2023年湖北省荆门市中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖北省荆门市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列说法中，正确的是(    )

A. 与互为倒数 B. 与互为相反数 C. 的相反数是 D. 的绝对值是

2.  襄荆高铁襄阳至荆门是荆门境内在建的第三条高铁，该项目总投资亿元将数据“亿”表示为为整数的形式，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是元千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知直线，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  欧几里得的几何原本记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是(    )

A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长

7.  如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，关于该几何体的三视图有下列说法：主视图是轴对称图形；左视图是轴对称图形；俯视图是中心对称图形．其中说法正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  如图，菱形各边的中点分别是、、、，若，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，内接于，，的半径为，点是上的一点，且，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  关于二次函数，有下列四个结论：对任意实数，都有与对应的函数值相等；若时，对应的的整数值有个，则或；若抛物线与轴交于、两点，且，则或；当时，一元二次方程一定有两个实数根以上结论，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，且一次函数不经过第三象限，则的取值范围是______ ．

13.  如图，在中，，，，是边上一点，以为圆心的半圆分别与，边相切于，两点，则图中两个阴影部分面积的和为______ ．

14.  如图，已知四边形是平行四边形，，，两点的坐标分别是，，，两点在反比例函数的图象上，则的值等于______ ．

15.  已知中，边的长与边上的高的和为，当面积最大时，则其周长的最小值为______ 用含的代数式表示．

16.  已知即当为于的奇数时，；当为大于的偶数时，计算的结果为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在平行四边形中，延长到点，使，连接分别交，于点，．
求证：；
若，求的长．

19.  本小题分
某中学利用课外活动开展“法治和安全”知识学习，并在全校进行了一次竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，绘制了下面不完整的统计图、表．

请根据所给的信息解答下列问题：
王老师抽取了______ 名学生的参赛成绩；
将条形统计图补充完整；
在本次竞赛中，发现七班、八班的成绩不理想，学校要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从、、、四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率．

20.  本小题分
如图所示，某居民楼后有一个小山坡，其坡度为：注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，小区准备在小山坡上加装广告牌已知广告牌底端到坡底的距离为米，水平地面上居民楼到坡底的距离为米，当太阳光线与水平线成角时，测得广告牌落在居民楼上的影子长为米．
求点所在位置的铅直高度；
求广告牌的高参考数据：

21.  本小题分
已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若，求的值．

22.  本小题分
如图，，分别与相切于点，，是的直径，连接．
求证：；
连接，若，求的值．

23.  本小题分
某厂按用户的月需求量件完成一种产品的生产，其中，每件的售价为万元，每件的成本万元是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量件成反比，经市场调研发现，月需求量与月份为整数，，符合关系式为常数，且得到了表中的数据．

求与满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是万元；
求，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
在这一年个月中，若第个月和第个月的利润相差最大，求．

24.  本小题分
抛物线与轴交于，两点，且．
若，当时，求抛物线的解析式；
如图，已知点，在中所求的抛物线上取一点，连接并延长交该抛物线于点判断的值是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
若的中点坐标为，且，设此抛物线顶点为，交轴于点，直线交轴于点，点为坐标原点，令面积为，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：与互为相反数，故选项A不正确
B.与互为倒数，故选项B不正确；
C.的相反数是，故选项C正确；
D.的绝对值是，故选项D不正确．
故选：．
根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可．
本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿，
可知，
故选：．
将亿写成，根据小数点移动位数即可得出的值．
本题考查科学记数法，解题的关键是牢记中的值等于小数点移动位数．
 

3.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
根据完全平方公式变形即可判断．
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由统计图可知，前三次的中位数是，
第四次又买的苹果单价是元千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
，
故选：．
根据统计图中的数据和题意，可以得到的值，本题得以解决．
本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：过含角的直角三角板的直角顶点作，交于点，

，
．
，
．
，
，
．
，，
，
，
，
．
故选：．
过点作，交于点，利用三角形的外角的性质，平行线的性质定理和对顶角相等的性质解答即可．
本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质定理，三角形的外角的性质，对顶角相等，过点作，交于点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：，
，，，
，
整理得：，
，
的长是方程的一个正根，
故选：．
根据勾股定理得出方程，整理后即可得到结果．
本题考查了一元二次方程的解与勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：左视图是轴对称图形．

