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2021年山东省济南市商河县中考数学一模试题（word版 含答案）
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这是一份2021年山东省济南市商河县中考数学一模试题（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省济南市商河县中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列实数0，，，π，其中，无理数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．2017年1月25日，摩拜单车正式进入济南市场，第一批共投放了11000辆单车，11000用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．将一副三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6 B．（﹣a2）3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．a5•a3＝a8
7．在一些“打分类”比赛当中，经常采用这样的办法来得到一名选手的最后成绩：将所有评委的打分组成一组数据，去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新的数据，再计算平均分．假设评委不少于4人，则比较两组数据，一定不会发生变化的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
8．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
9．反比例函数y=的图象如图所示，以下结论其中正确的是（ ）
A．常数m＜﹣2
B．若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k
C．y随x的增大而减小
D．若P（x，y）在图象上，则P′（x，﹣y）也在图象上
10．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为1.4米，则该大灯距地面的高度为（ ）米．（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10≈）
A．1 B．1.2 C．0.8 D．0.85
11．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（ ）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3与x轴交于点A、B．下列结论正确的有（ ）个．
①m的取值范围是m＞0；
②抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）；
③若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，则m的取值范围是＜m≤；
④若抛物线在﹣3＜x＜0这一段位于x轴下方，在5＜x＜6这一段位于x轴上方，则m的值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．分解因式：4m2﹣1＝_____．
14．某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为_____．
15．如图，在边长为的正六边形中，点P在BC上，则的面积为__________．
16．若代数式+1与代数式的值相等，则x＝_____．
17．某天早晨，亮亮、悦悦两人分别从A、B两地同时出发相向跑步而行，途中两人相遇，亮亮到达B地后立即以另一速度按原路返回．如图是两人离A地的距离y（米）与悦悦运动的时间x（分）之间的函数图象，则亮亮到达A地时，悦悦还需要____________分到达A地．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=__________．
三、解答题
19．计算：
20． 解不等式组：，并写出该不等式组的整数解．
21．如图、在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD．
求证：D是BC的中点．
22．“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，某校为了解学生对共享单车的使用情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将这次调查的结果绘制了以下两幅不完整的统计图．
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）这次调查结果的众数是 ；
（4）已知全校共3000名学生，请估计“经常使用”共享单车的学生大约有多少名？
23．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点D，连接AC．作CE⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCE=∠BCD；
（2）若AD＝8，，求CD的长．
24．某火车站北广场将于2019年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．
（1）A，B两种花木的数量分别是多少课；
（2）如果园林处安排13人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A，D在第一象限，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，交CD于点E，OB=2，AB=3．
（1）求k的值；
（2）若点E恰好是DC的中点．
①求直线AE的函数解析式；
②根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值？
③若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你判断线段AN与线段ME的大小关系，并说明理由．
26．规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图①，在与中，，当、满足条件__________时，与互为“兄弟三角形”；
（2）如图②，在与互为“兄弟三角形”，相交于点M，连，求证：平分；
（3）如图③，在四边形中，，求的度数．
27．如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值；
（3）在（2）条件下，设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
根据无理数的概念可判断出无理数的个数．
【详解】
解：无理数有：，.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
2．B
【详解】
11000＝ ；
故选B．
【点睛】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
3．D
【分析】
根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【详解】
解：从左边看一个正方形被分成两部分，正方形中间有一条横向的虚线．
故选：D．
【点睛】
本题考查简单几何体的三视图，注意看不到但是实际存在的线要用虚线画上．
4．C
【分析】
利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】
解：由题意可知：∠B=60°，∠E=45°
∵，
∴∠E=∠EDB=45°，
∴∠1=∠EDB+∠B=45°+60°=105°，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．D
【分析】
根据合并同类项的法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则分别进行计算即可．
【详解】
A．a3+a3=2a3，故原题计算错误；
B．（﹣a2）3=﹣a6，故原题计算错误；
C．a6÷a2=a4，故原题计算错误；
D．a5•a3=a8，故原题计算正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
7．A
【分析】
去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
【详解】
统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据中间的数产生影响，即中位数故选A.
