2021省大庆东风中学高二下学期期末考试数学（文）试题含答案

大庆市东风中学高二年级下学期第四次考试

数学学科试卷

 一、单选题（每小题5分，共计12题，总分60分）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若是假命题，是真命题，则（    ）

A．是真命题 B．是假命题 C．是真命题 D．是真命题

3．命题的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．15

6．已知函数的定义域为实数集，对，有成立，且，则(    )

A．10 B．5 C．0 D．-5

7．已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（    ）

A．②①③④ B．②③①④ C．④①③② D．④③①②

8．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

9．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

10．设函数，则零点的个数为（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．若函数在上可导，且，则当时，下列不等式成立的是(　　 )

A． B．

C． D．

二、填空题（每小题5分，共计4题，总分20分）

13． “”是“ ”成立的_____________条件.

14．函数的值域为______．

15．已知的定义域为，则的定义域为_______________.

16．函数（）在内不存在极值点，则a的取值范围是_______________．

三、解答题（共计6题，总分70分）

17．（10分）计算下列各式的值：

（1）；

（2）.

18．（12分)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数).在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的极坐标方程

（2）设直线与曲线交于，两点，求.

19．(12分）已知函数是定义域上的奇函数．

（1）确定的解析式；

（2）若在区间上是减函数，解不等式．

20．（12分）已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为．

（1）求的解析式；

（2）若在区间,上有最小值2，求实数的值．

21．（12分）2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.

（1）请将上述列联表补充完整；

（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.

附：

22．(12分)已知曲线在处的切线经过原点．

（1）求实数的值；

（2）若，讨论的极值点的个数．

参考答案

1．A

【详解】

因为集合，，则，故选：A.

2．C

【详解】

解：是假命题，是真命题，

是假命题，是真命题，是真命题，是假命题，错，对．

故选：．

3．A

【详解】

特称命题的否定是全称命题，

即命题“”的否定是“”.故选：A

4．C

【分析】

【详解】

由题意得解得或.所以原函数的定义域为.

故选：C.

5．A根据分段函数的定义，先求内层函数的值，然后再求外层函数的值.

【详解】

解：因为，所以，

所以，故选：A.

6．D

【详解】

对，有，所以，

所以函数的周期为，所以，对于

令可得，所以，即，故选：D.

7．D

【详解】

①：函数是实数集上的增函数，且图象过点，因此从左到右第三个图象符合；

②：函数是实数集上的减函数，且图象过点，因此从左到右第四个图象符合；

③：函数在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；

④：函数在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，故选：D

8．B【详解】

因为，，，

所以.

故选：B.

9．C函数的定义域为，

，即函数是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A，B；x>0时，，而，则有，显然选项D不满足，C符合要求.

故选：C

10．B

【详解】令，得，即，

则函数的零点个数等于函数和函数的交点个数，

在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：

由上图可知，函数和函数有两个交点，

因此，函数的零点个数为，故选B

【点睛】

本题考查函数的零点个数的求解，一般有以下两种方法：

（1）代数法：解方程的根；

（2）图象法：求函数的零点个数，可转化为两个函数和函数图象的交点个数.

11．C

【分析】

令，，分析出内层函数和外层函数的单调性，以及真数在所给的区间上恒为正数可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.

【详解】

令，易知在其定义域上单调递减，

要使在上单调递减，则在单调递增，

且，即，所以，即.

因此，实数的取值范围是.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：解本题的关键点：

（1）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性；

（2）不要忽略了真数要恒大于零.

12．D

【解析】

构造函数：得函数g（x）为减函数，又所以

点睛：可先观察备选答案中含有，又，故想到构造函数，分析单调性即可得出结论.此题可作为重点积累

13．充要

【分析】

利用充分，必要条件的定义，结合不等式的性质判断

【详解】

，即，反过来，当，

即，所以“”是“ ”成立的充要条件.

