安徽省安庆四中2021-2022学年第一学期八年级数学期中考试【试卷+答案】
展开安庆四中2021—2022学年第一学期八年级数学期中考试试卷
一、选择题(本大题10小题,每题4分,满分40分)
1.下列数据中不能确定物体的位置的是( )
A.南偏西40° B.红旗小区3号楼701号
C.龙山路461号 D.东经130°,北纬54°
2.下列函数(1)y=πx;(2)y=-2x﹣1;(3)y=;(4)y=22﹣x;(5)y=x2﹣1中,一次函数的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图,下列各曲线中表示y是x函数的是( )
4.根据如图所示的计算程序计算变量y的值,若输入m=4,n=3时,则输出y的值是( )
A.13 B.7 C.10 D.11
5.若一次函数y=(1﹣2k)x+1的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1<x2时,y1<y2,则k的取值范围是( )
A.k<0 B.k>0 C.k< D.k>
6.如图,△ABC中,∠A=30°,将△ABC沿DE折叠,点A落在F处,则∠FDB+∠FEC的度数为( )
A.140° B.60° C.70° D.80°
7.已知点A(m,n),且有mn≤0,则点A一定不在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第四象限 D.坐标轴上
8.一次函数y=kx﹣b与y=﹣x(k,b为常数,且kb≠0),它们在同一坐标系内的图象可能为( )
9.下列说法中,正确的是( )
A.三角形的高都在三角形内
B.三角形的三条中线相交于三角形内一点
C.三角形的一个外角大于任何一个内角
D.三角形最大的一个内角的度数可以小于60度
10.甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩,沿同一路线从A地出发前往B地,甲、乙分别以不同的速度匀速骑行,甲比乙早出发5分钟.甲骑行20分钟后,乙以原速的1.5倍继续骑行,经过一段时间,乙先到达B地,甲一直保持原速前往B地.在此过程中,甲、乙两人相距的路程y(单位:m)与甲骑行的时间x(单位:min)之间的关系如图所示,则下列说法中错误的是( )
A.甲的骑行速度是250m/min
B.A,B两地的总路程为22.5km
C.乙出发60min后追上甲
D.甲比乙晚5min到达B地
二、填空题(本大题4小题,每题5分,满分20分)
11.函数中,自变量x的取值范围是 .
12.把命题“不能被2整除的数是奇数”改写成“如果…那么…”的形式 .
13.已知y﹣2与x成正比,且当x=1时,y=﹣6,则y与x的关系式是 .
14.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,设直线l和八个正方形的最上面交点为A,则直线l的解析式是 .
三、解答题(本大题2小题,每题8分,满分16分)
15.已知一次函数y=kx﹣4,当x=2时,y=﹣3.
(1)求一次函数的表达式;
(2)将该函数的图象向上平移6个单位,求平移后与x轴交点的坐标.
16.如图,在单位正方形网格中,建立了平面直角坐标系xOy,试解答下列问题:
(1)写出△ABC三个顶点的坐标;
(2)画出△ABC向右平移6个单位,再向下平移2个单位后的图形△A1B1C1;
(3)求△ABC的面积.
四、解答题(本大题2小题,每题8分,满分16分)
17.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,求三角形各边的长.
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗?若能,求出其他两边的长;若不能,请说明理由.
18.已知直线l1:y=x+n﹣2与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,2).
(1)求m,n的值;
(2)请结合图象直接写出不等式mx+n>x+n﹣2的解集.
五、解答题(本大题2小题,每题10分,满分20分)
19.如图,在△ABC中,∠1=100°,∠C=80°,∠2=∠3,BE平分∠ABC交AD于E,求∠4的度数.
20.已知:如图,在△AOB中,A(3,2),B(5,0),E(4,m),且点A、E、B在同一条直线上,求(1)m的值.(2)△AOE的面积.
六、解答题(本题12分)
21.图①,∠MON=90°,点A,B分别在OM,ON上运动(不与点O重合).
(1)若BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D.
①若∠BAO=60°,则∠D= °;
②猜想:∠D的度数是否随A,B的运动而发生变化?并说明理由;
(2)若∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO,求∠D的度数;
(3)若将“∠MON=90°”改为“∠MON=α(0°<α<180°)”,∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO,其余条件不变,则∠D= (用含α,n的代数式表示).