【点睛】
本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义．
8．C
【详解】
试题分析：A．对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；
B．对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；
C．对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；
D．邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．
故选C．
点评】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．
考点：菱形的性质；矩形的性质．
9．B
【分析】
根据反比例函数的性质得到m＞0，则可对①③进行判断；根据反比例函数图象上点的坐标特征对③④进行判断．
【详解】
解：∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴m＞0，所以A错误；
在每一象限，y随x的增大而减小，所以C错误；
∵A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，
∴点A在第三象限，点B在第一象限，
∴，，
∴h＜k，所以B正确；
∵m=xy=（﹣x）•（﹣y），
∴若P（x，y）在图象上，则（﹣x，﹣y）也在图象上，所以D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
10．A
【分析】
过点作于点，由锐角三角函数的定义得出，再由即可得．
【详解】
解：如图，点作于点，
在中，，即，
解得，
在中，，即，
解得，
∵，
∴，
解得，
即该大灯距地面的高度约为1米，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
11．A
【详解】
试题解析：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．
∵∠DG′F′=∠IGR=90°，∴∠DG′I=∠RG′F′，在△G′ID和△G′RF中，∵G′D= G′F，∠D G′I=∠R G′F′，G′I= G′R，∴△G′ID≌△G′RF，∴∠G′ID=∠G′RF′=90°，∴点F′在线段BC上，在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°，∴E′H=E′F′=1，F′H=，易证△RG′F′≌△HF′E′，∴RF′=E′H，RG′RC=F′H，∴CH=RF′=E′H，∴CE′=，∵RG′=HF′=，∴CG′=RG′=，∴CE′+CG′=．
故选A．
12．D
【分析】
根据抛物线与x轴有两个交点，得出△＞0，即可判断①；用配方法将抛物线解析式配成顶点式，即可判断②；先判断出x＝3时，y≤0，当x＝4时，y＞0，解不等式，即可判断③；先判断出抛物线在﹣4＜x＜﹣3这一段位于x轴上方，结合抛物线在﹣3＜x＜0这一段位于x轴下方，得出当x＝﹣3时，y＝0，即可得出判断④．
【详解】
解：①∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3与x轴交于点A、B，
∴△＝（﹣2m）2﹣4m（m﹣3）＞0，
∴m＞0，故①正确；
②∵y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x2﹣2x+1）﹣3＝m（m﹣1）2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），故②正确；
③由②知，抛物线的对称轴为直线为x＝1，
∵线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，
∴这些整数为﹣1，0，1，2，3，
∵m＞0，
∴当x＝3时，y＝9m﹣6m+m﹣3≤0，
∴m≤，
当x＝4时，y＝16m﹣8m+m﹣3＞0，
∴m＞，
∴＜m≤，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线为x＝1，且m＞0，抛物线在5＜x＜6这一段位于x轴上方，
∴由抛物线的对称性得，抛物线在﹣4＜x＜﹣3这一段位于x轴上方，
∵抛物线在﹣3＜x＜0这一段位于x轴下方，
∴当x＝﹣3时，y＝9m+6m+m﹣3＝0，
∴m＝，故④正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．
13．（2m+1）（2m﹣1）
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
解：4m2﹣1＝（2m+1）（2m﹣1）．
故答案为：（2m+1）（2m﹣1）．
【点睛】
本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用平方差公式进行因式分解．
14．
【详解】
分析：根据概率公式用女生人数除以总人数即可得结论．
详解：所有等可能结果共有6种，其中女生有2种，∴恰好是女生的概率为．
故答案为．
点睛：本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
15．
【分析】
如图，连接 过作于，利用正六边形的性质求解的长，利用与上的高相等，从而可得答案．
【详解】
解：如图，连接 过作于，
正六边形,
故答案为：
【点睛】
本题考查的是正多边形的性质，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
16．2
【分析】
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】
解：根据题意得：+1＝，
去分母得：x﹣2+6＝2x+2，
移项得：x﹣2x＝2+2﹣6，
合并得：﹣x＝﹣2，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查列一元一次方程，解一元一次方程，正确解方程是重点
17．10
【分析】
根据时间30分钟时路程是3000米求出亮亮的速度，即可求出悦悦跑步的速度及20分钟和45分钟时的纵坐标，依此求出亮亮返回时的函数解析式，由此求出答案.
