2021白城一中高二下学期期中考试数学（文）试题含答案

这是一份2021白城一中高二下学期期中考试数学（文）试题含答案，共15页。试卷主要包含了已知集合，，则，命题“，”的否定为，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。


2020-2021学年度高二下学期期中测试题
（文科数学）
时间 120分钟 满分 150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数z的共轭复数为，且（1+i）z＝|i|，则对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知函数，则（ ）
A B 2 C D -2
5．某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2015年自主招生考试的学生人数如下表所示：
中学
A
B
C
D
人数
40
30
10
20
该市教委为了解参加考试的学生的学习状况，采用分层抽样的方法从四所中学报名参加考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为(　　)
A．15,20,10,5 B．15,20,5,10
C．20,15,10,5 D．20,15,5,10
6．用反证法证明“若，则全不为0”时，假设正确的是( )
A．中只有一个为0 B．至少一个不为0
C．至少有一个为0 D．全为0


7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示的程序框图，阅读下面的程序框图，则输出的S＝(　　)

A．14 B．20
C．30 D．55
9． 已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
10．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x，y的值分别为(　　)

A．7,8 B．5,7
C．8,5 D．7,7

12．已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为．类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）
A． B．
C． D．

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）。
13．如图，在正方形内有一扇形，(阴影部分)扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长，在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为________．

14． 已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是__________

15.对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
16．观察下列一组数据




…
则从左到右第一个数是__________.



三、解答题：（本题共6个题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
17.（本题满分10分）
已知复数，其中是虚数单位，且为纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．

18. （本题满分12分）
用分析法证明：当时，；

19．（本题满分12分）
2020年1月22日，国新办发布消息：新型冠状病毒来源于武汉一家海鲜市场非法销售的野生动.某生物疫苗研究所加紧对新型冠状病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：

未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
20


注射疫苗
30


总计
50
50
100
现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为.
（1）求列联表中的数据，，，的值；
（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？
附：.

0.05
0.01
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828

20.（本题满分12分）
函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

21． （本题满分12分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解答下列问题．


组别
分组
频数
频率
第1组
[50,60)
8
0.16
第2组
[60,70)
a
■
第3组
[70,80)
20
0.40
第4组
[80,90)
■
0.08
第5组
[90,100]
2
b
合计
■
■
(1)写出a，b，x，y的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．
①求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
②求所抽取的2名同学来自同一组的概率．


22．（本题满分12分）
每年的金秋十月，越野e族阿拉善英雄会在内蒙古自治区阿拉善盟阿左旗腾格里沙漠举行，该项目已打造成集沙漠竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年英雄会参会人数（万人）与沙漠中所需环保车辆数量（辆），得到如下统计表：
参会人数（万人）
11
9
8
10
12
所需环保车辆（辆）
28
23
20
25
29
（1）根据统计表所给5组数据，求出关于的线性回归方程．
（2）已知租用的环保车平均每辆的费用（元）与数量（辆）的关系为
.主办方根据实际参会人数为所需要投入使用的环保车，每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用.预计本次英雄会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润是多少？（注：利润主办方支付费用租用车辆的费用）．
参考公式：









2020-2021学年度高二下学期期中测试题
（文科数学）
时间 120分钟 满分 150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
2．在复平面内，复数z的共轭复数为，且（1+i）z＝|i|，则对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案:A
3．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
答案:A
4．已知函数，则（ ）
A B 2 C D -2
答案:B
5．某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2015年自主招生考试的学生人数如下表所示：
中学
A
B
C
D
人数
40
30
10
20
该市教委为了解参加考试的学生的学习状况，采用分层抽样的方法从四所中学报名参加考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为(　　)
A．15,20,10,5 B．15,20,5,10
C．20,15,10,5 D．20,15,5,10

解析：设A，B，C，D四所中学被抽取的学生人数分别为a，b，c，d.由题意得＝＝＝＝，得a＝20，b＝15，c＝5，d＝10.故选D.
答案：D
6．用反证法证明“若，则全不为0”时，假设正确的是( )
A．中只有一个为0 B．至少一个不为0
C．至少有一个为0 D．全为0
答案:C
7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
答案:A
8．如图所示的程序框图，阅读下面的程序框图，则输出的S＝(　　)

