2021-2022学年江西省赣州市第一中学高二下学期中期质量检测（一）数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年江西省赣州市第一中学高二下学期中期质量检测（一）数学（理）试题

一、单选题

1．已知曲线y＝x3上一点P，则该曲线在P点处切线的斜率为（       ）

A．4 B．2 C．－4 D．8

【答案】A

【分析】由导数的定义求出该曲线在P点处切线的斜率.

【详解】

故y′＝x2，y′|x＝2＝22＝4，

结合导数的几何意义知，曲线在P点处切线的斜率为4.

故选：A

2．如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导数与单调性关系确定．

【详解】由导函数图象，知或时，，∴的减区间是，．

故选：C．

【点睛】本题考查导函数与单调性的关系，一般由确定增区间，由确定减区间．

3．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（       ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】C

【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.

【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.

故选：C.

【点晴】

本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.

4．函数在区间上的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值.

【详解】对于函数，.

当时，；当时，.

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

所以，.

故选：C.

【点睛】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．

5．已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解.

【详解】依题意可得，解得，

故的方程是.

故选：A.

【点睛】本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题.

6．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于(       )

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】连接，利用，化简即可得到答案.

【详解】连接，如下图

.

故选：D.

7．下列求导数运算错误的是（       ）

A．(c为常数) B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据求导公式与求导法则即可判断结果．

【详解】C选项，因为，故C错

故选：C

8．已知，，，…，则有（　　）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据前几项找出一般性的规律，即可判断；

【详解】解：由，，可知，

第一项为，第二项为，第三项为，

以此类推第n项为，.

故选：C.

9．下列说法中不正确的是

A．命题：“，若，则”，用反证法证明时应假设x≠1或y≠1．

B．若，则a，b中至少有一个大于1．

C．若成等比数列，则.

D．命题：“，使得”的否定形式是：“，总有”．

【答案】C

【分析】根据反证法的知识判断A,B两个选项说法正确，根据等比数列的知识判断C选项错误.根据特称命题的否定是全称命题的知识判断D选线说法正确.

【详解】对于A选项，反证法假设时，假设“或”，说法正确.对于B选项，假设两个都不大于，即，则与已知矛盾，故假设不成立，原来说法正确.对于C ，假设等比数列公比为，则，所以C选项说法错误.对于D选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知D选项说法正确.综上所述，本小题选C.

【点睛】本小题主要考查反证法的知识，考查等比数列基本量以及项的正负关系，考查全称命题与特称命题互为否定等知识，属于基础题.

10．已知函数的导函数为，且满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导得，从而，即可求出，进而求出即可.

【详解】∵，∴，

令，则，解得，

∴，

∴.

故选：B.

11．设，分别为双曲线C：的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M是的中点，且，，则双曲线的离心率为（       ）

A．5 B． C． D．4

【答案】A

【分析】根据几何关系，可知，再结合双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率.

【详解】点分别是线段和的中点，所以，因为，

所以，

因为，，解得：，，

，即，

解得：.

故选：A

12．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，求出函数的导数，判断函数的单调性，从而求出结果.

【详解】令，则.

，，是减函数，则有，，即

，所以.选.

【点睛】本题考查函数与导数中利用函数单调性比较大小.其中构造函数是解题的难点.一般可通过题设已知条件结合选项进行构造.对考生综合能力要求较高.

二、填空题

13．设空间向量，，若，则 ___．

【答案】

【分析】先利用空间向量共线的坐标表示列方程求出和的值，进而可得的坐标，再由模长公式即可求解.

【详解】因为空间向量，，且，

所以，

即，

可得，解得：，，

所以，，

则，

所以．

故答案为：．

14．函数在处取得极值10，则___________.

【答案】

【分析】由在处取得极值10，求得解得或，再结合函数的极值的概念进行检验，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为在处取得极值10，可得，

解得或，

检验知，当时，可得，

此时函数单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；

当时，可得，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减，

当时，函数取得极小值，符合题意.

所以.

故答案为：.

【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：

1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；

2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；

3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.

15．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

【答案】

【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.

【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，

且，所以四边形为矩形，

设，则，

所以，

，即四边形面积等于.

故答案为：.

16．已知函数在区间上存在最小值，则a的取值范围为_______．

【答案】

【分析】首先先求函数的极值点，若函数在开区间取得最小值，则比较端点值，建立不等式关系，求的取值范围.

【详解】，时，或，

当或时，，当时，，

所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是，

所以函数的极大值点是，极小值点是0，且，

那么当，解得或，

所以函数在区间上存在最小值，

则 ，解得：.

故答案为：.

【点睛】易错点睛：本题考查根据函数的极值点求参数的取值范围，函数在开区间上存在最小值，则必在极小值点处取得最小值，但先求出和极小值相等的自变量的值，比较端点值时不要忽略这个值.