七、解答题(本题满分12分)
22.某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套,经招标,购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元,且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元.
(1)求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元?
(2)学校根据实际情况,要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元,并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的,求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种购买方案?怎样的方案使总费用最低?并求出最低费用.
八、解答题(本题满分14分)
23.已知直线AB∥CD.
(1)如图1,直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ;
(2)如图2,∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究∠P与∠E之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图3,∠ABM=∠MBE,∠CDN=∠NDE,直线MB、ND交于点F,则= .
安庆四中2021—2022学年第一学期八年级数学期中考试试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题10小题,每题4分,满分40分)
1.下列数据中不能确定物体的位置的是( )
A.南偏西40° B.红旗小区3号楼701号
C.龙山路461号 D.东经130°,北纬54°
【分析】确定一个物体的位置,要用一个有序数对,即用两个数据.找到一个数据的选项即为所求.
【解答】解:A.南偏西40°,不是有序数对,不能确定物体的位置,故本选项符合题意;
B.幸福小区3号楼701号,相当于一个数据,是有序数对,能确定物体的位置,故本选项不合题意;
C.平原路461号,是有序数对,能确定物体的位置,故本选项不合题意;
D.东经130°,北纬54°,是有序数对,能确定物体的位置,故本选项不合题意;
故选:A.
【点评】本题考查了坐标确定点的位置,要明确,一个有序数对才能确定一个点的位置.
2.下列函数(1)y=πx;(2)y=-2x﹣1;(3)y=;(4)y=22﹣x;(5)y=x2﹣1中,一次函数的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可.
【解答】解:(1)y=πx是正比例函数,是特殊的一次函数;
(2)y=2x﹣1是一次函数;
(3)y=是反比例函数;
(4)y=22﹣x是一次函数;
(5)y=x2﹣1是二次函数.
故选:B.
【点评】本题主要考查了一次函数的定义,一次函数y=kx+b的定义条件是:k、b为常数,k≠0,自变量次数为1.
3.如图,下列各曲线中表示y是x函数的是( )
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.函数的意义反映在图象上简单的判断方法是:作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点.
【解答】解:A、作垂直x轴的直线,在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点,故A不符合题意;
B、作垂直x轴的直线,在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点,故B符合题意;
C、作垂直x轴的直线,在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点,故C不符合题意;
D、作垂直x轴的直线,在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点,故D不符合题意;
故选:B.
【点评】主要考查了函数的定义:在一个变化过程中,有两个变量x,y,对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,则y是x的函数,x叫自变量.
4.根据如图所示的计算程序计算变量y的值,若输入m=4,n=3时,则输出y的值是( )
A.13 B.7 C.10 D.11
【分析】当m<n时用左边的解析式算;当m≥n时用右边的解析式算.
【解答】解:∵m=4,n=3,
∴m>n,
∴y=3n﹣2,
当n=3时,y=3×3﹣2=7.
故选:B.
【点评】本题考查了函数值,体现了分类讨论的数学思想,当m<n时用左边的解析式算;当m≥n时用右边的解析式算是解题的关键.
5.若一次函数y=(1﹣2k)x+1的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1<x2时,y1<y2,则k的取值范围是( )
A.k<0 B.k>0 C.k< D.k>
【分析】由x1<x2时,y1<y2,可知y随x增大而增大,则比例系数1﹣2k>0,从而求出k的取值范围.
【解答】解:当x1<x2时,y1<y2,y随x增大而增大,
∴1﹣2k>0,得k<.
故选:C.
【点评】本题考查一次函数的图象性质:当k>0,y随x增大而增大.
6.如图,△ABC中,∠A=30°,将△ABC沿DE折叠,点A落在F处,则∠FDB+∠FEC的度数为( )
A.140° B.60° C.70° D.80°
【分析】由折叠得到∠A与∠F的关系,再利用平角、四边形的内角和得到∠FDB+∠FEC的度数.
【解答】解:∵△DEF是由△DEA折叠而成的,
∴∠A=∠F=30°.
