2021-2022学年江西省赣州市六校联考高二下学期期中数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年江西省赣州市六校联考高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．在用反证法证明命题“三个正数a，b，c满足，则a，b，c中至少有一个不大于2”时，下列假设正确的是（       ）

A．假设a，b，c都大于2 B．假设a，b，c都不大于2

C．假设a，b，c至多有一个不大于2 D．假设a，b，c至少有一个大于2

【答案】A

【分析】否定结论，同时“至少有一个”改为“全部”

【详解】因为“a，b，c至少有一个不大于2”的否定是“a，b，c都大于2”，故选A.

【点睛】本题考查反证法，在反证法中假设命题反面成立时，结论需要否定的同时，“至少”，“至多”，“都”等词语需要改变．

2．设复数z的共轭复数为、复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（       ）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【分析】求出复数z，进而求出复数z的共轭复数为，即可得到答案.

【详解】，则.则的虚部为3.

故选：A.

3．用下列表格中的五对数据求得的经验回归方程为，则实数的值为（       ）

A．8 B．8.2 C．8.4 D．8.5

【答案】A

【分析】利用回归直线经过点，可得解

【详解】依题意，得，，经验回归直线必经过点，所以，解得

故选：A

4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为7，则框图中①处可以填入（       ）

A．？ B．？ C．？ D．？

【答案】C

【分析】根据循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可得答案．

【详解】解：，；，；，；，；，；，；，；此时根据条件应跳出循环，输出，所以填入“？”时符合要求．

故选：C.

5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（       ）

A．且，则

B．且，则

C．，则

D． 则

【答案】B

【分析】根据线面、面面平行的知识和线线、面面垂直的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】解：对于A选项，且，则或异面或相交，故错误；

对于B选项，且，则，故正确；

对于C选项，，则与可以为平行关系，故错误；

对于D选项，根据，面面平行的判定定理得，时，，故错误；

故选：B

6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分，故其体积为 .

本题选择D选项.

7．已知函数的导数为，且，则曲线在点处的切线的斜率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先对函数求导，然后令代入导函数中可求出，从而可得导函数的解析式，再求出即可

【详解】∵，∴，

∴，解得，

∴，

∴.

故选：A.

8．参数方程（为参数，）所表示的曲线是（       ）

A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分

C．抛物线的一部分，且过点 D．抛物线的一部分，且过点

【答案】D

【分析】根据余弦的二倍角公式得，又由得，可得普通方程，再由，可得选项.

【详解】由，得，由得，

∴参数方程可化为普通方程.又，所以当时，，

故选：D.

【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，注意不可改变参数的范围，属于中档题.

9．已知函数，且，，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设，求出后用不等式的性质求得范围．

【详解】设，则

解得，，

由题意可得则

故，即.

故选：D．

【点睛】易错点睛：本题考查不等式的性质，解题关键是把和作为整体，用它们表示出，然后由不等式的性质得出范围，不能由和的范围求出和的范围，再由范围求得的范围．这是易错的地方．

10．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】基本事件总数，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数，由此能求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率．

【详解】某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），

在男生甲被选中的情况下，

基本事件总数，

男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数：

，

男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是．

故选：C.

11．如图，椭圆的左右焦点分别是，点、是上的两点，若，且，则椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】延长交椭圆于点，在和两个直角三角形中结合勾股定理和椭圆的几何性质建立等量关系求解.

【详解】延长交椭圆于点，得，，

设，则，据椭圆的定义有，，在中，，

在中，．

故选：A

【点睛】此题考查根据椭圆中焦点三角形结合几何意义求解离心率，关键在于准确找出其中的几何关系，列方程求解.

12．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意可得，进而可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.

【详解】等价于．

令函数，则，故是增函数．

等价于，即．

令函数，则．

当时，，单调递增：当时，，单调递减．

.

故实数a的取值范围为．

故选：C.

二、填空题

13．把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是              .

【答案】28

【详解】将第n个三角形数记为，依图可知，当时，，所以可以得，累加得，故第七个三角形数为.

14．已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，则圆的圆心到直线的距离为        ．

【答案】

【详解】试题分析：由直线的参数方程为：（为参数），得此直线的一般式方程为：

由圆的极坐标方程为，则圆的标准方程为：

所以，圆的圆心到直线的距离

所以，答案应填： ．

【解析】1、参数方程与极坐标；2、圆的标准方程；3、点到直线的距离公式．

15．已知正实数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为_____________．

【答案】

【分析】由等式x+4y﹣xy＝0，变形得，将代数式x+y与代数式相乘并展开，利用基本不等式可求出x+y的最小值，从而可求出m的取值范围．

【详解】由于x+4y﹣xy＝0，即x+4y＝xy，等式两边同时除以xy得，，

由基本不等式可得，

当且仅当，即当x＝2y=6时，等号成立，

所以，x+y的最小值为9．

因此，m≤9．

故答案为m≤9．

【点睛】本题考查基本不等式及其应用，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力与变形能力，属于中等题．

16．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为________.