【详解】
由图象可得：亮亮从A地到B地的跑步速度是米/分，
∴时间20分钟时的点的纵坐标是，
∴悦悦跑步的平均速度是米/分，
∴时间45分钟时的纵坐标是，
设亮亮返回时的函数解析式是y=kx+b，将点（30,3000），（45,750）代入，
得到，得，
∴y=-150x+7500，
当y=0时，x=50，
∴亮亮50分钟时返回A地，
∴亮亮到达A地时，悦悦还需要分，
故答案为：10.
【点睛】
此题考查一次函数的图象与实际问题，理解函数图象的实际意义，根据函数图象的数据进行计算，利用待定系数法求函数解析式，根据路程=时间乘以速度关系式进行计算.
18．
【详解】
过E作EH⊥CF于H，则有∠HEC+∠ECH=90°，
由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA，
∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴EF=CE，∴∠FEH=∠CEH，∴∠AEB+∠CEH=90°，
∴∠ECH=∠AEB，即∠ECF=∠AEB，
在矩形ABCD中，∵∠B=90°，∴ AE==10，
∴sin∠ECF=sin∠AEB= = ，
故答案为．
19．2
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题主要考查了实数运算，熟记特殊角的三角函数值、正确化简各数是解题的关键．
20．﹣2≤x＜1，整数解为：﹣2，﹣1，0．
【分析】
先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，再确定整数解即可.
【详解】
，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜1，
故此不等式的解集为：﹣2≤x＜1，
其整数解为：﹣2，﹣1，0．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组及不等式组的整数解，熟知解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.
21．见解析
【分析】
根据平行线的性质得到∠AFE=∠DCE，由中点的定义得到AE=DE，根据三角形全等的判定易证得△AFE≌△DCE，利用全等三角形的性质得AF=DC，而AF=BD，即可得到D是BC的中点．
【详解】
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
又∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DCE中，
∠AFE=∠DCE，∠FEA=∠DEC（对顶角相等），AE=ED，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=DC，
而AF=BD，
∴BD=DC，
即D是BC的中点．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，且一组对应角所对的边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．
22．（1）15%；（2）见解析；（3）偶尔使用；（4）450（人）
【分析】
（1）由“从不使用”的人数及其对应百分比求得总人数，继而用“经常使用”的人数除以总人数可得m的值；
（2）根据各类别人数之和等于总人数求得“偶尔使用”的人数即可补全条形图；
（3）根据众数的定义求解可得；
（4）用总人数乘以样本中“经常使用”的人数对应的百分比可得．
【详解】
解：（1）∵被调查的学生总人数为25÷25%＝100（人），
∴经常使用的人数对应的百分比m＝×100%＝15%，
故答案为15%；
（2）偶尔使用的人数为100﹣（25+15）＝60（人），
补全条形统计图如下：
（3）∵偶尔使用的人数最多，
∴这次调查结果的众数是偶尔使用，
故答案为偶尔使用；
（4）估计“经常使用”共享单车的学生大约有3000×15%＝450（人）．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（1）见解析；（2）CD=4
【分析】
（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，利用切线的性质得到∠DCO=90°，则根据等角的余角相等得到∠ACO=∠BCD，同样方法证明∠A=∠BCE，从而得到∠BCE=∠BCD；
（2）证明△ACD∽△CBD，然后利用相似比求CD的长．
【详解】
（1）证明：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵CD与⊙O的相切于点C，
∴∠DCO=90°，即∠BCD+∠OCB=90°，
∴∠ACO=∠BCD，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO，
∴∠A=∠BCD，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠ABC=∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴∠BCE=∠BCD；
（2）解：∵∠D=∠D，∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD=8，
∴CD=4．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．（1）A种花木的数量是4200棵，B种花木的数量是2400棵；（2）安排种植A花木的7人，种植B花木的6人，可以确保同时完成各自的任务．
【分析】
（1）根据在广场内种植A，B两种花木共 6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600 棵可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据安排13人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40 棵，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【详解】
（1）设A，B两种花木的数量分别是x棵、y棵，
由题意得：，
解得：，
答：A，B两种花木的数量分别是4200棵、2400棵；
（2）设安排种植A花木的m人，则种植B花木的（13-m）人，
由题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
则13-m=6，
答：安排种植A花木的7人，种植B花木的6人，可以确保同时完成各自的任务．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和分式方程．注意解分式方程不要忘记检验．
