2022年山东省济南市商河县中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省济南市商河县中考数学一模试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 下列各数中，比小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的物体，从正面看到的平面图形是

A.
B.
C.
D.
 

3. 目前，商河县西部新城长青河绿轴带绿化工程正在进行，整个工程预计栽种绿植株．用科学记数法可表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么为

A.
B.
C.
D.

5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

6. 小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：、、、、、、、，这组数据的众数和极差分别为

A.    B.    C.    D.  

7. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

8. 如图，菱形中，对角线、交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于

A.  B.  C.  D.

9. 已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知▱的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交边于点，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

11. 如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为，量得测角仪的高为米，、、，、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．则旗杆的高度约为参考数据：，，，

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

12. 在平面直角坐标系中，已知，点和点其中在抛物线上，若点，，也在该抛物线上，则，，的大小关系是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

13. 分解因式：______．
14. 从、、中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是的倍数的概率是______
15. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
16. 如图，将边长为的正六边形铁丝框变形为以点为圆心，为半径的扇形忽略铁丝的粗细则所得扇形阴影部分的面积为______．

17. 一次越野跑中，当小明跑了米时，小刚跑了米，小明、小刚在此后所跑的路程米与时间秒之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为______米．

18. 如图，在矩形中，，点，分别在，上，将沿折叠，使点落在上的点处，又将沿折叠，使点落在直线与的交点处，______．

三．计算题（本题共1小题，共10分）

19. 计算：

四．解答题（本题共8小题，共68分）

20. 解不等式组：并写出它的所有整数解．
21. 如图，在▱中，点是边的中点，的延长线与的延长线交于点求证：．
    
    
     

22. 为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：

根据图表提供的信息，回答下列问题：
样本中，女生身高在组的有人，抽样调查了______名女生，共抽样调查了______名学生；
补全条形统计图；
已知该校共有男生人，女生人，请估计身高在之间的学生约有多少人．

23. 如图，是的弦，为半径的中点，过作交弦于点，交于点，是的切线．
    求证：；
    如果，，，求的半径．
     

24. 有大小两种货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨．
    请问辆大货车和辆小货车一次可以分别运货多少吨？
    目前有吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费元，每辆小货车一次运货花费元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？最省费用是多少？
25. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，轴，且点的纵坐标为，双曲线经过点．
    求的值及双曲线的解析式；
    经过点的直线与双曲线的另一个交点为点，且的面积为．
    求直线的解析式；
    过点作轴交直线于点，点是直线上的一个动点．若将以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点的坐标．

26. 在和中，，，且，点在的内部，连接，和，设．
    当时，如图，请求出值，并给予证明；
    当时：
    如图，中的值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出值并说明理由；
    如图，当，，三点共线，且为中点时，请求出的值．

27. 如图，抛物线与轴交于、两点，且
    求抛物线的解析式和点的坐标；
    如图，点是直线上的动点，当直线平分时，求点的坐标；
    如图，已知直线分别与轴、轴交于、两点，点是直线下方的抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，点在线段的延长线上，连接问：以为腰的等腰的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：比小的数是应该是负数，且绝对值大于的数；
分析选项可得，只有符合．
故选：．
根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．
本题考查实数大小的比较，是基础性的题目．
 

2.【答案】

【解析】解：从正面看，可得图形如下：

故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：如图，

把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
，
，
。
故选：。
由题意可求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等，求得的度数。
此题考查了平行线的性质。注意运用：两直线平行，同位角相等。
 

5.【答案】

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

6.【答案】

【解析】解：这组数据中，出现次数最多的是，因而众数是；
最大值是，最小值是，
则极差是：．
故选：．
根据众数就是一组数据中出现次数最多的数，极差就是最大值与最小值的差，据此即可求解．
本题主要考查了极差，众数的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，极差的单位与原数据单位一致．
 

7.【答案】

【解析】解：、原式不能合并，故错误，不符合题意；
B、原式，故错误，不符合题意；
C、原式，故正确，符合题意；
D、原式，故错误，不符合题意．
故选：．
根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则即可求出答案．
本题考查合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
 

8.【答案】

【解析】解：菱形的周长为，
，，
为边中点，
是的中位线，
．
故选：．
根据菱形的四条边都相等求出，再根据菱形的对角线互相平分可得，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，根据 随着 的增大而减小，可得 ，进而可得 ，再根据一次函数图象与系数的关系即可判断．
【解答】
解： 一次函数 ， 随着 的增大而减小，

又

一次函数 的图象过第一，二，四象限．
故选： ．   

10.【答案】

【解析】解：▱的顶点，，
，，
中，，
由题可得，平分，
，
又，
，
，
，
，
，
故选：．
依据勾股定理即可得到中，，依据，即可得到，进而得出，可得．
本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
 

11.【答案】

【解析】解：延长交射线于点，过点作于．

由题意得．
在中，，：
．
．
，
，．
，，，
．
四边形为矩形．
．
．
在中，，．
．
旗杆的高度约为米．
故选：．
延长交射线于点，过点作于则四边形是矩形，想办法求出，即可解决问题；
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，两点在抛物线上，，
抛物线开口向上，对称轴满足，
点，，在该抛物线上，
点距离对称轴最远，点距离对称轴最近，
，
故选：．
根据题意得到抛物线开口向上，对称轴满足，然后根据三点到对称轴的距离的大小判断，，的大小即可．
本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到对称轴的取值范围是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
直接运用平方差公式分解因式即可．
【解答】
解：

．   

14.【答案】

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中组成的两位数是的倍数的结果数为，
所以组成的两位数是的倍数的概率．
故答案为．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出组成的两位数是的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

15.【答案】

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
则原式．
故答案为：．
利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

