2021-2022学年江西省赣州市六校联考高二下学期期中数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年江西省赣州市六校联考高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．下列各式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本初等函数的求导公式和导数的加法法则逐项判断即可.

【详解】，故A错误；

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误.

故选：C.

2．若复数z满足，则z的虚部为（       ）．

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】求出后由虚部的概念求解

【详解】，则，虚部为

故选：C

3．用反证法证明：“，，，且，则中至少有一个负数”时的假设为（       ）

A． 中至少有一个正数 B．全为正数

C．中至多有一个负数 D．全都大于或等于0

【答案】D

【分析】用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定,注意“至少有一个”的否定是“一个也没有”，“全都是相反的情况”，再就是注意“负数”反面是“大于等于0”.

【详解】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，

由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，

故选：D．

4．《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：按照规律，若具有“穿墙术”，则n的值为(       )

A．62 B．63 C．64 D．65

【答案】B

【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出即可．

【详解】∵，

，

，

，

则，

故选B．

5．“ ”是“函数在区间上单调递增”的（       ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】先根据单调性将问题转化为导函数大于等于零恒成立，再将恒成立问题转化为最值问题即可，最后利用充分性和必要性的概念求解.

【详解】，，

因为函数在区间上单调递增，

所以在区间上恒成立，

即恒成立，

又函数在上单调递增，

函数的最大值为，

，

故“ ”是“”的必要不充分条件.

故选：C.

6．年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规则决出前名进行半决赛，胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别计算循环赛、半决赛和争夺冠军和铜牌的比赛场数，加和可得结果.

【详解】循环赛共有：场；

半决赛共有场，争夺冠军和铜牌各场，

整个冰壶混双比赛的场数为场.

故选：C.

7．已知函数在上可导，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据目标式，结合导数的定义即可得结果.

【详解】解：根据导数的定义，.

故选：D

8．（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合几何意义求得定积分.

【详解】，

.

，表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分.

在圆上，所以，

所以.

所以.

故选：C

9．习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．瑞金二中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F、G共7项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为(       )．

A．840 B．800 C．720 D．680

【答案】C

【分析】先排B，有种排法，再排E、F、G，有种，最后排A、C、D有1种排法，故总的排法为6×120×1﹒

【详解】如图，有7个位置：

先排，除了1不能选之外其余6个都可以，有种选法，

再排E、F、G，有种排法，

剩下的位置按A、C、D先后顺序排列，有1种排法，

根据分步乘法计数原理得总的排法有6×120×1＝720种﹒

故选：C﹒

10．已知圆与抛物线交于A，B两点，且，则如图所示阴影部分绕x轴旋转形成的旋转体的体积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用是圆的弦长，求出点，的坐标，即可求出抛物线的方程，然后利用定积分求解旋转体体积的公式求解即可．

【详解】解：线段是圆的一条弦长，

则点到线段的距离为，

所以点，

又点，在抛物线上，

所以有，则抛物线的方程为，

设阴影部分绕轴旋转形成的旋转体的体积为，

则

．

故选：．

11．已知奇函数是定义在R上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的不等式构造函数，再探讨函数的性质，借助性质解不等式作答.

【详解】依题意，令，因是R上的奇函数，则，即是R上的奇函数，

当时，，则有在单调递增，

又函数在R上连续，因此，函数在R上单调递增，

不等式，

于是得，解得，

所以原不等式的解集是.

故选：B

12．函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数，关于的方程恰有四个不同的实数根，

等价于或与图像有四个不同交点，根据图像判断即可.

【详解】作出函数的图像如下所示，当，时，，所以时递增，

当时递减，所以当时，

在处取最大值为：（如下图所示平行于直线）；

因为，即，解得或，

当时，观察图像易知此时只有一个交点，即有一个根，

要使关于的方程恰有四个不同的实数根，

则需要与图像有三个不同交点，只需要，即.

故选：D.

二、填空题

13．已知，且，，则x，y的大小关系是______．

【答案】

【分析】首先化简两个数，再比较大小.

【详解】，

，

因为，

所以，即.