25．（1）6；（2）①y=﹣x+；② 0＜x＜2或x＞4；③AN=ME．
【详解】
分析：（1）求得A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求得k的值；
（2）E的纵坐标是，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐标，从而求得矩形的边长AD和BC．①利用待定系数法即可直接求解；②根据函数图象，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值，即求反比例函数图象在一次函数图象上边部分x的范围；③延长DA交y轴于点F，利用勾股定理分别求得AN和ME的长，即可判断．
本题解析：
（1）∵OB=2，AB=3，
∴A的坐标是（2，3），
把A（2，3）代入y=得：k=6；
（2）E恰好是DC的中点，则E的纵坐标是，把y=代入y=得：x=4，
则E的坐标是（4，）．
①设直线AE的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线AE的解析式是y=﹣x+；
②根据图象回答，在第一象限内，当0＜x＜2或x＞4时，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值；
③延长DA交y轴于点F．
则AF⊥y轴，AF=2，F的坐标是（0，3），OF=3．
在y=﹣x+中，令x=0，解得y=，即N的坐标是（0，），NF=﹣3=；
令y=0，解得：x=6，则M的坐标是（6，0）．则CM=2．
则AN=，
ME=．
则AN=ME．
26．（1）；（2）见详解；（3）60°．
【分析】
（1）由角的等量代换，以及“兄弟三角形”的定义，即可得到答案；
（2）根据兄弟三角形的定义，得到，然后证明△ABE≌△ACD，则∠ABN=∠ACH，再证明△ABN≌△ACH，得到AN=AH，即可得到结论成立；
（3）延长CD至H，使得DH=BC，连接AH，先证明△ABC≌△ADH，再得到△ACH是等边三角形，然后得到∠BCD=120°，即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵，，
又“兄弟三角形”的定义，则
，
∴；
故答案为：；
（2）作AH⊥DM，AN⊥BM，如图：
∵与互为“兄弟三角形”，，
∴，
∴，
即，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABN=∠ACH，
∵∠ANB=∠AHC=90°，AB=AC，
∴△ABN≌△ACH，
∴AN=AH，
∵AH⊥DM，AN⊥BM，
∴AM平分；
（3）延长CD至H，使得DH=BC，连接AH，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵BC=DH，AB=AD，
∴△ABC≌△ADH，
∴AH=AC，
∵，
∴，
∴△ACH是等边三角形；
∴∠ACD=∠H=60°，
∴∠ACB=∠H=60°，
∴∠BCD=60°+60°=120°，
∴∠BAD=60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
27．（1）；（2）PD+PE的最大值是3；（3）能，F（3，﹣）或F（1，）
【分析】
（1）先确定出点B，C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先设出点P的坐标，进而得出点D，E的坐标，即可得出PD+PE的函数关系式，即可得出结论；
（3）分AB为边和对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵直线与轴、轴分别交于点B、C，
∴B（2，0）、C（0，1），
∵B、C在抛物线解上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2设P（，），
∵PD∥轴，PE∥轴，点D，E都在直线上，
∴E（，），D（，），
∴PD+PE=,
,
，
∴当时，PD+PE的最大值是3．
（3）能，理由如下：
由，令，
解得：，，
∴A（，0），B（2，0），
∴，
若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，
①当以AB为边时，则AB∥PF且AB=PF，
设P（，），则F（，），
∴，
整理得：，
解得：，（与A重合，舍去），
∴F（3，），
②当以AB为对角线时，连接PF交AB于点G，则AG=BG，PG=FG，
设G（m，0），
∵A（，0），B（2，0），
∴m-=2-m，∴m=，
∴G（，0），
作PM⊥AB于点M，FN⊥AB于点N，则NG=MG，PM=FN，
设P（，），则F（，），
∴，
整理得：，
解得：，（与A重合，舍去），
∴F（1，）．
综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点F的坐标为F（3，）或F（1，）．
【点睛】
本题主要考查二次函数综合、平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
2021年山东省济南市商河县中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列实数0，，，π，其中，无理数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．2017年1月25日，摩拜单车正式进入济南市场，第一批共投放了11000辆单车，11000用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．将一副三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6 B．（﹣a2）3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．a5•a3＝a8
7．在一些“打分类”比赛当中，经常采用这样的办法来得到一名选手的最后成绩：将所有评委的打分组成一组数据，去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新的数据，再计算平均分．假设评委不少于4人，则比较两组数据，一定不会发生变化的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
8．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
9．反比例函数y=的图象如图所示，以下结论其中正确的是（ ）
A．常数m＜﹣2
B．若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k
