2021-2022学年江苏省扬州市高邮市高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省扬州市高邮市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用条件概率的计算公式可求．

【详解】由题意可知．

故选：A．

2．函数的单调递增区间（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求导，令求解.

【详解】解：因为，

所以，

令，解得，

所以函数的单调递增区间是，

故选：C

3．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（            ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.

【详解】，

，

故选：B

4．已知随机变量X服从正态分布，且，则（       ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

【答案】C

【分析】由正态分布的对称性求解．

【详解】．

故选：C．

5．给出以下命题，其中正确的是（       ）

A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行

B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则

C．平面､的法向量分别为，，则

D．已知直线过点，且方向向量为 ，则点到的距离为

【答案】D

【分析】对于A，利用两向量的共线定理即可判断；对于B，判断方向向量与法向量是否垂直即可；

对于C，判断两平面的法向量是否垂直即可；对于D，首先写出直线的标准方程，将点到直线的距离转化到两点间的距离进行求解即可.

【详解】对于A，，

与不平行.

对于B，，

与不平行；

对于C，，

与不垂直；

对于D，直线过点，且方向向量为

直线的标准方程为

过点作与已知直线垂直相交的平面，

且设直线与平面的交点为，则到直线的距离可转化为到的距离；

方向向量为平面的方程为：

即：

设垂足，点在平面上，则

解得：

故选：D.

6．已知随机变量X的分布列为

设，则等于（       ）A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可.

【详解】由X的分布列得，

，

因为，

则，

故选：C

7．如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、、是道路网中的个指定交汇处. 今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达､处为止. 则下列说法正确的是（       ）

A．甲从到达处的方法有种

B．甲从必须经过到达处的方法有种

C．甲、乙两人在处相遇的概率为

D．甲、乙两人在道路网中个指定交汇处相遇的概率为

【答案】D

【分析】根据组合数原理可判断A；根据分步乘法计数原理和组合数原理可判断B；根据分步乘法计数原理、组合数原理和古典概型概率公式可判断C、D.

【详解】对于A，甲从M到N的最短路程，只能向上或者向右走，需要走6步，2步向上，4步向右，共有C种，故A错；对于B，第一步，甲从M到，有C种走法，第二步，从到N，有C种走法，所以共有种走法，故B错；对于C，由B可知甲、乙经过的走法都有9种，所以在处相遇共有种走法，而甲、乙两人的总走法有种，所以两人在处相遇的概率为，故C错；对于D，因为甲、乙两人只能在处相遇，由C可知D对.

故选：D.

8．蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】观察可知，，且，结合杨辉三角，即可求解.

【详解】由题可知，，且，

可推得，，

所以，即，

所以可能取到0，1，2，7，8，9，

所以解集为，

故选：B

二、多选题

9．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（       ）

A．取出的白球个数X服从二项分布

B．取出的黑球个数Y服从超几何分布

C．取出个白球的概率为

D．若取出一个黑球记分，取出一个白球记分，则总得分最大的概率为

【答案】BC

【分析】根据给定条件，结合二项分布、超几何分布的意义判断A，B；求出概率值判断C，D作答.

【详解】从10个球中任取3个球，可视为不放回取球3次，每次取到白球的概率不同，各次试验结果不独立，取出的白球个数X不服从二项分布，A不正确；

从10个球中任取3个球，取出的黑球个数Y的分布列，取出的黑球个数Y服从超几何分布，B正确；

从10个球中任取3个球，取出个白球的概率，C正确；

依题意，取出3球总得分最大是6分，即取出3个黑球的事件，其概率为：，D不正确.

故选：BC

10．关于的二项展开式中，下列说法正确的是（       ）

A．二项式系数和为

B．各项系数和为

C．二项式系数最大的项为第项

D．的系数为

【答案】ABD

【分析】根据二项式系数的性质及二项式展开式的通项公式去判断每个选项是否正确.

【详解】对于A，此二项展开式的和为，故A对；

对于B，令得各项系数和，故B对；

对于C，二项式系数中，最大的是，是第五项，故C错；

对于D，，故D对.

故选：ABD.

11．为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，则下列说法正确的是（       ）

A．不同的安排方法共有种

B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有种

C．若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有种

D．若该红十字会又计划为这三地捐赠16辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有种

【答案】BC

【分析】根据分类，分步计数原理和排列组合，逐个分析判断即可

【详解】对于A，安排甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，每个人都 有3种安排方式，则不同的安排方法共有（种），所以A错误，

对于B，若恰有一地无人去，则需先从三地中选出两地，再将5人安排到这两个地方，所以不同的安排方法有（种），所以B正确，

对于C，根据题意先将5人分成3组，分两种情况：

若甲、乙在同一组，则剩下3人中有1人和甲、乙在同一组，剩下2各一组，或剩下3人中2人一组，剩余的1人一组，则有种分法，而甲､乙两人都不能去A地，所以安排甲､乙两人所在的组去或，有2种方法，剩余的2组安排到剩余的2地，有种方法，所以此时不同的安排方法有种，