故答案为：

14．已知函数在处取得极值10，则a＝______．

【答案】4

【分析】根据函数在处有极值10，可知（1）和（1），可求出.

【详解】由，得，

函数在处取得极值10，

（1），（1），

，

或，

当 时，，在处不存在极值；

当时，

，，，，，符合题意.

故答案为：4.

15．2月23日，以“和合共生”为主题的2021世界移动通信大会在上海召开，工信部负责人在会上表示，在新冠疫情的背景下，中国5G规模商用仍实现了快速发展.为了更好地宣传5G，某移动通信公司安排甲､乙､丙､丁､戊五名工作人员到三个社区开展5G宣传活动，每个社区至少安排一人，甲､乙两人不能安排在同一个社区，且丙､丁两人必须安排在同一个社区，则不同的安排方法总数为___________.（用数字作答）

【答案】30

【分析】分两种情况讨论，利用排列组合知识求解.

【详解】解：①当两个社区各分2人，另一个社区分1人时，总数有种；

②当两个社区各分1人，另一个社区分3人时，总数有种.

故满足条件的安排方法共有种.

故答案为：30

16．已知复数满足，则的最小值为___________；

【答案】

【分析】设，根据，表示点到点的距离为1，由表示点到原点的距离求解.

【详解】设，则，即为，

表示点到点的距离为1，

又表示点到原点的距离，

所以点到原点的距离的最小值为，

故答案为：

三、解答题

17．已知复数．

(1)若z是纯虚数，求；

(2)若，求a，b的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由纯虚数的概念求解

（2）根据复数的运算法则化简

【详解】(1)因为是纯虚数，

所以解得．             

所以，则．

(2)由，得，                  

代入，

得，                           

即．

18．已知函数．

(1)求函数的极值；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)极大值是，极小值是0

(2)最大值为，最小值为0

【分析】（1）先求导，确定单调区间，即可求出极值；

（2）由（1）中极值和端点值比较即可求出最值.

【详解】(1)．

令，得或，

令，得，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是．

所以的极大值是，的极小值是．

(2)因为，

由（1）知，的极大值是，的极小值是，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为0．

19．已知函数.

(1)求函数的图象在点处的切线方程；

(2)若过点的直线l与曲线相切，求直线l的斜率.

【答案】(1)；

(2)或5.

【分析】（1）求出切线的斜率和切点坐标即得解；

（2）设切点的横坐标为m，直线l的斜率为k，解方程组即得解.

【详解】(1)解：因为，所以，

所以，又.

所以所求切线方程为，即.

(2)解：，设切点的横坐标为m，直线l的斜率为k，则

则，整理得，所以，

所以或5.

20．已知数列满足，前n项和．

(1)求，，的值并猜想的表达式；

(2)用数学归纳法证明（1）的猜想．

【答案】(1)，，，；

(2)证明见解析.

【分析】（1）用赋值法即可求解，根据根据，，，猜想可得；

（2）利用数学归纳法的步骤证明即可.

【详解】(1)∵，前n项和，

∴令，得，

∴，

令，得，

∴．

令，得，

∴．

猜想．

(2)用数学归纳法给出证明如下

①当时，结论成立；

②假设当(，)时，结论成立，

即，

则当时，，

，

即，

∴，

∴，

∴当时结论成立．由①②可知，

对一切都有成立．

21．已知函数为一次函数，若函数的图象过点，且．

(1)求函数的表达式；

(2)计算由直线和曲线所围图形的面积S．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）待定系数法设解析式，由微积分基本定理求解

（2）由定积分的几何意义求解

【详解】(1)∵为一次函数，且过点，则可设，

则，

解得，．

(2)根据题意，由（1），

联立，可解得，或，

故所求面积．

22．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值．

【答案】(1)递增区间为，递减区间为

(2)3

【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调区间；

（2）首先参变分离为，设函数，利用导数转化为求函数的最小值，即可求得的最大值.

【详解】(1)函数的定义域为，

由，令可得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

∴函数的递增区间为，递减区间为．

(2)当时，不等式可化为，

设，由已知可得，

又，

令，则，

∴在上为增函数，

又，，

∴存在，使得，即．

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

∴，∴，

∴m的最大值为3．