PFA∽△ABE.
(2)情况1,当△EFP∽△ABE,且∠PEF=∠EAB时,
则有PE∥AB
∴四边形ABEP为矩形,
∴PA=EB=3,即x=3.
情况2,当△PFE∽△ABE,且∠PEF=∠AEB时,
∵∠PAF=∠AEB,
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE,
∴点F为AE的中点,
即
∴满足条件的x的值为3或
(3) 或
【点睛】
两组角对应相等,两三角形相似.
22、(1)见解析;(2)70°;(3)1.
【解析】
(1)先根据等边对等角得出∠B=∠D,即可得出结论;
(2)先判断出∠DFE=∠B,进而得出∠D=∠DFE,即可求出∠D=70°,即可得出结论;
(3)先求出BE=EF=2,进而求AE=6,即可得出AB,进而求出AC,再判断出△ACG∽△ECA,即可得出结论.
【详解】
(1)∵AB=AD,
∴∠B=∠D,
∵∠B=∠C,
∴∠C=∠D;
(2)∵四边形ABEF是圆内接四边形,
∴∠DFE=∠B,
由(1)知,∠B=∠D,
∴∠D=∠DFE,
∵∠BEF=140°=∠D+∠DFE=2∠D,
∴∠D=70°,
由(1)知,∠C=∠D,
∴∠C=70°;
(3)如图,由(2)知,∠D=∠DFE,
∴EF=DE,
连接AE,OC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴BE=DE,
∴BE=EF=2,
在Rt△ABE中,tanB==3,
∴AE=3BE=6,根据勾股定理得,AB=,
∴OA=OC=AB=,
∵点C是 的中点,
∴ ,
∴∠AOC=90°,
∴AC=OA=2,
∵,
∴∠CAG=∠CEA,
∵∠ACG=∠ECA,
∴△ACG∽△ECA,
∴,
∴CE•CG=AC2=1.
【点睛】
本题是几何综合题,涉及了圆的性质,圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数,相似三角形的判定和性质,圆内接四边形的性质,等腰三角形的性质等,综合性较强,有一定的难度,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.本题中求出BE=2也是解题的关键.
23、
【解析】
按照实数的运算顺序进行运算即可.
【详解】
解:原式
【点睛】
本题考查实数的运算,主要考查零次幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值以及立方根,熟练掌握各个知识点是解题的关键.
24、 (1) △ABC是等腰三角形;(2)△ABC是直角三角形;(3) x1=0,x2=﹣1.
【解析】
试题分析:(1)直接将x=﹣1代入得出关于a,b的等式,进而得出a=b,即可判断△ABC的形状;
(2)利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式,进而判断△ABC的形状;
(3)利用△ABC是等边三角形,则a=b=c,进而代入方程求出即可.
试题解析:(1)△ABC是等腰三角形;
理由:∵x=﹣1是方程的根,
∴(a+c)×(﹣1)2﹣2b+(a﹣c)=0,
∴a+c﹣2b+a﹣c=0,
∴a﹣b=0,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形;
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴(2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0,
∴4b2﹣4a2+4c2=0,
∴a2=b2+c2,
∴△ABC是直角三角形;
(3)当△ABC是等边三角形,∴(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,可整理为:
2ax2+2ax=0,
∴x2+x=0,
解得:x1=0,x2=﹣1.
考点:一元二次方程的应用.
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