若甲、乙不在同一组，而5人分3组有种方法，所以甲、乙不在同一组，且将5人分成3组的方法有种，因为甲､乙两人都不能去A地，所以先安排没有甲､乙的一组去A地，甲､乙所在的两组安排去，两地，有种，此时不同的安排方法有种，所以不同的安排方法有种，所以C正确，

对于D，只需将16辆救护车排成一排，在形成的15个空隙中插入2个挡板，将16辆救护车分成3组，依次对应，，三地即可，此时不同的安排方法有种，所以D错误，

故选：BC

12．如图，底面为边长是的正方形，半圆面底面．点为半圆弧上 （不含，点）的一动点．下列说法正确的是（       ）

A．的数量积不恒为

B．三棱锥体积的最大值为

C．不存在点，使得

D．点到平面的距离取值范围为

【答案】BCD

【分析】由面面垂直的性质结合平面向量的运算判断A，由棱锥的体积公式结合的范围判断B，由数量积公式计算和判断C，由等体积法得出点到平面的距离取值范围.

【详解】因为半圆面底面，，由面面垂直的性质可知，平面，.

对于A，，故A错误；

对于B，设点到平面的距离为，则，当点为中点时，取等号，故B正确；

对于C，，即不存在点，使得，故C正确；

对于D，因为，所以，所以

因为，所以，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，则，因为，所以，设，则，因为，所以，故D正确；

故选：BCD

【点睛】关键点睛：在处理D选项时，关键是利用等体积法得出，再结合的范围得出点到平面的距离的范围.

三、填空题

13．由数字1，2，3，4，5可以组成_____个没有重复数字的五位奇数．

【答案】

【分析】根据特殊位置法，先从1，3，5中任选一个数字作为个位数，再将其余4个数字排到十位，百位，千位，万位上，最后结合分步乘法原理求解即可.

【详解】解：根据题意，先排个位数，从1，3，5中任选一个数字作为个位数，有种，

再将剩余的四个数字排到十位，百位，千位，万位上，有种，

综上，由分步乘法原理，共有个没有重复的五位奇数.

故答案为：

14．已知，若，则______.

【答案】

【分析】由条件等式取可求，再结合二项式展开式通项公式求.

【详解】由，

取可得，又，

∴ ，

∵，

的展开式的通项公式为，

∴ ，

故答案为：-5.

15．某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传，又传的传染现象，那么，， 就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为，，．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有名第一代传播者，名第二代传播者，名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的个人中的一个有所接触，则被感染的概率为______．

【答案】0.81

【分析】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，则，，，，，，根据全概率公式计算可得答案.

【详解】设事件“小明与第一代传播者接触”，

事件“小明与第二代传播者接触”，

事件“小明与第三代传播者接触”，

事件“小明被感染”，

则，，，

，，，

所以，

所以所求概率为0.81．

故答案为：0.81.

16．若，则的最小值为_________.

【答案】

【分析】将问题转化为两函数图象上点的距离的最值问题，再由导数的几何意义可求解.

【详解】由得，，，

分别对两个函数求导得，，

则可画出，的图象.

当取最小值时，即为两个图象最小距离的平方，

此时两个函数的斜率相同，即，得，，

即点到直线的最小距离，

所以的最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．有四名男生，三名女生排队照相.

(1)若七个人排成一排，且三名女生必须连排在一起，那么有多少种不同排法数？

(2)若七个人排成一排，且女生不能站在两端，那么有多少种不同排法数？

(3)若七个人排成两排，前排站女生，后排站男生.那么有多少种不同的排法数？

（上述排法数结果，用数字表达）

【答案】(1)种

(2)种

(3)种

【分析】（1）视三名女生为一整体，后与四名男生共同排序，结合分步乘法计数原理可得结果；

（2）由男生站队伍两端，后剩余两名男生与三名女生共同排序，结合分步乘法计数原理可得结果；

（3）利用分步乘法计数原理可得结果.

【详解】(1)解：由捆绑法知，视三名女生为一整体，后与四名男生共同排序，

所以，不同的排法种数为.

(2)解：由特殊元素、特殊位置知，由男生站队伍两端，后剩余两名男生与三名女生共同排序.

所以，不同的排法种数为种.

(3)解：第一步，先排女生，有种不同的排法，

第二步，排男生，有种不同的排法，

由乘法原理知，不同的排法种数为.

18．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，．

(1)求证：CE⊥PD；

(2)若PA＝，AB＝，AD＝，且，求平面ABP与平面PCE所成锐二面角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据线面垂直的性质与判定定理可得BA⊥平面PAD，再利用线面垂直的性质即可证明；

(2)根据题意建立如图空间直接坐标系，利用空间向量法求出平面PCE的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求出二面角.