∵∠A+∠ADF+∠AEF+∠F=360°,
∴∠ADF+∠AEF=360°﹣∠A﹣∠F=300°.
∵∠BDF=180°﹣∠ADF,
∠FEC=180°﹣∠AEF,
∴∠FDB+∠FEC=180°﹣∠ADF+180°﹣∠AEF
=360°﹣(∠ADF+∠AEF)
=360°﹣300°
=60°.
故选:B.
【点评】本题考查了三角形的内角和,掌握折叠的性质及三角形的内角和定理是解决本题的关键.
7.已知点A(m,n),且有mn≤0,则点A一定不在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第四象限 D.坐标轴上
【分析】应先判断出所求的点的横、纵坐标的符号,进而判断点所在的位置.
【解答】解:根据点A(m,n),且有mn≤0,
所以m≥0,n≤0或m≤0,n≥0,
所以点A一定不在第一象限,
故选:A.
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).
8.一次函数y=kx﹣b与y=﹣x(k,b为常数,且kb≠0),它们在同一坐标系内的图象可能为( )
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系,由一次函数y=kx﹣b图象分析可得k、b的符号,进而可得﹣的符号,从而判断y=﹣x的图象是否符合,进而比较可得答案.
【解答】解:根据一次函数的图象分析可得:
A、由一次函数y=kx﹣b图象可知k>0,b>0,﹣<0;正比例函数y=﹣x的图象可知﹣>0,故此选项不可能;
B、由一次函数y=kx﹣b图象可知k<0,b<0,﹣<0;正比例函数y=﹣x的图象可知﹣>0,故此选项不可能;
C、由一次函数y=kx﹣b图象可知k<0,b<0,﹣<0;正比例函数y=﹣x的图象可知﹣<0,故此选项有可能;
D、由一次函数y=kx﹣b图象可知k>0,b<0,﹣>0;正比例函数y=﹣x的图象可知﹣<0,故此选项不可能;
故选:C.
【点评】此题主要考查了一次函数图象,注意:一次函数y=kx+b的图象有四种情况:
①当k>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限;
②当k>0,b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限;
③当k<0,b>0时,函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限;
④当k<0,b<0时,函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限.
9.下列说法中,正确的是( )
A.三角形的高都在三角形内
B.三角形的三条中线相交于三角形内一点
C.三角形的一个外角大于任何一个内角
D.三角形最大的一个内角的度数可以小于60度
【分析】分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.
【解答】解:A、锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点,故本选项错误;
B、三角形的三条中线相交于三角形内一点,故本选项正确;
C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角,故本选项错误;
D、根据三角形内角和等于180°,三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度,故本选项错误;
故选:B.
【点评】本题考查三角形高线,中线的概念,三角形外角的性质和三角形内角和定理,掌握这些知识点是解题的关键.
10.甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩,沿同一路线从A地出发前往B地,甲、乙分别以不同的速度匀速骑行,甲比乙早出发5分钟.甲骑行20分钟后,乙以原速的1.5倍继续骑行,经过一段时间,乙先到达B地,甲一直保持原速前往B地.在此过程中,甲、乙两人相距的路程y(单位:m)与甲骑行的时间x(单位:min)之间的关系如图所示,则下列说法中错误的是( )
A.甲的骑行速度是250m/min
B.A,B两地的总路程为22.5km
C.乙出发60min后追上甲
D.甲比乙晚5min到达B地
【分析】根据函数与图象的关系以此计算即可判断.
【解答】解:甲5min骑行1250m,故速度为1250÷5=250m/min,
故A正确;
设乙的速度为xm/min,则有20×250﹣15x=2000,
解得:x=200,
∴乙的速度为200m/min,
甲骑行20分钟后,乙以原速的1.5倍,即1.5×200=300m/min继续骑行,
∵乙先到达B地,
∴由题意可得AB两地的总路程为15×200+(85﹣20)×300=22500m=22.5km,
故B正确;
设乙出发tmin后追上甲,
依题意可得:2000=300(t﹣15)﹣250(t﹣20),
解得:t=30,
∴乙出发30min后追上甲,故C错误;
85min甲的路程为85×250=21250(m),
∴甲比乙晚=5 min到达B地,
故D正确.
