2022年广东省广州市增城区中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省广州市增城区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 实数的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 下列正多边形中，对称轴最多的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 平面直角坐标系中，的圆心在原点，半径为，则点与的位置关系是

A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定

5. 一组数据，，，，的中位数是

A.  B.  C.  D.

6. 一种药品原价每盒元，经过两次降价后每盒元，两次降价的百分率相同，设每次降价百分率为，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

7. 如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶，若，则小车上升的高度是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连结若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

10. 如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过、两点直线的解析式为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 不等式的解集是______ ．
12. 分解因式：______．
13. 一圆锥的母线长为，底面半径为，则该圆锥的侧面积为______．
14. 如图，点是矩形边上一点，于点，若，，则的长为______ ．

15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为______
    
     

16. 如图，点是正方形的对角线延长线上的一点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，则下列结论中：
    ；；；
    正确的是          填写所有正确结论的序号

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17. 解方程组：．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共8小题，共68.0分）

18. 如图，菱形中，于点，于点求证：．

19. 已知．
    化简；
    若点是直线与反比例函数的图象的交点，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 年月日，北京冬奥会正式拉开帷幕，小明同学非常喜欢冰球、短道速滑、自由式滑雪、冰壶、花样滑冰这五个项目，他也想知道大家对这五个项目的喜爱程度，于是他对所在小区的居民做了一次随机调查统计，让每个人在这五个项目中选一项最喜欢的，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：其中冰球、短道速滑、自由式滑雪、冰壶、花样滑冰
    请补全条形统计图；
    由于小明同学能够观看比赛的时间有限，所以他只能从这五个项目中随机选两个项目观看，用列举法求小明选到项目，的概率．

21. 如图，已知反比例函数为常数．
    点、为该反比例函数图象上的两点，直接写出和的大小关系；
    设点是图象上的一点，过点作轴于点为坐标原点，若，求的值并直接写出不等式的解集．

22. 为了配合学校贯彻落实“双减”政策，开展学生课后体育活动，某体育用品商店用元购进了一批足球，很快销售一空；商店又用元购进了第二批该种足球，每个足球的进价比原来小涨了，结果所购进足球的数量比第一批少个．
    求第一批足球每个的进价是多少元？
    若商店将第一批足球以售价元，第二批足球以售价元全部售出，则其盈利多少元？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中，．
    尺规作图：以为直径作交于点，交于点保留作图痕迹，不写作法
    在所作的图中，
    连接、，求证：；
    设、相交于点，若，求的值．
     

24. 已知抛物线的顶点为．
    当时，求点的坐标；
    经过探究发现，随着的变化，顶点在某直线上运动，直线与轴，轴分别交于，两点，求的面积；
    若抛物线与直线的另一交点为，以为直径的圆与坐标轴相切，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，且使得，．
    试判断的形状，并说明理由；
    在第二象限内是否存在一点，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
    如图，点为线段上一动点，点为线段上一动点，且始终满足求的最小值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：实数的绝对值是：．
故选：．
直接利用绝对值的性质得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、正三角形有三条对称轴，故本选项不符合题意；
B、正方形有条对称轴，故本选项不符合题意；
C、正五边形有条对称轴，故本选项不符合题意；
D、正六边形有条对称轴，故本选项符合题意．
故选：．
根据正多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：不是同类项，不能合并，不符合题意；
B.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，不符合题意；
C.积的乘方，等于每一个因式分别乘方的积，，不符合题意；
D.单项式与单项式相除，，符合题意．
故选：．
选项不是同类项，不能合并；选项应该指数相加；选项积的乘方，等于每一个因式分别乘方的积；选项是单项式与单项式相除，正确．
本题考查了整式的运算，解题的关键是牢记计算的公式．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由题意可作图，如下图所示：

，
点在内．
故A正确，、、D错误，
故选：．
本题根据题意可作图可知，即可判定点与的位置关系．
本题考查点与圆的位置关系，根据与的关系判断是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：从小到大排列此数据为：、、、、，中位数是第三个数，
故选：．
先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查了确定一组数据的中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

6.【答案】
 

【解析】解：第一次降价后的价格为：；
第二次降价后的价格为：；
两次降价后的价格为元，
．
故选：．
等量关系为：原价降价的百分率现价，把相关数值代入即可．
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设小车上升的高度是，
，
，
解得，，
故选：．
根据正弦的定义列式计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，是角平分线，
，
，
是中线，
，
，
故选：．
由等腰三角形的性质推出，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求得．
本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟记这两个性质是解决问题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
故选：．
由切线的性质得出，求出，由等腰三角形的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出结果．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质，熟练运用切线的性质是本题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：对于直线，令，得到，即，，
令，得到，即，，
过作轴，可得，
，
为等腰直角三角形，即，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，即，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得．
过、两点的直线对应的函数表达式是．
故选：．
过作垂直于轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形对应边相等得到，，由求出的长，即可确定出坐标，然后根据待定系数法即可求得过、两点的直线对应的函数表达式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：
两边同时加，得

，
故答案为：．
解不等式，即可得到不等式的解集，本题得以解决．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是会解一元一次不等式的方法．
 

12.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
利用平方差公式分解即可求得答案．
此题考查了平方差公式分解因式的知识题目比较简单，解题需细心．
 

