2022届广东省广州市白云区中考五模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？　　

A． B． C． D．

2．若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则 a+b的值为（　　）

A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣4

3．若实数 a，b 满足|a|＞|b|，则与实数 a，b 对应的点在数轴上的位置可以是（   ）

A． B． C． D．

4．下列命题中，真命题是（ ）

A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形

C．圆的切线垂直于经过切点的半径

D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直

5．如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，E为AB上一点，AC与DE相交于点F， S△AEF=3，则S△FCD为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．27

6．下面计算中，正确的是（　　）

A．（a+b）2=a2+b2    B．3a+4a=7a2

C．（ab）3=ab3    D．a2•a5=a7

7．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于，否则就有危险，那么梯子的长至少为（  ）

A．8米 B．米 C．米 D．米

8．最小的正整数是（　　）

A．0    B．1    C．﹣1    D．不存在

9．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（　　）

A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1

10．已知，则的值是　　

A．60 B．64 C．66 D．72

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．不等式组的最大整数解是__________.

12．计算：×（﹣2）=___________.

13．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且△AOB是正三角形，则∠ACB的度数是    。

14．一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________．

15．不等式2x－5<7－(x－5)的解集是______________.

16．如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取.

18．（8分）计算：﹣﹣|4sin30°﹣|+（﹣）﹣1

19．（8分）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点．

求反比例函数的表达式；

若点C在反比例函数的图象上，点D在x轴上，当四边形ABCD是平行四边形时，求点D的坐标．

20．（8分）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．

21．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．

22．（10分）如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点．

（1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．

①求证：△ABP∽△BCP；

②若 PA=3，PC=4，则 PB=     ．

（2）已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和 BD相交于 P 点．如图（2）

①求∠CPD 的度数；

②求证：P 点为△ABC 的费马点．

23．（12分）如图，曲线BC是反比例函数y＝（4≤x≤6）的一部分，其中B（4，1﹣m），C（6，﹣m），抛物线y＝﹣x2+2bx的顶点记作A．

（1）求k的值．

（2）判断点A是否可与点B重合；

（3）若抛物线与BC有交点，求b的取值范围．

24．我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

(1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为______°.

(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为_______人.

(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】
根据圆锥的侧面展开图的特点作答．

【详解】

A选项：是长方体展开图．

B选项：是圆锥展开图.

C选项：是棱锥展开图.

D选项：是正方体展开图.

故选B.

【点睛】

考查了几何体的展开图，注意圆锥的侧面展开图是扇形．

2、D

【解析】

分析：已知等式利用完全平方公式整理后，利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值．

详解：已知等式整理得：x2+ax+19=（x-5）2-b=x2-10x+25-b，

可得a=-10，b=6，

则a+b=-10+6=-4，

故选D．

点睛：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

3、D

【解析】
根据绝对值的意义即可解答．

【详解】

由|a|＞|b|，得a与原点的距离比b与原点的距离远， 只有选项D符合，故选D．

【点睛】

本题考查了实数与数轴，熟练运用绝对值的意义是解题关键．

4、C

【解析】

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

解答：解：A、错误，例如对角线互相垂直的等腰梯形；

B、错误，等腰梯形是轴对称图形不是中心对称图形；

C、正确，符合切线的性质；

D、错误，垂直于同一直线的两条直线平行．

故选C．

5、D

【解析】
先根据AE：EB=1：2得出AE：CD=1：3，再由相似三角形的判定定理得出△AEF∽△CDF，由相似三角形的性质即可得出结论.

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，AE：EB=1：2，

∴AE：CD=1：3，

∵AB∥CD，

∴∠EAF=∠DCF，

∵∠DFC=∠AFE，

∴△AEF∽△CDF，

∵S△AEF=3，

∴＝＝()2，

解得S△FCD=1．

故选D.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.

6、D

【解析】
直接利用完全平方公式以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．

【详解】

A. (a+b)2=a2+b2+2ab，故此选项错误；

B. 3a+4a=7a，故此选项错误；

C. (ab)3=a3b3，故此选项错误；

D. a2a5=a7，正确。

故选：D.