故答案为：充要

14．

【分析】

按和分别求出函数的值域，取并集可得答案．

【详解】

当时，

当时，

综上可得，的值域为

故答案为：

15．

【分析】

由题意得出，解出该不等式即可得出函数的定义域.

【详解】

由于函数的定义域为，对于函数，有，

即，即，解得.

因此，函数的定义域为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查抽象函数定义域的求解，解决抽象函数的定义域问题，需要注意以下两个问题：函数的定义域为自变量的取值范围、另外就是中间变量的取值范围一致，考查运算求解能力，属于基础题.

16．．

【分析】

将函数在内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数或恒成立即可求解.

【详解】

解：∵函数（）在内不存在极值点，

∴函数在内单调递增或单调递减，

∴或在内恒成立，

∵，

令，二次函数的对称轴为，

∴，

，

当时，需满足，即，

当时，需满足，即，

综上所述，a的取值范围为．

故答案为：．

17．（1）；（2）8.

【分析】

（1）根据指数幂的运算性质可求得结果；

（2）根据对数的运算性质可求得结果

【详解】

（1）原式；

（2）原式

.

18．（1）；（2）

【分析】

（1）将直线的参数方程化为普通方程，再根据得到直线的极坐标方程；

（2）因为等价于和，联立直线与曲线的极坐标方程，得到、，从而计算可得；

【详解】

解：（1）将(其中为参数)消去参数得，将代入得，所以，即

（2）因为等价于和

不妨设与曲线交于点A，与曲线交于点B；

由，则

由，则

所以

19．（1）；（2）．

【分析】

（1）根据奇函数的定义，代入求解即可；（2）因为在上既是奇函数又是减函数，所以移项根据增减性可列出的不等关系，解不等式组即可.

【详解】

（1）由于函数是定义域上的奇函数，

则，             

即，化简得，               

因此，；         

（2）因函数是定义域（-1，1）上的奇函数

由得，               

又在区间上是减函数

所以，解得．       

因此，不等式的解集为．

【点睛】

思路点睛：已知的奇偶性和单调性，求不等式中变量的范围

（1）对不等式移项，再根据奇偶性转化为或；

（2）由单调性建立的不等关系，求解即可.注意的范围一定要落在在定义域中.

20．（1）；（2）或．

【分析】

（1）由一元二次不等式的解知，1和3是方程的两根且，利用根与系数的关系即可求参数，写出解析式.

（2）由二次函数的开口及对称轴，结合其在闭区间上的最小值，讨论、、情况下，求符合条件的t值即可.

【详解】

（1）由，得，又1和3是方程的两根，

∴，．解得，，

∴．

（2），．开口向上且对称轴为，

当时，在上为增函数，，解得，符合题意；

当时，在上为减函数，在上为增函数，，解得，其中舍去；

当时，在上为减函数，，解得，不符合题意．

综上可得，或．

21．（1）列联表见解析；（2）有把握.

【分析】

（1）根据题意分析数据，完成列联表；

（2）套公式计算，对照参数下结论即可.

【详解】

（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为

所以喜欢游泳的学生人数为.

其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：

（2）因为

所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.

22．（1）；（2）答案见解析．

【分析】

（1）根据导数的几何意义求出在处的切线方程，然后将代入切线方程即可求解.

（2）对求导，得到，由于正负不容易确定，故令，进行再次求导得到，接下来对进行分类讨论即可求出结果.

【详解】

解：（1）由题意知，所以，

又因为，所以切线方程为．

代入点，得．

（2），．

令，则．

令．

（ⅰ）若，则，，在上单调递减，注意到，

所以的单调性如下表：

此时有一个极值点．

（ⅱ）若，令，得（舍），，易知在上单调递减，在上单调递增．

下面讨论与1的大小关系，由于．

①若，则，．由的单调性知，而时，，则存在使得，因此的单调性如下表：

此时有两个极值点．

②若，则．又，由的单调性知，即，所以单调递增，无极值点．

综上所述：若，则有一个极值点；

若，则有两个极值点；

若，则没有极值点．

【点睛】

导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．