C．y随x的增大而减小
D．若P（x，y）在图象上，则P′（x，﹣y）也在图象上
10．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为1.4米，则该大灯距地面的高度为（ ）米．（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10≈）
A．1 B．1.2 C．0.8 D．0.85
11．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（ ）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3与x轴交于点A、B．下列结论正确的有（ ）个．
①m的取值范围是m＞0；
②抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）；
③若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，则m的取值范围是＜m≤；
④若抛物线在﹣3＜x＜0这一段位于x轴下方，在5＜x＜6这一段位于x轴上方，则m的值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．分解因式：4m2﹣1＝_____．
14．某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为_____．
15．如图，在边长为的正六边形中，点P在BC上，则的面积为__________．
16．若代数式+1与代数式的值相等，则x＝_____．
17．某天早晨，亮亮、悦悦两人分别从A、B两地同时出发相向跑步而行，途中两人相遇，亮亮到达B地后立即以另一速度按原路返回．如图是两人离A地的距离y（米）与悦悦运动的时间x（分）之间的函数图象，则亮亮到达A地时，悦悦还需要____________分到达A地．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=__________．
三、解答题
19．计算：
20． 解不等式组：，并写出该不等式组的整数解．
21．如图、在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD．
求证：D是BC的中点．
22．“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，某校为了解学生对共享单车的使用情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将这次调查的结果绘制了以下两幅不完整的统计图．
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）这次调查结果的众数是 ；
（4）已知全校共3000名学生，请估计“经常使用”共享单车的学生大约有多少名？
23．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点D，连接AC．作CE⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCE=∠BCD；
（2）若AD＝8，，求CD的长．
24．某火车站北广场将于2019年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．
（1）A，B两种花木的数量分别是多少课；
（2）如果园林处安排13人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A，D在第一象限，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，交CD于点E，OB=2，AB=3．
（1）求k的值；
（2）若点E恰好是DC的中点．
①求直线AE的函数解析式；
②根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值？
③若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你判断线段AN与线段ME的大小关系，并说明理由．
26．规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图①，在与中，，当、满足条件__________时，与互为“兄弟三角形”；
（2）如图②，在与互为“兄弟三角形”，相交于点M，连，求证：平分；
（3）如图③，在四边形中，，求的度数．
27．如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值；
（3）在（2）条件下，设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
根据无理数的概念可判断出无理数的个数．
【详解】
解：无理数有：，.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
2．B
【详解】
11000＝ ；
故选B．
【点睛】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
3．D
【分析】
根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【详解】
解：从左边看一个正方形被分成两部分，正方形中间有一条横向的虚线．
故选：D．
【点睛】
本题考查简单几何体的三视图，注意看不到但是实际存在的线要用虚线画上．
4．C
【分析】
利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】
解：由题意可知：∠B=60°，∠E=45°
∵，
∴∠E=∠EDB=45°，
∴∠1=∠EDB+∠B=45°+60°=105°，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．D
【分析】
根据合并同类项的法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则分别进行计算即可．
【详解】
A．a3+a3=2a3，故原题计算错误；
B．（﹣a2）3=﹣a6，故原题计算错误；
C．a6÷a2=a4，故原题计算错误；
D．a5•a3=a8，故原题计算正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
7．A
【分析】
去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
【详解】
统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据中间的数产生影响，即中位数故选A.
