2021省大庆东风中学高二下学期期末考试数学（理）试题含答案

大庆市东风中学高二年级下学期第四次考试

理科数学学科试卷

 一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A．  B．  C．  D．

2．已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．函数的定义域为（    ）

A．   B．   C．   D．

4．下列函数中，在区间(1，+∞)上单调递增的是（    ）

A．y=-3x-1        B．y=        C．y=x2-4x+5       D．y=|x-1|+2

5．函数的一段大致图象是（    ）

A．  B．  C．  D．

6．已知，；，.那么的取值范围分别为（    ）

A．，          B．，

C．，          D．，

7．已知随机变量服从正态分布，，则（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8

8．若，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

9．在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．设p∶-1≤x≤1，q∶x<-2或x>1，则p是q的（    ）条件.

A．充分不必要      B．必要不充分      C．充分必要      D．既不充分也不必要

11．函数在上是减函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知定义在上的偶函数满足，且时，，则函数在上的所有零点之和为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．__________．

14．的展开式中，项的系数是___________.

15．已知命题，命题.若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围为____________________.

16．定义域为的奇函数在上单调递减．设，若对于任意，都有，则实数的取值范围为_____．

三、解答题

17．已知集合

（1）若，求；

（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围.

18．某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：，整理得到如下频率分布直方图.根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：

（1）从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率；

（2）用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数，求X的分布列和数学期望.

19．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，直线与曲线相交于两点，并且 ，求的值．

20．袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球．

（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；

（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分的分布列和数学期望．

21．在直角坐标系中，曲线的参数方程为：(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积.

22．已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：对任意的，都有.

参考答案

1．A  2．D  3．C  4．D  5．A  6．C  7．A  8．A  9．B  10．B  11．B  12．C

13．6     14．56     15．    16．

17．解（1），

当时，，

则；

（2）∵，∴

是的充分条件，

，

，解得，即实数a的取值范围是.

18．解：（1）由频率分布直方图可知满意度的分数的频率为，满意度的分数的频率为，故从使用该软件的用户中随机抽取1人，其满意度的等级为“满意”的概率为

（2）依题意可知，则的可能取值为、、，

所以，，

所以的分布列为：

所以

19．解（1）因为，所以

所以曲线的直角坐标方程为

（2）将代入

得 ，，则

所以 ，因为

所以或

则 或

20．.解（1）依题意得，看作3次独立重复试验，每次实验取出红球的概率为 ，取出黑球的概率为 ，设事件A=“取出2个红球1个黑球”，则

（2）的取值有4个：3、4、5、6，分布列为：

从而得分的数学期望为 .

21．解：（1）由题意得：，消去，∴

∴的极坐标方程为：，，

由得：

∴即：

∴的直角坐标方程为：

（2）由得：，

由得：，∴，

.

22．解（1）由题意，函数，可得定义域为，

则，可得，，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）由（1）知，可得，

所以在上单调递增，

又由，所以当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递减，

所以当时，函数取得最小值，最小值为，

即对任意的，都有.