故主视图不是轴对称图形，故说法错误；
左视图是轴对称图形，故说法正确；
俯视图是中心对称图形，故说法正确；
所以说法正确的有个．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，再根据轴对称图形的定义可得答案．
此题考查了轴对称图形，以及学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于点，连接，

菱形各边的中点分别是、、、，
，，
，，
，
，
故B选项结论正确，不合题意；
由菱形的性质可知，
，
，，
，
，
故D选项结论正确，不合题意；
，，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
是直角三角形，
，
故A选项结论正确，不合题意；
由已知条件可知，
若，则是等边三角形，
则，与矛盾，
因此不成立，
故C选项结论错误，符合题意．
故选：．
由中位线的性质可知，结合可得，可判断选项；由菱形的性质可知，用勾股定理解可验证选项D；先证四边形是平行四边形，再用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可判断选项A；假设成立，则是等边三角形，，与矛盾，可判断选项C．
本题考查菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质等，解题的关键是综合运用上述知识点，逐步进行推导论证．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，，，如图，

，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
故选：．
连接，，，根据圆周角定理可得，再由，可得，再由，可得，，可证得是等边三角形，从而得到，在中，可得到的长，即可求解．
本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为，
，，故正确；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，对应的整数值有各，分别是，，，，
，
，
当时，，对应的整数值有各，分别是，，，，
，
，
综上，时，对应的的整数值有个，则或；故错误；
当时，，则，
当时，抛物线与轴交于、两点，，
，当时，，
，
解得：，
当时，抛物线与轴交于、两点，，
，当时，，
，
解得：
若抛物线与轴交于、两点，且，则或，故正确；
对于一元二次方程，，
若一元二次方程一定有两个实数根，则
当时，，即；
当时，，即；所以题中说的“”是错的，故错误．
综上，正确的有，
故选：．
二次函数的对称轴为，即可判断；当时，，当时，，当时，，分当时，，当时，，进行求解即可判断；当时，，则，分当时，，当时，，当时，，当时，，求解即可判断；由，分情况讨论即可判断．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质，并根据题目条件灵活应用是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
先计算负整数次幂、立方根、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值，再进行加减运算．
本题考查实数的混合运算，涉及负整数次幂、立方根、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是掌握各项运算法则并正确计算．
 

12.【答案】 

【解析】解：解不等式组，
得，
关于的一元一次不等式组有个整数解，
，
解得，
一次函数不经过第三象限，
且，
，
又，
，
故答案为：．
关于的一元一次不等式组有个整数解，可以求得的取值范围，再根据一次函数不经过第三象限，可以得到的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后的取值范围，即可求解．
本题考查一次函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

以为圆心的半圆分别与，边相切于，两点，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，，
∽，
，
设，
则，
，
解得，
，
，
和所包含扇形的面积之和为：，
图中两个阴影部分面积的和为：，
故答案为：．
连接，，可证四边形是正方形，设，则，证明∽，通过对应边成比例求出，则阴影部分面积之和等于减去，再减去和所包含扇形的面积之和．
本题考查切线的性质，掌握正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，扇形面积计算等知识点是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，
四边形是平行四边形，
与的中点坐标相同，
，
解得：，，即，
，即，
，，两点的坐标分别是，，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
设，根据与的中点坐标相同可得点坐标，代入解析式可得关于的不等式，由可求出的值，进而得出值．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，求出点的坐标是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设上的高为，
边的长与边上的高的和为，
，
设的面积为，
，
当面积最大时，
，
，
过点作直线，再作出点关于直线的对称点，连接，交于点，
当点与点重合时，周长的最小值，
，
，
，
的最小周长，
故答案为
设上的高为，则，的面积为，，根据二次函数的顶点坐标，可得出的值，过点作直线，再作出点关于直线的对称点，连接，交于点，从而得出周长的最小值．
本题考查了二次函数的最值问题，是一道二次函数的综合题，还考查了二次函数的解析式以及顶点的运用，轴对称的应用，正确运用轴对称是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，，，，，，

的值每个一循环，
，
，
，
故答案为：．
先找到规律的值每个一循环，再求出，由，可得．
本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：四边形是平行四边形，
，，
由知，
，
，
，，
∽，
，即，
解得． 

