2021-2022学年河北省石家庄市第二中学高二下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年河北省石家庄市第二中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先求得集合A、B，再根据交集的运算法则求解即可.

【详解】由得，得集合，

由得，得集合，

所以，

故选：A.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关集合的问题，解题方法如下：

（1）解一元二次不等式求解集合A；

（2）根据对数式真数大于零求得集合B；

（3）利用集合交集定义求得.

2．己知为数列的前n项和，，那么（       ）

A．－4 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，利用数列的通项和前n项和的关系，求得数列的通项求解.

【详解】因为，

当时，，

当时，由

得，

两式相减得，

即，又，

所以是等比数列，

，则，

故选：C

3．已知函数，若，则（       ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】求出函数的导数，直接代入即可求值.

【详解】因为，所以，

所以，所以.

故选：D.

4．已知等差数列的前n项和为，且，数列为等比数列，且，则（       ）

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】A

【分析】由等差数列的性质及前n项和公式可得，再由等比数列的性质可得，即可得解.

【详解】解：因为数列为等差数列，

所以，所以，

所以，

又数列为等比数列，所以.

故选：A.

5．若函数的极大值等于9，则实数m等于（       ）

A．5 B．9 C．－5 D．9

【答案】A

【分析】由导数得出极大值，进而得出实数m.

【详解】，当时，，当或时，

即函数在和上单调递减，在上单调递增，即函数在处取得极大值，即，

故选：A

6．若数列满足（p为常数，），则称为“等方比数列”，则“数列是等方比数列”是“数列是等比数列”的（       ）条件

A．非充分非必要 B．充要 C．充分非必要 D．必要非充分

【答案】D

【分析】利用等比数列的性质以及正负进行判断即可.

【详解】若为等比数列，则成等比数列，即是等方比数列，故必要性满足；

若是等方比数列，即成等比数列，则不一定为等比数列，例如，充分性不满足.

故选：D

7．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.

【详解】由，得，可得（）.

相减得，则（），又

由，，得，所以，所以为常

数列，所以，故.

故选：C

【点睛】本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.

8．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C．且a≠1 D．

【答案】C

【分析】函数有两个零点,等价于有两个根，进而变形为有两个交点，利用导数研究函数的单调性极值最值，画出图像即可得出.

【详解】有两个零点，故有两个根，进一步得恰好有两个解.

设则

当时，，当时，，故在上是增函数，在上是减函数，且，作出与的图像

当时，，，在处的切线方程为，当或时，的图像与的图像恰好有2个交点，故且a≠1，

故选：C.

二、多选题

9．下列说法正确的有（       ）

A．设，，若，则实数a的取值范围是

B．“，”是“”成立的充分条件

C．命题p：，，则：，

D．“”是“函数是R上的单调增函数”的必要不充分条件

【答案】BD

【分析】分与两种情况讨论，求出参数的范围，即可判断A，根据不等式的性质及充分条件的定义判断B，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断C，求出函数的导数，由恒成立求出的取值范围，再根据集合的包含关系判断D即可；

【详解】解：对于A：当，即，解得时满足，

当，因为，所以，解得，综上可得，故A错误；

对于B：由，则，故“，”是“”成立的充分条件，即B正确；

对于C：命题p：，，则：，，故C错误；

对于D：因为，所以，若在上单调递增，

则恒成立，所以，解得，因为，

所以“”是“函数是R上的单调增函数”的必要不充分条件，故D正确；

故选：BD

10．设数列前项和，且，，则（        ）

A．数列是等差数列 B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，可判断AB选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C选项的正误；利用裂项求和法可判断D选项的正误.

【详解】对任意的，.

当时，，可得；

当时，由可得，

上述两式作差得，可得，

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，A选项错误，B选项正确；

，所以，，C选项正确；

，，

所以，，

D选项正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.

11．函数，则下列说法正确的是（       ）

A．在处的切线方程为

B．为函数的极小值点

C．不等式恒成立

D．方程（且）有两个不等的实数解的a的取值范围是

【答案】AC

【分析】对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，利用导数求出函数的极值点判断，对于C，令，然后画出的图象，根据图象判断即可，对于D，令，然后利用导数求出当直线与曲线相切时的值，再根据指数函数的性质可求出a的取值范围

【详解】对于A，由，得，则，所以在处的切线方程为，所以A正确，

对于B，由，得，当时，，当时，，所以为函数的极大值点，所以B错误，

对于C，令，则在上为增函数，所以，由选项B，可知在上递增，在上递减，所以，当时，，当时，，画出两函数图象如图所示，

由图可知，所以不等式恒成立，所以C正确，

对于D，令，由题意可得两函数图象有两个交点，则，设直线与曲线相切于点，由得，则，因为，所以解得，所以，两边取自然对数得，，所以，所以 得，所以当时，直线与曲线相切，所以由指数函数的性质可知当时，直线与曲线有两个公共点，所以D错误，

故选：AC

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的极值，考查导数几何意义的应用，对于选项D，解题的关键是求出直线与曲线相切时的值，再根据指数函数的性质可求出的范围，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题

12．已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则（       ）

A．为单调递增的等差数列 B．

C．为单调递增的等比数列 D．使得成立的的最大值为6

【答案】BCD

【解析】令，利用可得，，B正确；由可得A错误；由可得C正确；由，，可推出，可得D正确.