故选:C.
【点评】本题考查一次函数的应用,解题的关键是读懂图象信息,灵活运用所学知识解决问题.
二、 填空题(本大题4小题,每题5分,满分20分)
11.函数中,自变量x的取值范围是 x≠1 .
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0;分析原函数式可得关系式x﹣1≠0,解可得答案.
【解答】解:根据题意可得x﹣1≠0;
解得x≠1;
故答案为:x≠1.
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围,当函数表达式是分式时,要注意考虑分式的分母不能为0.
12.把命题“不能被2整除的数是奇数”改写成“如果…那么…”的形式 如果一个数不能被2整除,那么这个数是奇数 .
【分析】先分清命题“不能被2整除的数是奇数”的题设与结论,然后写成“如果…那么…”的形式.
【解答】解:如果一个数不能被2整除,那么这个数是奇数.
故答案为:如果一个数不能被2整除,那么这个数是奇数.
【点评】本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.也考查了逆命题.
13.已知y﹣2与x成正比,且当x=1时,y=﹣6,则y与x的关系式是 y=﹣8x+2 .
【分析】已知y﹣2与x成正比例,即可以设y﹣2=kx,把x=1,y=﹣6代入解析式即可求得k的值,从而求得函数的解析式.
【解答】解:设y﹣2=kx
根据题意得:﹣6﹣2=k
则k=﹣8
则函数的解析式是:y=﹣8x+2.
故答案为y=﹣8x+2
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式,正确理解y﹣2与x成正比例是解决本题的关键.
14.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,设直线l和八个正方形的最上面交点为A,则直线l的解析式是 y=x .
【分析】如图,利用正方形的性质得到B(0,3),由于直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,则S△AOB=5,然后根据三角形面积公式计算出AB的长,从而可得A点坐标,然后代入正比例函数的解析式求得解析式即可.
【解答】解:如图,
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,
∴S△AOB=4+1=5,
而OB=3,
∴AB•3=5,
∴AB=,
∴A点坐标为(,3),
代入y=kx,得:3=k
解得:k=,
∴解析式为y=x,
故答案为:y=x.
【点评】本题考查了坐标与图形性质:利用点的坐标计算出相应的线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系.也考查了三角形面积公式.
三、 解答题(本大题2小题,每题8分,满分16分)
15.已知一次函数y=kx﹣4,当x=2时,y=﹣3.
(1)求一次函数的表达式;
(2)将该函数的图象向上平移6个单位,求平移后与x轴交点的坐标.
【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据图象上移加,可得平移后的函数解析式,根据函数值为零,可得自变量的值.
【解答】解:(1)把x=2,y=﹣3代入y=kx﹣4得:2k﹣4=﹣3,
解得:k=,
则一次函数的解析式是:y=x﹣4;
(2)该函数的图象向上平移6个单位,得
y=x+2.
当y=0时,x+2=0.
解得x=﹣4,
即平移后与x轴交点的坐标(﹣4,0).
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式,利用了待定系数法求函数解析式,图象上移加,图象下移减.
16.如图,在单位正方形网格中,建立了平面直角坐标系xOy,试解答下列问题:
(1)写出△ABC三个顶点的坐标;
(2)画出△ABC向右平移6个单位,再向下平移2个单位后的图形△A1B1C1;
(3)求△ABC的面积.
【分析】(1)观察图象,根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标;
(2)将A、B、C按平移条件找出它的对应点A1、B1、C1,顺次连接A1B1、B1C1、C1A1,即得到平移后的图形;
(3)利用三角形的面积=直角梯形的面积﹣两个直角三角形的面积即可求出答案.
【解答】解:(1)A(﹣1,8),B(﹣4,3),C(0,6);(3分)
(2)如图:
(3)△ABC的面积=(1+4)×5﹣×1×2﹣×4×3=5.5.
【点评】用到的知识点为:图形的平移要归结为图形顶点的平移;求点的坐标应根据所在象限确定符号,根据距离原点的水平距离和竖直距离确定具体坐标;格点中的三角形的面积通常整理为长方形或梯形的面积与几个三角形的面积的差.
四、解答题(本大题2小题,每题8分,满分16分)
17.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,求三角形各边的长.