【详解】(1)∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，

∴．

∵，AD、平面PAD且，

∴BA⊥平面PAD．∵，∴CE⊥平面PAD．

又平面PAD，∴；

(2)∵，

又，，

∴，．

以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，连结PE．

A（0,0,0），B（2,0,0），E（0,1,0），P（0,0,1），C（2,1,0），

则，，

由题意知平面PAB的一个法向量为，

设平面PCE的法向量为，由，，

得，取，则．

设所求二面角为，，

则，所以.

19．在①采用无放回抽取；②采用有放回抽取. 两个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：一个盒子中有个大小、质地相同，颜色不同的小球，其中个黑球，个白球．若      ，从这个球中随机抽取个．求取出的个球中黑球的个数的分布列和期望.

【答案】条件选择见解析，分布列见解析，

【分析】选①，确定随机变量的可能取值，求出在每个取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；

选②，分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布可得出的值.

【详解】若选①，由题意知所有可能的取值为、、、，

，，

，，

的分布列为：

期望为；

若选②，由题意知所有可能的取值为、、、，，且，

，，

，，

的分布列为：

期望.

20．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且当时，有极值．

(1)求的解析式；

(2)求在上的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)最大值为10，最小值为

【分析】（1）由题意可得解方程组求出的值，然后再检验即可，

（2）先对函数求导，然后令，得，，再通过列，的值随的变化情况表可求得函数的最值

【详解】(1)由题意可得，．

由解得，此时

由上表可知：在时，有极大值．

所以．

(2)由（1）知，．令，得，，

，的值随的变化情况如下表：

由表可知在上的最大值为10，最小值为．

21．加强核酸检测工作，既有利于巩固防控成果、维护群众健康，又有助于人员合理流动、推动全面复工复产复学，是“外防输入、内防反弹”的重要措施. 某地要求对重点人群实行“应检尽检”原则，该原则指的是根据疫情传播风险研判，对应该进行核酸检测的人员，要保证必须全部检测. 该地根据“应检尽检”原则，对某大型社区开展了每日核酸检测. 因工作需要，社区工作人员对该社区被进行核酸检测群众的年龄构成情况进行了解. 随机抽取了名群众，将他们的年龄分成段：、、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这名群众中年龄大于岁的人数；

(2)①若从样本中年龄在岁以上的群众中任取名，赠送“红星”洗化店的洗化用品. 求这名群众至少有人年龄不低于岁的概率；

②该“红星”洗化店采用抽奖方式来提升购物人数，将某特定产品售价提高元，且允许购买此特定产品的群众抽奖次. 规定中奖次、次、次分别奖现金元、元、元. 设群众每次中奖的概率均为. 若要使抽奖方案对“红星”洗化店有利，则奖金最高可定为多少元？（结果精确到个位）

【答案】(1)人

(2)①；②奖金最高可定为元

【分析】（1）利用频率分布直方图可计算出这名群众中年龄大于岁的人数；

（2）①分析可知岁以上的群众共有名，年龄不低于岁的群众有名，利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

②设群众三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，分析可知随机变量的所有可能取得值为：、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，求出的值，根据题意得出，解出的取值范围，即可得出结论.

【详解】(1)解：由频率分布直方图年龄在岁以上的群众共有名.

(2)解：①由频率分布直方图知，岁以上的群众共有名，

年龄不低于岁的群众有名，

记事件为“这名群众至少有人年龄不低于岁”，则.

②设群众三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能取得值为：、、、.

由题意得，   ，

，，

故群众在三次抽奖中获得的奖金总额的期望值为：

，

由题意得，即，而，

所以最高定价为元时，才能使得抽奖方案对商家有利.

22．已知梯形和矩形. 在平面图形中，，. 现将矩形沿进行如图所示的翻折.

(1)当二面角的大小为时.求的长；

(2)设是中点.

①当二面角的大小为时，若，且点在平面内，求实数的值；

②求在翻折的过程中，直线与平面所成最大角的正弦值

【答案】(1)

(2)①；②

【分析】(1)根据二面角的定义可知为所求二面角，利用空间向量的数量积的定义计算即可；

(2)①建立如图坐标系，设，利用空间向量的坐标运算和基本定理即可求出；

②当、时，易求直线与平面所成角的正弦值；当且时，利用空间向量法求出直线的方向向量和平面的法向量，结合数量积的定义求出线面角的正弦值关于的表达式，利用基本不等式计算即可.

【详解】(1)∵，∴，

即，且，

∴为二面角的平面角，

由题意得，∵，

∴

 ，

∴；

(2)①由题意得，，

以为原点，、、所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，

D（0,0,0），A（1,0,0），E（0,0,1），C（0,2,0），B（1,1,0），M，

设点，∴,

由，得，得

∵点在平面内，

∴，其中R，

∴，解得；

②设直线与平面所成角为，

设点，则，

当时，直线与平面所成角的正弦值为；

当时，直线与平面所成角的正弦值为；

当且时，

由题意得A（1,0,0），故，

∵C（0,2,0），∴，

即直线的方向向量，

设平面的法向量为，

，，由，，

得，取，则．

则，

令，则且，

则，

当且仅当即时，等号成立，

故，

∵，∴.