【详解】令，则，

，，

因为是等比数列，所以，即，，，B正确；

，是公差为的递减等差数列，A错误；

，是首项为，公比为的递增等比数列，C正确；

，，，

时，，时，，时，，，时，，又，，所以使得成立的的最大值为6，D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.

三、填空题

13．已知命题p：，命题q：，若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】由题意可得：命题p：，命题q： ，若命题p是命题q的充分不必要条件，则命题p所表示得集合是命题q所表示集合的真子集．

【详解】∵则，

则，

若命题p是命题q的充分不必要条件，则可得：(等号不能同时成立)，可得：．

故答案为：．

14．若“”为假命题，则实数a的取值范围为___________.

【答案】

【分析】先得到原命题的否定为真命题，再根据不等式恒成立即可求解.

【详解】因为“”为假命题，

所以恒成立，

即在恒成立，

所以且，

又因为在上是增函数，

所以，

所以.

故答案为：.

15．已知数列满足：，且，，则此数列的前20项的和为______．

【答案】1133

【分析】根据递推关系，可以得到奇数项和偶数项分别成等差和等比数列，进而分组求和即可.

【详解】当时，由可知，的奇数项成等差数列，且公差为2，首项为；当时，可知的偶数项成等比数列，且公比为2，首项为，

故前20项和为.

故答案为:1133

16．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】由函数的解析式，得出，令，

利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.

【详解】因为，所以不妨设．

当时，，当时，，

根据，可知，所以，

所以，故，

所以．

记，则，

当时，，所以在上单调递减，

当时，，所以在上单调递增，

所以，

又当时，，所以的值域是．

所以的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】方法总结：解答此类问题，首项根据分段函数的解析式明确自变量的取值范围，找到、的关系．进而构造函数，利用导数解决函数的值域，从而得到取值范围．

四、解答题

17．设命题p：实数x满足；命题q：实数x满足，其中．

(1)若a＝2，且命题p，q均为真命题，求实数x的取值范围；

(2)若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值集合．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由一元二次不等式的解法结合命题p，q均为真命题得出实数x的取值范围；

（2）根据q是p的必要不充分条件结合包含关系得出实数a的取值集合．

【详解】(1)对于p：等价于，解得：，

对于q：由，得：，

又，所以，当a＝2时，．

因为命题p，q均为真命题，所以实数x的取值范围是

(2)由（1）知：p：；q：

因为q是p的必要不充分条件，所以是的真子集，则，解得．

所以a的取值集合为

18．在等比数列中，已知，且是与的等差中项．

(1)求的通项公式

(2)记的前项和为若，求．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）设公比为q，由是与的等差中项，解得q，从而求出通项公式.

（2）求出等比数列的前n项和的通项公式，根据，从而求得满足要求的m.

【详解】(1)解：设公比为．

因为是与的等差中项，

所以，

所以，

解得，从而.

当时，；

当时，．

所以的通项公式为或.

(2)当，时，，

由，得

当，时，，

由，化简得，无解．

综上，．

19．已知函数，.

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若函数的图象在点处的切线平行于轴，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由单调性可知，即在上恒成立，采用分离变量法可求得的取值范围；

（2）由切线斜率可求得，将所证不等式转化为证明，令，利用导数可求得单调性，得到，根据化简得到，由此可证得结论.

【详解】（1）由题意得：函数的定义域为，，

在上单调递增，在上恒成立，

即在上恒成立，

当时，，，即实数的取值范围为；

（2）函数的图象在点处的切线平行于轴，，

即，解得：，；

要证，即证，即证；

令，，

，在上单调递增，

，，

，使得，即，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，又，即，

，，即；

综上所述：.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数在区间内的单调性求解参数范围、不等式的证明问题；证明不等式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，通过构造函数的方式求得函数的最值，从而证得结论.

20．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料：

（1）直接写出初等函数极值点

（2）求初等函数极值.

【答案】（1））极小值点为，无极大值点；（2）极大值且为，无极小值.

【分析】（1）， ，由此求得求得极值点.

（2）利用复合函数求导研究的单调性，由此求得的极值.

【详解】（1）极小值点为，无极大值点.

（2），

所以，

令得，当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

所以有极大值且为，无极小值.

21．设正项数列的前n项和为，且，当时，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先由题中条件，得到，推出数列是等差数列，得出，进而可求出数列的通项公式；

（2）先由（1）的结果，结合（2）中条件，得到，利用等比数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】（1）当时，，则，

因为为正项数列的前n项和，且，所以，，

因此，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，

所以，则有，

当时，，

又也适合，

故数列的通项公式为；

（2）当时，得，所以；

当时，由①，

得②，

①②得，则有，

可得数列的通项公式为

所以当时，；

当时，，

当时，(符合上式)，故.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于利用题中条件，确定是等差数列，求出，利用与之间关系，即可求解.（求解时，要注意的范围）.

22．已知函数．

(1)判断的单调性，并说明理由；

(2)若数列满足，，求证：对任意，．

【答案】(1)在上单调递增；理由见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知，对函数进行求导，化简，再次对分子求导，根据导数与单调性的关系，可得答案,

（2）先将化为,利用导数及单调性分别证明不等式左边右边，即可得正.

【详解】(1)

令，

在上递增，，，

在上单调递增.

(2)由

要证，只需证

即证：，，，

先证左边：

令证，即证

令，，在上递增，，得证．

再证右边：，即证，

令，

在上递减，，也得证．

综上：对，，．