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗?若能,求出其他两边的长;若不能,请说明理由.
【分析】(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm,根据周长公式列一元一次方程,解方程即可求得各边的长;
(2)题中没有指明4cm所在边是底还是腰,故应该分情况进行分析,注意利用三角形三边关系进行检验.
【解答】解:(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm.
依题意,得2x+2x+x=18,
解得x=.
∴2x=.
∴三角形三边的长为cm、cm、cm.
(2)若腰长为4cm,则底边长为18﹣4﹣4=10cm.
而4+4<10,所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形.
若底边长为4cm,则腰长为(18﹣4)=7cm.
此时能围成等腰三角形,三边长分别为4cm、7cm、7cm.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系,在解答此类题目时要注意分类讨论,不要漏解.
18.已知直线l1:y=x+n﹣2与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,2).
(1)求m,n的值;
(2)请结合图象直接写出不等式mx+n>x+n﹣2的解集.
【分析】(1)先把P点坐标代入y=x+n﹣2求出n,然后把P点坐标代入y=mx+3可求出m的值;
(2)利用函数图象,写出直线l1在直线l2上方所对应的自变量的范围即可.
【解答】解:(1)把P(1,2)代入y=x+n﹣2得1+n﹣2=2,解得n=3;
把P(1,2)代入y=mx+3得m+3=2,解得m=﹣1;
(2)不等式mx+n>x+n﹣2的解集为x<1.
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合
五、解答题(本大题2小题,每题10分,满分20分)
19.如图,在△ABC中,∠1=100°,∠C=80°,∠2=∠3,BE平分∠ABC交AD于E,求∠4的度数.
【分析】首先根据三角形的外角的性质求得∠3,再根据已知条件求得∠2,进而根据三角形的内角和定理求得∠ABD,再根据角平分线的定义求得∠ABE,最后根据三角形的外角的性质求得∠4.
【解答】解:∵∠1=∠3+∠C,∠1=100°,∠C=80°,
∴∠3=20°,
∵∠2=∠3,
∴∠2=10°,
∴∠ABC=180°﹣100°﹣10°=70°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=35°,
∵∠4=∠2+∠ABE,
∴∠4=45°.
【点评】本题主要考查三角形的内角和,三角形的外角,解答的关键结合图形找出角与角之间的关系.
20.已知:如图,在△AOB中,A(3,2),B(5,0),E(4,m),且点A、E、B在同一条直线上,求(1)m的值.(2)△AOE的面积.
【分析】求出直线AB的解析式,利用待定系数法,可求出m值,再由ABE三点坐标可求出△AOE的面积.
【解答】解:(1)∵A(3,2),B(5,0),
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5,
∵点E在直线AB上,
∴﹣4+5=m,
解得:m=1;
(2)由上得E坐标为(4,1),
S△AEO=S△AOB﹣S△EOB=×5×2﹣×5×1=.
∴△AOE的面积是.
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质及三角形的面积公式,难度不大,关键求出点E的坐标,间接求出△AOE的面积.
六、解答题(本题12分)
21.图①,∠MON=90°,点A,B分别在OM,ON上运动(不与点O重合).
(1)若BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D.
①若∠BAO=60°,则∠D= 45 °;
②猜想:∠D的度数是否随A,B的运动而发生变化?并说明理由;
(2)若∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO,求∠D的度数;
(3)若将“∠MON=90°”改为“∠MON=α(0°<α<180°)”,∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO,其余条件不变,则∠D= (用含α,n的代数式表示).
【分析】(1)①欲求∠D,由∠D+∠BAD=∠CBA,需求∠CBA﹣∠BAD.由AD平分∠BAO,BC平分∠ABN,得∠BAD=,∠CBA=,进而解决此题.
②与①同理.
(2)与①同理.
(3)与①同理.
【解答】解:(1)①∵AD平分∠BAO,BC平分∠ABN,
∴∠BAD=,∠CBA=.
∵∠D+∠BAD=∠CBA,
∴∠D=∠CBA﹣∠BAD==.
∵∠MON=90°,
∴∠D=45°.
故答案为:45.
②不变化,理由如下:
与①同理可得:∠D=,是定值.
