2021-2022学年江苏省扬州市江都区、仪征市高二上学期12月联考数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省扬州市江都区、仪征市高二上学期12月联考数学试题

一、单选题

1．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【解析】利用等差中项与等比中项的性质求出，从而可得答案.

【详解】因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数，

所以，

所以的值为，

故选：D.

2．已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.

【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.

故选：B.

3．设，直线与直线平行，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两直线平行解方程即可.

【详解】由，，

又两直线平行可得，即，

当时，，，两直线平行成立；

当时，，，两直线重合，错误；

故选：C.

4．已知点是抛物线的焦点，为坐标原点，若以为圆心，为半径的圆与直线相切，则抛物线的准线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由点到直线的距离等于半径求得参数后可得准线方程．

【详解】由题意，所以，因为，故解得，

所以准线方程为．

故选：A．

5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和

A．138 B．135 C．95 D．23

【答案】C

【详解】试题分析：∵，∴，∴，

∴．

【解析】等差数列的通项公式和前n项和公式．

6．古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）

A．6天 B．7天 C．8天 D．9天

【答案】C

【分析】由等比数列前项和公式求出这女子第一天织布尺，由此利用等比数列前项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天．

【详解】解：设该女子第一天织布尺，

则，

解得，

前天织布的尺数为：，

由，得，

解得的最小值为8．

故选：．

【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．

7．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．

【解析】等差数列与等比数列的性质．

8．设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S40＝（       ）

A．620 B．630 C．640 D．650

【答案】A

【分析】当n为奇数时，an+2﹣an＝3，可得数列{an}的奇数项构成等差数列，当n为偶数时，从而分奇偶项分别求和即可得出答案.

【详解】当n为奇数时，an+2﹣an＝3，

故数列{an}的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列；

所以，

当n为偶数时，a2+a4＝3，a6+a8＝3，.......a38+a40＝3，

所以：a2+a4+a6+a8+...+a38+a40＝10×3＝30；

所以S40＝（a1+a3+a5+...+a39）+（a2+a4+a6+...+a40）＝590+30＝620.

故选：A.

二、多选题

9．已知椭圆的焦距为4，则能使椭圆的方程为的是（     ）

A．离心率为 B．椭圆过点 C． D．长轴长为3

【答案】ABC

【分析】根据椭圆的性质逐项计算可得.

【详解】因为椭圆的焦距为4，所以，

若离心率，则，，椭圆的方程为，故A正确；

若椭圆过点，则，所以，

椭圆的方程为，故B正确；

若，解得，椭圆的方程为，故C正确；

若椭圆长轴长为，则，故D错误，

故选：ABC.

10．已知函数，下列说法正确的是（       ）

A．叫作函数值的增量

B．叫作函数在上的平均变化率

C．在处的导数记为

D．在处的导数记为

【答案】ABD

【分析】由函数值的增量的意义判断A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD.

【详解】A中，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；

B中，称为函数在到之间的平均变化率，B正确；

由导数的定义知函数在处的导数记为，故C错误，D正确.

故选：ABD

11．已知数列满足，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（       ）

A．的值为2

B．数列的通项公式为

C．数列为递减数列

D．

【答案】ACD

【分析】对于A，令直接求解，对于B，当时，，然后与已知的式子相减可求出，对于C，利用进行判断，对于D，利用错位相减法求解即可

【详解】当时，，∴，∴A正确；

当时，，

∴，

∴，∵上式对也成立，∴（），∴B错误；

∵，

∴数列为递减数列，∴C正确；

∵，∴，两式相减得，

∴，

∴．∴D正确．

故选：ACD．

12．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2019a2020＞1，＜0，下列结论正确的是（       ）

A．S2019＜S2020

B．a2019a2021﹣1＜0

C．T2020是数列{Tn}中的最大值

D．数列{Tn}无最大值

【答案】AB

【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，分析可得q＞0，可得数列{an}各项均为正值，又由＜0可得或，由等比数列的性质分析可得q的范围，据此分析4个选项，综合即可得答案.