【点睛】
本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义．
8．C
【详解】
试题分析：A．对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；
B．对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；
C．对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；
D．邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．
故选C．
点评】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．
考点：菱形的性质；矩形的性质．
9．B
【分析】
根据反比例函数的性质得到m＞0，则可对①③进行判断；根据反比例函数图象上点的坐标特征对③④进行判断．
【详解】
解：∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴m＞0，所以A错误；
在每一象限，y随x的增大而减小，所以C错误；
∵A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，
∴点A在第三象限，点B在第一象限，
∴，，
∴h＜k，所以B正确；
∵m=xy=（﹣x）•（﹣y），
∴若P（x，y）在图象上，则（﹣x，﹣y）也在图象上，所以D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
10．A
【分析】
过点作于点，由锐角三角函数的定义得出，再由即可得．
【详解】
解：如图，点作于点，
在中，，即，
解得，
在中，，即，
解得，
∵，
∴，
解得，
即该大灯距地面的高度约为1米，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
11．A
【详解】
试题解析：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．
∵∠DG′F′=∠IGR=90°，∴∠DG′I=∠RG′F′，在△G′ID和△G′RF中，∵G′D= G′F，∠D G′I=∠R G′F′，G′I= G′R，∴△G′ID≌△G′RF，∴∠G′ID=∠G′RF′=90°，∴点F′在线段BC上，在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°，∴E′H=E′F′=1，F′H=，易证△RG′F′≌△HF′E′，∴RF′=E′H，RG′RC=F′H，∴CH=RF′=E′H，∴CE′=，∵RG′=HF′=，∴CG′=RG′=，∴CE′+CG′=．
故选A．
12．D
【分析】
根据抛物线与x轴有两个交点，得出△＞0，即可判断①；用配方法将抛物线解析式配成顶点式，即可判断②；先判断出x＝3时，y≤0，当x＝4时，y＞0，解不等式，即可判断③；先判断出抛物线在﹣4＜x＜﹣3这一段位于x轴上方，结合抛物线在﹣3＜x＜0这一段位于x轴下方，得出当x＝﹣3时，y＝0，即可得出判断④．
【详解】
解：①∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3与x轴交于点A、B，
∴△＝（﹣2m）2﹣4m（m﹣3）＞0，
∴m＞0，故①正确；
②∵y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x2﹣2x+1）﹣3＝m（m﹣1）2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），故②正确；
③由②知，抛物线的对称轴为直线为x＝1，
∵线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，
∴这些整数为﹣1，0，1，2，3，
∵m＞0，
∴当x＝3时，y＝9m﹣6m+m﹣3≤0，
∴m≤，
当x＝4时，y＝16m﹣8m+m﹣3＞0，
∴m＞，
∴＜m≤，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线为x＝1，且m＞0，抛物线在5＜x＜6这一段位于x轴上方，
∴由抛物线的对称性得，抛物线在﹣4＜x＜﹣3这一段位于x轴上方，
∵抛物线在﹣3＜x＜0这一段位于x轴下方，
∴当x＝﹣3时，y＝9m+6m+m﹣3＝0，
∴m＝，故④正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．
13．（2m+1）（2m﹣1）
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
解：4m2﹣1＝（2m+1）（2m﹣1）．
故答案为：（2m+1）（2m﹣1）．
【点睛】
本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用平方差公式进行因式分解．
14．
【详解】
分析：根据概率公式用女生人数除以总人数即可得结论．
详解：所有等可能结果共有6种，其中女生有2种，∴恰好是女生的概率为．
故答案为．
点睛：本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
15．
【分析】
如图，连接 过作于，利用正六边形的性质求解的长，利用与上的高相等，从而可得答案．
【详解】
解：如图，连接 过作于，
正六边形,
故答案为：
【点睛】
本题考查的是正多边形的性质，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
16．2
【分析】
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】
解：根据题意得：+1＝，
去分母得：x﹣2+6＝2x+2，
移项得：x﹣2x＝2+2﹣6，
合并得：﹣x＝﹣2，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查列一元一次方程，解一元一次方程，正确解方程是重点
17．10
【分析】
根据时间30分钟时路程是3000米求出亮亮的速度，即可求出悦悦跑步的速度及20分钟和45分钟时的纵坐标，依此求出亮亮返回时的函数解析式，由此求出答案.