【答案】

【分析】画出示意图，利用体积最大时所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积.

【详解】如图所示：

设球心为，所在圆面的圆心为，则平面；因为，，所以是等腰直角三角形，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的体积为：.

【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关计算，难度较难.处理球的有关问题时要充分考虑到球本身的性质，例如：球心与小圆面圆心的连线垂直于小圆面.

三、解答题

17．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分，和三种情况求解即可，

（2）先求出的最小值为3，则问题转化为，从而可求出实数的取值范围

【详解】(1)因为

所以不等式等价于或或

解得

不等式的解集为

(2)由（1）知：当时，；当时，；当时，.

故函数的值域为，即的最小值是3

不等式对一切实数恒成立，

，解得

故实数的取值范围是

18．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)分别求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)已知，直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为Q，求的值．

【答案】(1)；；

(2).

【分析】（1）消除参数，即可求出曲线C的普通方程；

根据，将直线l的极坐标方程转化为普通方程；

（2）由题意，写出直线l的参数方程，再将其代入曲线C的普通方程，利用一元二次方程根与系数的关系式的关系，即可求出结果．

【详解】(1)曲线C的参数方程为（为参数），转换为普通方程为；

直线l的极坐标方程为，

根据，转换为直角坐标方程为．

(2)定点在直线l上，

转换为参数方程为：（t为参数），代入，

得到：，

所以，．

故．

19．如图，在直三棱柱ABC-­A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．

（1）求证：DE∥平面ABC；

（2）求三棱锥E­-BCD的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【详解】试题分析：（1）取的中点，连接和，可以证明四边形是平行四边形，进而，再由直线和平面平行的判定定理可证明平面；（2）证明AD∥平面BCE，利用VE﹣BCD＝VD﹣BCE＝VA﹣BCE＝VE﹣ABC，然后求解几何体的体积．

试题解析：

（1）证明：取BC中点G，连接AG，EG，

因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，

且．

由直棱柱知，AA1∥BB1，AA1＝BB1，而D是AA1的中点，

所以EG∥AD，EG＝AD

所以四边形EGAD是平行四边形，

所以ED∥AG，又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC

所以DE∥平面ABC．   

（2）解：因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，

所以VE﹣BCD＝VD﹣BCE＝VA﹣BCE＝VE﹣ABC，

由（1）知，DE∥平面ABC，

所以．

【解析】1、线面平行的判定定理；2、直线和平面所成角的定义及求法；3、利用等积变换求三棱锥体积．

【方法点睛】

本题主要考查线面平行的判定定理和利用等积变换求三棱锥体积，属于难题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的．

20．据统计，某年“双十一”天猫总成交金额突破1207亿元．某购物网站为优化营销策略，对11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）

女性消费情况：

男性消费情况：

(1)计算x，y的值：在抽出的100名且消费金额在（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；

(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写2×2列联表，并回答能否有99％的把握认为“是否为网购达人与性别有关？”

附：

，其中）

【答案】(1)

(2)列联表见解析；能有99％的把握认为“是否为‘网购达人’”与性别有关．

【分析】（1）根据分层抽样方法求出x，y的值，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率；

（2）列出2×2列联表，计算观测值，对照表中数据，判断结论是否成立即可．

【详解】(1)依题意，女性应抽取80名，男性应抽取20名，

所以，，

．

设抽出的100名且消费金额在（单位：元）的网购者中有三位女性记为A，B，C；

两位男性记为a，b，从5人中任选2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10个．

设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件M，事件M包含的基本事件有：

，，，，，，共6件，

∴．

(2)2×2列联表如表所示：

则，

因为，所以能有99％的把握认为“是否为‘网购达人’”与性别有关．

21．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．

【答案】（1）；(2)．

【详解】分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.

（II）设点P的坐标为，点M的坐标为 ，由题意可得.

易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或.经检验的值为.

详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．

所以，椭圆的方程为．

（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，

点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，

从而，即．

易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．

当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．

所以，的值为．

点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22．已知函数，a为常数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，证明．

【答案】(1)分类讨论，答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定得增区间，得减区间．

（2）分与分别研究函数的单调性，通过单调性求最值即可证明不等式.

【详解】(1)（1），

当时，在R上恒成立；

当时，令，即，解得，

令，即，解得．

综上所述，当时，函数在R上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．

(2)当时，要证，即证，

设，则．

当时，，，故，

则在上单调递减，则．

当时，，

又，，故，

则在上单调递增，则，

则在上单调递增，则．

综上所述，，即．

【关键点点睛】

解决本题的关键一是分类讨论的使用，本题中分与两种情况进行讨论，二是在证明不等式时，其关键是对函数单调性的研究，通过单调性如何求最值是重中之重.