A．14 B．20
C．30 D．55
解析：第一次循环S＝1，i＝2；第二次循环S＝1＋22＝5，i＝3；第三次循环S＝5＋32＝14，i＝4；第四次循环S＝14＋42＝30，i＝5；此时5＞4，跳出循环，故输出的值为30.
答案:C
10． 已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
答案:B
10．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案:D
11.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x，y的值分别为(　　)

A．7,8 B．5,7
C．8,5 D．7,7
解析：由甲组数据的中位数为17知y＝7，由＝17.4，得x＝7.
答案：D
12．已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为．类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
答案:B
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）。
13．如图，在正方形内有一扇形，(阴影部分)扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长，在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为________．

解析：设正方形的边长为1，则P＝＝1－.
答案：1－
14．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是__________
答案:
解析：¡ßf(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，¡¡§¡èa－1＋2a＝0，¡¡§¡èa＝.
又f(－x)＝f(x)，¡¡§¡èb＝0，¡¡§¡èa＋b＝.
15.对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
答案:
[解析]　由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2.
所以x≥.所以f(x)＝
其图象如图所示．

由图象易知，当x＝时，函数有最小值，所以f(x)min＝f＝＝.
16．观察下列一组数据




…
则从左到右第一个数是__________.
答案： 381
三、解答题：（本题共6个题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
17.（本题满分10分）
已知复数，其中是虚数单位，且为纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
答案:
解：(1)．
因为为纯虚数，所以，所以．.....................5
(2)，
由已知，解得，所以实数的取值范围为...........10
15． （本题满分12分）
用分析法证明：当时，；


答案:
证明：要证
只要证，...............................4
只要证，
只要证，由于，
只要证，
即证 .............................................................8
，....................................................10
所以.........................................12
19．（本题满分12分）
2020年1月22日，国新办发布消息：新型冠状病毒来源于武汉一家海鲜市场非法销售的野生动.某生物疫苗研究所加紧对新型冠状病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：

未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
20


注射疫苗
30


总计
50
50
100
现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为.
（1）求列联表中的数据，，，的值；
（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？
附：.

0.05
0.01
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
答案:
解：（1）由已知条件可知：，
，，....................................6
（2）∵
显然..................................................................................................10
所以有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效...............12
20.（本题满分12分）
函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
答案:
解：(1)因为对于任意x1，x2¡ÊD有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，
得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.........................................................................................4
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
f(x)定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．..............................................................8
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|) 又f(x)在(0，＋¡Þ)上是增函数，
所以0<|x－1|<16，解得－15 所以x的取值范围是(－15，1)¡È(1，17)．.........................................................12
19. （本题满分12分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解答下列问题．


组别
分组
频数
频率
第1组
[50,60)
8
0.16
第2组
[60,70)
a
■
第3组
[70,80)
20
0.40
第4组
[80,90)
■
0.08
第5组
[90,100]
2
b
合计
■
■
(1)写出a，b，x，y的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．
①求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
②求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
答案:
解：(1)由题意可知，样本总人数为＝50，∴b＝＝0.04，
a＝50×(1－0.16－0.40－0.08－0.04)＝16，x＝0.032，y＝0.004.....................................4
(2)由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y.
从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共15种情况．
①设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况．
所以P(E)＝＝.........................................................................................................8
②设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，
有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况．
所以P(F)＝................................................................................................................12
22．（本题满分12分）
每年的金秋十月，越野e族阿拉善英雄会在内蒙古自治区阿拉善盟阿左旗腾格里沙漠举行，该项目已打造成集沙漠竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年英雄会参会人数（万人）与沙漠中所需环保车辆数量（辆），得到如下统计表：
参会人数（万人）
11
9
8
10
12
所需环保车辆（辆）
28
23
20
25
29
（1）根据统计表所给5组数据，求出关于的线性回归方程．
（2）已知租用的环保车平均每辆的费用（元）与数量（辆）的关系为
.主办方根据实际参会人数为所需要投入使用的环保车，每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用.预计本次英雄会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润是多少？（注：利润主办方支付费用租用车辆的费用）．
参考公式：
答案:
解：（1） ...............................................................................2
.........................................................................................4 .................6
........................................................................................................................8
关于的线性回归方程 ...............................................................................10
（2）将代入得
为确保完成任务，需要租用35辆环保车，
所以
获得的利润元................................12