【解析】由平行四边形的性质可得，，等量代换可得，通过证明≌，即可得出；
由平行四边形的性质可得，进而可得∽，根据相似三角形的性质即可求得答案．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，第一问的关键是证明≌，第二问的关键是证明∽，解法不唯一．
 

19.【答案】 

【解析】解：由所给的统计图、表，可知“优秀”等次有人，占比为，
因此抽取学生总数为：，
故答案为：；
“中等”等次人数为：，
“良好”等次人数为：，
条形统计图补充完整后如下所示：

画树状图如下：

由图可知，共有种等可能的情况，其中两个班同时选中同一套试卷的情况有种，，
即两个班同时选中同一套试卷的概率是．
根据“优秀”等次人数及所占百分数可得抽取学生的总数；
先求出“中等”“良好”等次人数，再补充条形统计图；
利用列表法或画树状图法求解．
本题考查频数分布表、扇形统计图、条形统计图、列表法或画树状图法求概率等知识点，解题的关键是将所给统计图、表中的信息进行关联．
 

20.【答案】解：如图，过点作于点，延长，交于点．

根据题意和作图可知四边形为矩形，，
米，．
：，即，
故设米，则米，
在中，，即，
解得：舍去负值，
米；
即点所在位置的铅直高度为米；
由可知米，米，
米．
，
，即，
解得：米，
米，
米．
答：广告牌的高为米． 

【解析】过点作于点，延长，交于点根据题意和作图可知四边形为矩形，，则米，由：得到，可设米，则米，在中利用勾股定理解得，即可得到答案；
由可知米，米，得到米．根据得到，求得米，得米，利用即可得到广告牌的高．
本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
 

21.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
，
解得：，
，
即：
，
又，，
，
，
解得：或舍去． 

【解析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，解不等式即可求解；
利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入计算即可求出的值．
此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

22.【答案】证明：连接、，

与、相切，
，
由切线长定理得：，
，
．
，
，
；
解：作，交延长线于点，连接，

由得，
，，
，
，，
，
，
，，
设，则，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
． 

【解析】连接、，由切线的性质可得，由切线长定理可得及，再利用互余关系及三角形内角和，可得结论；
作，交延长线于点，连接，得出，根据得出，，设，则，则得出，在中得出，在中，根据正切的定义即可求解．
本题考查了切线长定理，切线的性质，解直角三角形，正确的添加辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意，设，
由表中数据可得：，
解得：，
，
由题意，若，则，
，
，
不可能；

将、代入，得：，
解得：，
，
将、代入也符合，
；
由题意，得：，
解得：，
，即，
，
方程无实数根，
不存在；

第个月的利润为，


，
第个月的利润为，
若，，取最小，取得最大值；
若，，由知取最大，取得最大值；
或． 

【解析】设，将表中相关数据代入可求得、，根据，则可作出判断；
将、代入可求得的值，先由求得，根据可判断；
第个月的利润，第个月的利润为，分情况作差结合的范围，由一次函数性质可得．
本题主要考查二次函数的应用，理解题意准确梳理所涉变量，并熟练掌握待定系数法求函数解析式、利润的相等关系列出解析式是解题的关键．
 

24.【答案】解：将代入，得，
解方程组，
得，
抛物线的解析式是；
的值是常数，
如图，作轴，轴，垂足分别为，，

在中，，
，
点在抛物线上，
，
，
，
同理可得，
，，
∽，
，
，
，即，
，是常数；
抛物线的顶点为，
抛物线与轴交于，两点，的中点坐标为，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
把代入可得点坐标为，
由点在直线上，可得直线的解析式为，
当时，，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
当时，时，取最小值为，
当时，取最大值为，
，
． 

【解析】将代入，得，解方程组，求出和的值即可；
作轴，轴，垂足分别为，，由勾股定理得，根据点在抛物线上，得，求出，同理可得，再证明∽，得到，整理得，即可求出，是常数；
由、坐标和抛物线顶点可得与的等量关系，由的取值范围可得的取值范围，用含的代数式表示，通过取值范围求解．
此题考查了的是二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，相似三角形的判定和性质，掌握配方法求二次函数的最值．