【详解】
由图象可得：亮亮从A地到B地的跑步速度是米/分，
∴时间20分钟时的点的纵坐标是，
∴悦悦跑步的平均速度是米/分，
∴时间45分钟时的纵坐标是，
设亮亮返回时的函数解析式是y=kx+b，将点（30,3000），（45,750）代入，
得到，得，
∴y=-150x+7500，
当y=0时，x=50，
∴亮亮50分钟时返回A地，
∴亮亮到达A地时，悦悦还需要分，
故答案为：10.
【点睛】
此题考查一次函数的图象与实际问题，理解函数图象的实际意义，根据函数图象的数据进行计算，利用待定系数法求函数解析式，根据路程=时间乘以速度关系式进行计算.
18．
【详解】
过E作EH⊥CF于H，则有∠HEC+∠ECH=90°，
由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA，
∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴EF=CE，∴∠FEH=∠CEH，∴∠AEB+∠CEH=90°，
∴∠ECH=∠AEB，即∠ECF=∠AEB，
在矩形ABCD中，∵∠B=90°，∴ AE==10，
∴sin∠ECF=sin∠AEB= = ，
故答案为．
19．2
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题主要考查了实数运算，熟记特殊角的三角函数值、正确化简各数是解题的关键．
20．﹣2≤x＜1，整数解为：﹣2，﹣1，0．
【分析】
先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，再确定整数解即可.
【详解】
，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜1，
故此不等式的解集为：﹣2≤x＜1，
其整数解为：﹣2，﹣1，0．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组及不等式组的整数解，熟知解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.
21．见解析
【分析】
根据平行线的性质得到∠AFE=∠DCE，由中点的定义得到AE=DE，根据三角形全等的判定易证得△AFE≌△DCE，利用全等三角形的性质得AF=DC，而AF=BD，即可得到D是BC的中点．
【详解】
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
又∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DCE中，
∠AFE=∠DCE，∠FEA=∠DEC（对顶角相等），AE=ED，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=DC，
而AF=BD，
∴BD=DC，
即D是BC的中点．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，且一组对应角所对的边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．
22．（1）15%；（2）见解析；（3）偶尔使用；（4）450（人）
【分析】
（1）由“从不使用”的人数及其对应百分比求得总人数，继而用“经常使用”的人数除以总人数可得m的值；
（2）根据各类别人数之和等于总人数求得“偶尔使用”的人数即可补全条形图；
（3）根据众数的定义求解可得；
（4）用总人数乘以样本中“经常使用”的人数对应的百分比可得．
【详解】
解：（1）∵被调查的学生总人数为25÷25%＝100（人），
∴经常使用的人数对应的百分比m＝×100%＝15%，
故答案为15%；
（2）偶尔使用的人数为100﹣（25+15）＝60（人），
补全条形统计图如下：
（3）∵偶尔使用的人数最多，
∴这次调查结果的众数是偶尔使用，
故答案为偶尔使用；
（4）估计“经常使用”共享单车的学生大约有3000×15%＝450（人）．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（1）见解析；（2）CD=4
【分析】
（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，利用切线的性质得到∠DCO=90°，则根据等角的余角相等得到∠ACO=∠BCD，同样方法证明∠A=∠BCE，从而得到∠BCE=∠BCD；
（2）证明△ACD∽△CBD，然后利用相似比求CD的长．
【详解】
（1）证明：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵CD与⊙O的相切于点C，
∴∠DCO=90°，即∠BCD+∠OCB=90°，
∴∠ACO=∠BCD，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO，
∴∠A=∠BCD，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠ABC=∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴∠BCE=∠BCD；
（2）解：∵∠D=∠D，∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD=8，
∴CD=4．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．（1）A种花木的数量是4200棵，B种花木的数量是2400棵；（2）安排种植A花木的7人，种植B花木的6人，可以确保同时完成各自的任务．
【分析】
（1）根据在广场内种植A，B两种花木共 6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600 棵可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据安排13人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40 棵，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【详解】