(2)由(1)知:∠D=∠CBA﹣∠BAD.
∵∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO,
∴∠D==.
∵∠MON=90°,
∴∠D=30°.
(3)与(2)同理:∠D=∠CBA﹣∠BAD.
∵∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO,
∴∠D==.
∵∠MON=α,
∴∠D=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义,熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键.
七、解答题(本题满分12分)
22.某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套,经招标,购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元,且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元.
(1)求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元?
(2)学校根据实际情况,要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元,并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的,求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种购买方案?怎样的方案使总费用最低?并求出最低费用.
【分析】(1)设购买一套A型课桌凳需要x元,购买一套B型课桌凳需要y元,根据“购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元,购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购买a套A型课桌凳,则购买(200﹣a)套B型课桌凳,根据总价=单价×数量结合购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的,即可得出关于a的一元一次不等式组,解之即可得出a的取值范围,结合a为整数即可得出各购买方案,再利用总价=单价×数量可分别求出各购买方案所需总费用,比较后即可得出使总费用最低的购买方案及最低费用.
【解答】解:(1)设购买一套A型课桌凳需要x元,购买一套B型课桌凳需要y元,
依题意,得:,
解得:.
答:购买一套A型课桌凳需要180元,购买一套B型课桌凳需要220元.
(2)设购买a套A型课桌凳,则购买(200﹣a)套B型课桌凳,
依题意,得:,
解得:78≤a≤80.
∵a为整数,
∴a=78,79,80,
∴共有3种购买方案,方案1:购买78套A型课桌凳,122套B型课桌凳;方案2:购买79套A型课桌凳,121套B型课桌凳;方案3:购买80套A型课桌凳,120套B型课桌凳.
方案1所需费用78×180+122×220=40880(元);
方案2所需费用79×180+121×220=40840(元);
方案3所需费用80×180+120×220=40800(元).
∵40800<40840<40880,
∴方案3购买80套A型课桌凳,120套B型课桌凳所需总费用最低,最低费用为40800元.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组.
八、解答题(本题满分14分)
23.已知直线AB∥CD.
(1)如图1,直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ∠E=∠END﹣∠BME ;
(2)如图2,∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究∠P与∠E之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图3,∠ABM=∠MBE,∠CDN=∠NDE,直线MB、ND交于点F,则= .
【分析】(1)由AB∥CD,即可得到∠END=∠EFB,再根据∠EFB是△MEF的外角,即可得出∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME;
(2)由平行线的性质以及三角形外角性质,即可得到∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA,再根据三角形内角和定理,即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°,即∠E+2(∠PMA+∠CNP)=180°,即可得到∠E+2∠NPM=180°;
(3)延长AB交DE于G,延长CD交BF于H,由平行线的性质以及三角形外角性质,即可得到∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE;依据∠CHB是△DFH的外角,即可得到∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=(∠ABE﹣∠CDE),进而得出∠F=∠E.
【解答】解:(1)如图1,∵AB∥CD,
∴∠END=∠EFB,
∵∠EFB是△MEF的外角,
∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME,
故答案为:∠E=∠END﹣∠BME;
(2)如图2,∵AB∥CD,
∴∠CNP=∠NGB,
∵∠NPM是△GPM的外角,
∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA,
∵MQ平分∠BME,PN平分∠CNE,
∴∠CNE=2∠CNP,∠FME=2∠BMQ=2∠PMA,
∵AB∥CD,
∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP,
∵△EFM中,∠E+∠FME+∠MFE=180°,
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°,
即∠E+2(∠PMA+∠CNP)=180°,
∴∠E+2∠NPM=180°;
(3)如图3,延长AB交DE于G,延长CD交BF于H,
∵AB∥CD,
∴∠CDG=∠AGE,
∵∠ABE是△BEG的外角,
∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE,①
∵∠ABM=∠MBE,∠CDN=∠NDE,
∴∠ABM=∠ABE=∠CHB,∠CDN=∠CDE=∠FDH,
∵∠CHB是△DFH的外角,
∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=(∠ABE﹣∠CDE),②
由①代入②,可得∠F=∠E,
即.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义、三角形内角和的运用,解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角,依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算.
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