16.【答案】

【解析】解：正六边形的边长为，
，
的长，
扇形阴影部分的面积．
故答案为：．
由正六边形的性质得出的长，由扇形的面积弧长半径，即可得出结果．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．
 

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用数形结合的思想解答问题．
根据函数图象可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【解答】
解：设小明从 处到终点的速度为 米 秒，小刚从 米处到终点的速度为 米 秒，
由题意可得：小明跑了 秒后还需要 秒到达终点，而小刚跑了 秒后还需要 秒到达终点，则 ，
解得： ，
故这次越野跑的全程为： 米 ，
即这次越野跑的全程为 米．
故答案为： ．   

18.【答案】

【解析】解：连接，
将沿折叠，使点落在上的点处，
又将沿折叠，使点落在与的交点处．
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
又，
，
所以是对角线中点，
即，
所以，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先连接，可以得到是的平分线，所以，又，所以是对角线中点，，所以，即可得出答案．
此题主要考查了翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质，得出是的平分线是解题关键．
 

19.【答案】解：

．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解有、、．

【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，进而判断其整数解．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
又点在的延长线上，
，
．
点是边的中点，
．
在与中，
，
≌，
，
．

【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角．
首先由平行四边形的性质可得，再由全等三角形的判定定理可证明≌由此可得，进而可证明．
 

22.【答案】解：；；
组的人数是：人．
补全条形统计图如图所示：

人．
答：估计身高在之间的学生约有人．

【解析】

【分析】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
根据 组的人数是 人，所占的百分比是 ，据此即可求得总人数，然后根据男生、女生的人数相同求得女生的人数；
利用总人数减去其它各组的人数，即可求得 组的人数，从而作出统计图；
利用总人数乘以 组对应的比例即可求解．
【解答】
解： 抽取的女生人数是： 人 ，
则抽取的总人数是： 人 ．
故答案是： ， ；
见答案．   

23.【答案】证明：连接，

是的切线，点为切点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
过点作，垂足为，

，，
，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
为半径的中点，
，
的半径为．

【解析】连接，根据切线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用等角的余角相等可得，最后根据对顶角相等，即可解答；
过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等角的余角相等可得，从而可得，进而求出的长，然后利用勾股定理求出的长，最后证明字模型相似三角形∽，利用相似三角形的性质求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：设辆大货车一次可运货吨，辆小货车一次可运货吨，
由题意可得：，
解得，
答：辆大货车一次可运货吨，辆小货车一次可运货吨；
设安排辆大货车，则安排辆小货车，总的费用为元，
由题意可得：，
随的增大而增大，
，
，
为整数，
当时，小货车有辆或辆，的最低费用为，
答：安排辆大货车，辆小货车最节省费用，最低费用为元．

【解析】根据辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，可以列出相应的方程组，本题得以解决；
根据题意可以列出相应的方程和不等式，然后求解即可．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
 

25.【答案】解：点在直线上，
，解得，
则，
轴，且点的纵坐标为，
点的坐标为．
双曲线经过点，
，
反比例函数的解析式为；
设，
，，
，
解得，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为；
当时，，解得，则，
直线为直线向下平移个单位得到，
直线与轴的夹角为，
而轴，
，
当为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，
若，则点在的垂直平分线上，点的横坐标为，当时，，此时，
若，则轴，点的横坐标为，当时，，此时，
综上所述，满足条件的点坐标为或

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和正方形的判定方法．
根据一次函数图象上点的坐标特征可得到，解得，则，再确定点的坐标为，然后把点坐标代入中求出的值即可得到反比例函数的解析式；
设，根据三角形面积公式得到，解得，则点的坐标为，再利用待定系数法求直线的解析式；
先确定，根据直线解析式的特征可得直线与轴的夹角为，而轴，于是得到，根据正方形的判定方法，只有为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：若，则点在的垂直平分线上，易得此时；若，利用轴，易得此时．
 

26.【答案】解：，
理由如下：如图，，，，
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌
，即；
值发生变化，，
，，，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，，
∽，
，即，
；
作于，
设，则，
点为中点，
，
由勾股定理得，，
，，
∽，
，即，
解得，，
，
则．

【解析】根据题意得到和都是等边三角形，证明≌，根据全等三角形的性质解答；
根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
作于，设，证明∽，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可．
本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

27.【答案】解：
把代入，
可得，解得，
抛物线解析式为，
令，可得，解得或，
点坐标为；
若平分，则，
如图，若点在轴上方，与轴交于点，

由于点在直线上，可知，
在和中
，
≌，
，
设直线解析式为，把、两点坐标代入可得
，解得，
直线解析式为，
联立，解得，
点坐标为；
若点在轴下方时，同理可得≌，
，
又在的内部，
，即此时没有满足条件的点，
综上可知点坐标为；
如图，作，交于点，

为，
可求得，，
，
轴，
，
，
不妨设，，，
是以为腰的等腰三角形，
若，则，
若，则，
，
当时的面积比时大．
设点坐标为，则，
点在直线的下方，
，
当时，，
，
即以为腰的等腰三角形的面积最大值为．

【解析】把点坐标代入抛物线解析式可求得的值，可求得抛物线解析式，再令，可解得相应方程的根，可求得点坐标；
当点在轴上方时，连接交轴于点，可证≌，可求得坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式，联立直线，可求得点坐标；当点在轴下方时，同理可求得，又在的内部，可知此时没有满足条件的点；
过作于点，由直线的解析式可求得点、的坐标，结合条件可求得，可分别用表示出和的长，分和两种情况，分别用的长表示出的面积，再设出点的坐标，利用二次函数的性质可求得的面积的最大值．
本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等．在中确定出直线的解析式是解题的关键，在中利用表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．