【详解】根据题意，等比数列{an}的公比为q，若a2019a2020＞1，则（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，

又由a1＞1，必有q＞0，则数列{an}各项均为正值，

又由＜0，即（a2019﹣1）（a2020﹣1）＜0，则有或，

又由a1＞1，必有0＜q＜1，则有，

对于A，有S2020﹣S2019＝a2020＞0，即S2019＜S2020，则A正确；

对于B，有a2020＜1，则a2019a2021＝（a2020）2＜1，则B正确；

对于C，，则T2019是数列{Tn}中的最大值，C错误，同理D错误；

故选：AB

三、填空题

13．直线是曲线的一条切线，则实数___________．

【答案】

【详解】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以．

14．设双曲线()的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________.

【答案】2

【分析】由渐近线的倾斜角，求出斜率，再求出，即可求出离心率.

【详解】双曲线()的一条渐近线的倾斜角为30°,

所以.

故答案为:2

【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，注意双曲线焦点的位置，属于基本题.

15．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________

【答案】

【详解】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.

利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.

【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.

16．如图，所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第行第个数（从左往右数）为______

【答案】

【分析】根据“莱布尼兹调和三角形”的数字特征可得其与杨辉三角形的关系，通过求解杨辉三角形第行第个数字可求得结果.

【详解】将杨辉三角形中的每一个数都换成分数即可得到“莱布尼兹调和三角形”，

杨辉三角形中，第行第个数字为：，

“莱布尼兹调和三角形”第行第个数字为：.

故答案为：

四、解答题

17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)设等差数列的公差为d，根据题意列出关于和d的方程组求解即可；

(2)证明是等比数列，根据等比数列前n项和公式即可求解.

【详解】(1)设等差数列的公差为，

，成等比数列，

，解得

；

(2)由(1)得，，

，，

是首项为4，公比为4的等比数列，

.

18．如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，．

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知的面积为，求a，b的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）直接利用，求椭圆的离心率；

（2）设，则，利用余弦定理以及已知的面积为，直接求， 的值．

【详解】解：（1）

；

（2）设；则，在中，                            ，

面积

．

【点睛】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．

19．已知数列满足：，且，其中；

(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解；

（2）由（1）知：，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】(1)解：由题意，数列满足：，且，

可得，且，

所以是首项、公比均为2的等比数列，所以，即.

(2)解：由（1）知：，

则

.

20．已知双曲线渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（Ⅱ）由条件可得，可设出直线的方程，代入双曲线方程求得点的坐标可求得．

【详解】（Ⅰ）∵双曲线的渐近线方程为，

∴设双曲线方程为，

∵点在双曲线上．

∴，

∴．

∴双曲线方程为，即．

（Ⅱ）由题意知．

设直线方程为，

由 ，解得，

∴．

由直线方程为.以代替上式中的，可得

．

∴．

21．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，等比数列{bn}的公比为q(q>1)，且b3＋b4＋b5＝28，b4＋2是b3和b5的等差中项．

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）令cn＝bn＋，{cn}的前n项和记为Tn，若2Tn≥m对一切n∈N成立，求实数m的最大值．

【答案】（1）an＝2n(n∈N)，bn＝2n－1，n∈N；（2）.

【分析】（1）根据与的关系即可求得数列的通项，根据已知条件求出等比数列{bn}的首项和公比，即可求得数列的通项；

（2）求出数列{cn}的通项，再利用分组求和及裂项相消求和法求出Tn，从而可求得Tn的最小值，从而可得答案.

【详解】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2.

当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n，a1＝2也符合上式，

∴an＝2n(n∈N)．

又b3＋b4＋b5＝28，2(b4＋2)＝b3＋b5，

得b4＝8，q＝2或q＝.

∵q>1，∴q＝2，

∴bn＝2n－1，N.

（2）∵cn＝bn＋＝2n－1＋＝2n－1＋，

∴Tn＝＋

＝2n－1＋

＝2n－，

易知Tn随着n的增大而增大，∴2Tn≥2T1＝，

故m的最大值为.

22．已知等比数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列及数列的前项和.

（3）设，求的前项和.

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】(1)由及可得q的值，由可得的值，可得数列的通项公式；

（2）由（1）可得，由可得，可得=，由列项相消法可得的值；

（3）可得，可得的值.

【详解】解：（1）由题意得：，可得，，

由，可得，由，可得，可得，

可得;

(2)由，可得，

由，可得，可得，

可得的通项公式：=，

可得：

①       -②得：=，

可得;

(3)由 可得

，

可得：=

==

【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质及数列的求和，综合性大，难度中等.