（1）设A，B两种花木的数量分别是x棵、y棵，
由题意得：，
解得：，
答：A，B两种花木的数量分别是4200棵、2400棵；
（2）设安排种植A花木的m人，则种植B花木的（13-m）人，
由题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
则13-m=6，
答：安排种植A花木的7人，种植B花木的6人，可以确保同时完成各自的任务．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和分式方程．注意解分式方程不要忘记检验．
25．（1）6；（2）①y=﹣x+；② 0＜x＜2或x＞4；③AN=ME．
【详解】
分析：（1）求得A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求得k的值；
（2）E的纵坐标是，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐标，从而求得矩形的边长AD和BC．①利用待定系数法即可直接求解；②根据函数图象，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值，即求反比例函数图象在一次函数图象上边部分x的范围；③延长DA交y轴于点F，利用勾股定理分别求得AN和ME的长，即可判断．
本题解析：
（1）∵OB=2，AB=3，
∴A的坐标是（2，3），
把A（2，3）代入y=得：k=6；
（2）E恰好是DC的中点，则E的纵坐标是，把y=代入y=得：x=4，
则E的坐标是（4，）．
①设直线AE的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线AE的解析式是y=﹣x+；
②根据图象回答，在第一象限内，当0＜x＜2或x＞4时，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值；
③延长DA交y轴于点F．
则AF⊥y轴，AF=2，F的坐标是（0，3），OF=3．
在y=﹣x+中，令x=0，解得y=，即N的坐标是（0，），NF=﹣3=；
令y=0，解得：x=6，则M的坐标是（6，0）．则CM=2．
则AN=，
ME=．
则AN=ME．
26．（1）；（2）见详解；（3）60°．
【分析】
（1）由角的等量代换，以及“兄弟三角形”的定义，即可得到答案；
（2）根据兄弟三角形的定义，得到，然后证明△ABE≌△ACD，则∠ABN=∠ACH，再证明△ABN≌△ACH，得到AN=AH，即可得到结论成立；
（3）延长CD至H，使得DH=BC，连接AH，先证明△ABC≌△ADH，再得到△ACH是等边三角形，然后得到∠BCD=120°，即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵，，
又“兄弟三角形”的定义，则
，
∴；
故答案为：；
（2）作AH⊥DM，AN⊥BM，如图：
∵与互为“兄弟三角形”，，
∴，
∴，
即，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABN=∠ACH，
∵∠ANB=∠AHC=90°，AB=AC，
∴△ABN≌△ACH，
∴AN=AH，
∵AH⊥DM，AN⊥BM，
∴AM平分；
（3）延长CD至H，使得DH=BC，连接AH，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵BC=DH，AB=AD，
∴△ABC≌△ADH，
∴AH=AC，
∵，
∴，
∴△ACH是等边三角形；
∴∠ACD=∠H=60°，
∴∠ACB=∠H=60°，
∴∠BCD=60°+60°=120°，
∴∠BAD=60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
27．（1）；（2）PD+PE的最大值是3；（3）能，F（3，﹣）或F（1，）
【分析】
（1）先确定出点B，C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先设出点P的坐标，进而得出点D，E的坐标，即可得出PD+PE的函数关系式，即可得出结论；
（3）分AB为边和对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵直线与轴、轴分别交于点B、C，
∴B（2，0）、C（0，1），
∵B、C在抛物线解上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2设P（，），
∵PD∥轴，PE∥轴，点D，E都在直线上，
∴E（，），D（，），
∴PD+PE=,
,
，
∴当时，PD+PE的最大值是3．
（3）能，理由如下：
由，令，
解得：，，
∴A（，0），B（2，0），
∴，
若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，
①当以AB为边时，则AB∥PF且AB=PF，
设P（，），则F（，），
∴，
整理得：，
解得：，（与A重合，舍去），
∴F（3，），
②当以AB为对角线时，连接PF交AB于点G，则AG=BG，PG=FG，
设G（m，0），
∵A（，0），B（2，0），
∴m-=2-m，∴m=，
∴G（，0），
作PM⊥AB于点M，FN⊥AB于点N，则NG=MG，PM=FN，
设P（，），则F（，），
∴，
整理得：，
解得：，（与A重合，舍去），
∴F（1，）．
综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点F的坐标为F（3，）或F（1，）．
【点睛】
本题主要考查二次函数综合、平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
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