三、解答题

17．已知函数．

（1）求函数在上的最大值和最小值．

（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程．

【答案】（1）的最小值是，的最大值是；（2）或

【分析】（1）利用导数，通过导数的符号判断原函数的单调性，然后根据单调性进行求最值，可得结果.

（2）假设切点，根据曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后利用点斜式求出切线方程，最后代点求值，可得结果.

【详解】（1），

，

令，解得：或，

令，解得：，

故在递增，在递减，

而，，，

的最小值是，的最大值是；

（2），

设切点坐标为，

则切线方程为，

∵切线过点，

∴，

化简得，

∴或．

∴切线的方程：或．

【点睛】本题考查利用导数求函数在区间的最值，以及过某点曲线的切线方程，理解曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.

18．如图所示，在等腰梯形中，，，，将三角形沿折起，使点在平面上的投影落在上.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面的平面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）要证平面平面，只需证明平面即可；

（2）知，，为中点，建立空间坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量求解即可.

试题解析：

（1）证明：在等腰梯形中，可设，可求出，，

在中，，∴，

∵点在平面上的投影落在上，

∴平面，平面平面，∴，

又，，∴平面，

而平面∴平面平面.

（2）解：由（1）知，，为中点，建立如图所示的空间坐标系，设，

结合（1）中的计算可得：，，，，，，

设是平面的法向量，则，取.

，，设是平面的法向量，则，

取.

设二面角的平面角为，则.

19．已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2，A，B是抛物线E上异于O的两点．

（1）求抛物线E的标准方程；

（2）若直线OA，OB的斜率之积为﹣，求证：直线AB恒过定点．

【答案】（1）x2＝4y；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用抛物线的焦点坐标，求出P，然后求抛物线E的方程；

（2）判断直线的斜率存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可.

【详解】（1）由题意得，F（0，），设P（2，y0），，

由点P是E上一点，得4＝2p（2﹣），∴p2﹣4p+4＝0，解得p＝2，

∴抛物线E的方程为x2＝4y；

（2）设A（），B（），

由题意可知，，

得x1x2＝﹣8，可知直线AB的斜率存在．

设AB：y＝kx+m，

联立，得x2﹣4kx﹣4m＝0，

可得x1x2＝﹣4m＝﹣8，即m＝2．

∴直线AB恒过定点（0，2）．

20．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若只有一个零点，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2)或或.

【分析】（1）求出导函数并因式分解，进而讨论a的范围，然后根据导数的符号求出单调区间；

（2）结合（1）中函数的单调性及零点存在定理即可求得答案.

【详解】(1)函数的定义域为，，

①若，，则在单调递减；

②若，时，，单调递减，时，，单调递增.

 综上：时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递减.

(2)若，，.

结合函数的单调性可知，有唯一零点.

若，因为函数在上单调递减，在上单调递减，所以要使得函数有唯一零点，只需，解得或.

综上：或或.

【点睛】第（2）问较难，我们一定要注意，导数中的零点问题往往与函数的单调性和零点存在定理联系紧密.

21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线为椭圆的右准线，过左焦点的直线交椭圆于、，为上一点，且，当取得最小值时，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，求出、的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的标准方程联立，列出韦达定理，求出，设线段的中点为，分、两种情况讨论，求出，可得出，求出的最小值及其对应的值，即可得出直线的方程.

【详解】(1)解：因为椭圆的离心率，且过点，

所以，解得，

因此，椭圆的标准方程为.

(2)解：椭圆的右准线方程为，若直线与轴重合，此时，不合题意.

设直线的方程为，设点、，

联立，得，，

由韦达定理可得，，

所以，

设线段的中点为，，，

因为，所以点在线段的垂直平分线上，

当，则，，

所以

，

当且仅当时，取等号；

当时，直线的方程为，点的坐标为，

所以的垂直平分线的方程为，所以，

把代入椭圆的方程得，.

综上所述，取得最小值时，直线的方程为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

22．已知函数是自然对数的底）.

(1)求的单调区间；

(2)若，求证：.

【答案】(1)f（x）的单调增区间是(0，+∞），单调减区间是（-∞，0）；

(2)证明见解析.

【分析】（1）先求出导函数，进而求出单调区间即可；

（2）结合（1）不妨设，然后构造函数并判断其单调性，进而结合函数的单调性证明问题.

【详解】(1)因为，所以时，，单调递增；时，，单调递减.

所以f（x）的单调增区间是(0，+∞），单调减区间是（-∞，0）.

(2)因为，结合（1）中函数的单调性，不妨设，则，令，，所以是R上的减函数.

所以，，因为在上单调递增，所以.