2021省大庆东风中学高一下学期期末考试数学试题含答案

       大庆市东风中学高一下学期第三次考试

数学学科试卷

一、单选题（每个小题5分共60分）

1．i是虚数单位，计算的结果为（    ）

A． B．i C． D．

2．在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他4个小长方形面积和的，且样本容量为210，则中间一组的频数为（    ）

A．10 B．20 C．60 D．70

3．在中，已知则等于（    ）

A．4 B．3 C． D．

4．已知平面向量，满足，=3，与的夹角为60°，则（    ）

A． B． C．5       D   3

5．“点P在直线m上，m在平面内”可表示为（    ）

A． B． C． D．

6．设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（    ）

A． B．

C．                D．

7．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ）

A． B． C． D．

8．在中，若，，则外接圆的直径为（    ）

A． B．12 C．24 D．

9．用、表示两条不同的直线，用、表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则∥

C．若，∥，则 D．若，，则

10．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

11．2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵.某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在内，按通行时间分为，，，，五组，频率分布直方图如图所示，则这台车中通行时间少于分钟的共有（    ）

A．台 B．台 C．台 D． 台

二、多选题

12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（    ）

A．D1D⊥AF       B．A1G∥平面AEF

C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为

D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍

第II卷（非选择题）

三、填空题（每个小题5分共20分）

13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是_______三角形（填“锐角”、“钝角”、“直角”中的一个）．

14．直三棱柱ABC－的六个顶点都在球O的球面上．若AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，，则球O的表面积为________．

15．已知样本数据，，…，的均值，则样本数据，，…，的均值为______.

16．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则三棱锥的体积为______，球的表面积为______．

五、解答题

17．（10分）已知复数z1＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数.

（1）求实数m的值；

（2）若(3＋z1)z＝4＋2i，求复数z.

18．（12分）如图是总体的一个样本频率分布直方图，且在内频数为.

（1）求样本容量；

（2）若在内的小矩形面积，求在内的频数；

（3）在（2）的条件下，求样本在内的频率.

19．（12分）在中，，，所对的边为，，，满足.

（1）求的值；

（2）若，，则的周长.

20．（12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.

（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；

（2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.

21．（12分）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知=(2a,2b)，且满足.

（1）求C；

（2）若，求当函数取最小值时的周长；

22．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，E为的中点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

答案

1．A2．C3．C4．D5．B6．C7．B8．D9．C10．A11．D12．BCD

13．钝角  14．   15．7   16．       

17．（1）m＝0；（2）1＋i.

18．（1）；（2）；（3）.

19．（1）；（2）.

（1）由条件，

展开化简可得，

结合余弦定理可得，

因为，

所以.

（2）由（1）可知，而，，

则

由正弦定理可得，

代入解得，，

所以的周长为，

20．（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，

∴AB1⊥BA1.

由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.

又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，

∴A1C1⊥平面AA1B1B.

又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.

又∵BA1∩A1C1＝A1，

∴AB1⊥平面A1BC1.

（2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1.

∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝.

在Rt△A1DA中，AD＝.

∴sin∠A1DA＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.

21．（1）；（2）；（3）.

（1）由题意可得，

根据正弦定理可得，则，

所以，又为三角形内角，所以，因此，所以；

（2）因为，

由可得，因此；所以当且仅当时，取得最小值，此时；

因为，所以，，

则的周长为；

22．（1）证明见解析（2）

（1）证明：取中点，连接、，如图，

为等腰直角三角形，

，且，

，且，即，

，

四边形是正方形，

，

，、面，

面，

面，

，

，且、面，

面，

面，

平面平面．

（2）平面平面，，，，

，

取中点，则，，

，

即为所求二面角的平面角，

，

，

面与面所成的锐二面角余弦值为．