13.【答案】
 

【解析】解：圆锥的侧面积；
故答案为：．
圆锥的侧面积底面半径母线长；
考查圆锥的侧面积公式，掌握相应公式是关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：在矩形中，，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为．
根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：将绕点顺时针旋转，得到，
≌，，
，
为等边三角形，
，
，
与的周长之和，
故答案为：．
根据将绕点顺时针旋转，得到，可得≌，，，从而得到为等边三角形，得到，在中，利用勾股定理得到，所以与的周长之和，即可解答．
本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到相等的边．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
连接，利用四点共圆证明是等腰直角三角形，可得结论；
如图，作辅助线，证明四边形是平行四边形，可得结论；
证明四边形是矩形，可作判断；
证明≌，则，可作判断．
【解答】
解：连接，，

、、、四点共圆，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故正确；
如图，在取一点，使得，连接、、，
四边形是正方形，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，

，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
；
故正确；
连接交于，如图，由知：，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
故正确；

在和中，
，
≌，
，
，
故不正确；
结论正确的有：，
故答案为．  

17.【答案】解：，
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
原方程组的解为．
 

【解析】利用加减消元法解二元一次方程组．
本题考查解二元一次方程组，掌握消元法加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的步骤是解题关键
 

18.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】由菱形的性质可得，，由“”可证≌，可得．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
 

19.【答案】解：


．
点是直线与反比例函数的图象的交点，
将点分别代入得，，
，
．
 

【解析】直接根据分式的混合运算法则计算即可得到答案；
利用待定系数法，可得，然后代入可得答案．
此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求解是解决此题关键．
 

20.【答案】解：该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是人，
则项目人数为人，
补全条形图如下：

列表如下：

共有种等可能的结果数，其中选到，两个项目的结果数为，
他同时选到，这两个项目的概率是．
 

【解析】用想去项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出想去项目的人数后补全条形统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出选到，两个项目的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：，
反比例函数为常数在每一个象限内随的增大而减小，
，
；
点在反比例函数为常数的图象上，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
解得或，
当时，则不等式的解集为：；
当时，则不等式的解集为：或．
 

【解析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据、两点的横坐标判断出两点所在的象限，故可得出结论．
根据题意求得，根据勾股定理求得，，得到，即可得到，即可求得的值，然后分两种情况借助反比例函数和正比例函数图象即可求得．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式；也考查了反比例函数和一次函数的交点．
 

22.【答案】解：设第一批足球每个的进价是元，则第二批足球每个的进价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
答：第一批足球每个的进价是元；
第一批足球盈利元，
第二批足球盈利元，
一共盈利元，
答：全部售出，其盈利元．
 

【解析】设第一批足球每个的进价是元，可得得：，即可解得第一批足球每个的进价是元；
用第一批足球盈利加上第二批足球盈利即可得答案．
本题考查分式方程的应用，解题的根据是读懂题意，找到等量关系列方程．
 

23.【答案】解：如图，即为所求作的图形，

如图，
证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
；
，
设，则，
由知，是的中位线，
分别是的中位线，
，
，
在中，，
在中，，
．
 

【解析】先作的中垂线确定出圆心，再以为圆心，为半径画圆，即可作出图形；
连接，判断出，进而得出，再判断出，即可得出结论；
设出，则，利用三角形中位线得出，再用勾股定理依次表示出，，即可求出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了基本作图，圆的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，判断出是解本题的关键．
 

24.【答案】解：当时，，
顶点为坐标为；
，
顶点坐标为，
即顶点满足，，
顶点所在直线的解析式为：，
令得，令得，
，，
的面积；
解得：
或，
，
，
以为直径的圆的圆心坐标为，
以为直径的圆与坐标轴相切，分两种情况：
以为直径的圆与轴相切，
则，即，
解得或，
以为直径的圆与轴相切，
则，
解得或，
综上所述，以为直径的圆与坐标轴相切，或或或，
 

【解析】代入得解析式，配成顶点式即可求顶点坐标；
用的代数式表示顶点横、纵坐标，消去得到直线解析式，求出、坐标，即可求的面积；
求出、坐标和以为直径的圆的圆心和直径，根据以为直径的圆与坐标轴相切列方程，即可得到的值．
本题考查二次函数、圆的综合知识，解题的关键是求出为直径的圆的圆心坐标和半径．
 

25.【答案】解：是以为直角顶点的直角三角形，理由如下：
，
，
，
是以为斜边的直角三角形；
存在，如图，当，分别过点，作轴于，轴于，

，
，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
在第二象限，
；
如图，当，分别过点，作轴于，的延长线于，交轴于，

同理可求出，，
同理可证明≌，
，，
，，
在第二象限，
，
综上，存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，或；
如图，过点作以为腰，的等腰直角三角形，

，，
又，
≌，
，
，
要使最小，则最小，
当、、三点共线时，最小，即有最小值为的长，
由知，，
，
即有最小值为．
 

【解析】利用勾股定理的逆定理证明；
当，分别过点，作轴于，轴于，首先利用等积法求出的长，再利用证明≌，得，，即可得出点的坐标；当，同理可求；
过点作以为腰，的等腰直角三角形，利用证明≌，得，则当、、三点共线时，最小，即有最小值为的长．
本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．