【点睛】

本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，解题的关键是掌握它们的概念进行求解.

7、C

【解析】

此题考查的是解直角三角形

如图：AC=4，AC⊥BC，

∵梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能＞60°．

∴∠ABC≤60°，最大角为60°．

即梯子的长至少为米，

故选C.

8、B

【解析】
根据最小的正整数是1解答即可．

【详解】

最小的正整数是1．

故选B．

【点睛】

本题考查了有理数的认识，关键是根据最小的正整数是1解答．

9、D

【解析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及在每一象限内函数的增减性，再根据y1＜0＜y2＜y3判断出三点所在的象限，故可得出结论．

【详解】

解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣1＜0，

∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，

∵y1＜0＜y2＜y3，

∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x3，y3）两点均在第二象限，

∴x2＜x3＜x1．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键．

10、A

【解析】
将代入原式，计算可得．

【详解】

解：当时，

原式

，

故选A．

【点睛】

本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】
先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．

【详解】

解：，

由不等式①得x≤1，

由不等式②得x＞-1，

其解集是-1＜x≤1，

所以整数解为0，1，1，

则该不等式组的最大整数解是x=1．

故答案为：1．

【点睛】

考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

12、-1

【解析】
根据“两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘”即可求出结论．

【详解】

故答案为

【点睛】

本题考查了有理数的乘法，牢记“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”是解题的关键．

13、30°

【解析】

试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.

∵△AOB是正三角形

∴∠AOB=60°

∴∠ACB=30°.

考点：圆周角定理

点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆周角定理，即可完成.

14、cm

【解析】

试题分析：把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．设此圆锥的底面半径为r，

根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=， r=cm．

考点：圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系

15、x＜

【解析】

解：去括号得：2x－5＜7－x+5，移项、合并得：3x＜17，解得：x＜．故答案为：x＜．

16、2:1

【解析】

先根据相似三角形面积的比是4：9，求出其相似比是2：1，再根据其对应的角平分线的比等于相似比，可知它们对应的角平分线比是2：1．

故答案为2：1.

点睛：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．

三、解答题（共8题，共72分）

17、-2.

【解析】

试题分析：先算括号里面的，再算除法，解不等式组，求出x的取值范围，选出合适的x的值代入求值即可．

试题解析：原式=

==

解得-1≤x<，

∴不等式组的整数解为-1，0，1，2

 若分式有意义，只能取x=2，

∴原式=-=－2

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．

18、﹣4﹣1．

【解析】
先逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可.

【详解】

解：原式＝﹣3﹣（﹣2）﹣12

＝﹣3﹣+2﹣12

＝﹣4﹣1．

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式的性质以及负整数指数幂的意义是解答本题的关键.

19、（1）y= （1）（1，0）

【解析】
（1）将点M的坐标代入一次函数解析式求得a的值；然后将点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值即可；

（1）根据平行四边形的性质得到BC∥AD且BD＝AD，结合图形与坐标的性质求得点D的坐标．

【详解】

解：（1）∵点M（a，4）在直线y=1x+1上，

∴4=1a+1，

解得a=1，

∴M（1，4），将其代入y=得到：k=xy=1×4=4，

∴反比例函数y=（x＞0）的表达式为y=；

（1）∵平面直角坐标系中，直线y=1x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，

∴当x=0时，y=1．

当y=0时，x=﹣1，

∴B（0，1），A（﹣1，0）．

∵BC∥AD，

∴点C的纵坐标也等于1，且点C在反比例函数图象上，

将y=1代入y=，得1=，

解得x=1，

∴C（1，1）．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD且BD=AD，

由B（0，1），C（1，1）两点的坐标知，BC∥AD．

又BC=1，

∴AD=1，

∵A（﹣1，0），点D在点A的右侧，

∴点D的坐标是（1，0）．

【点睛】

考查了反比例函数与一次函数交点问题．熟练掌握平行四边形的性质和函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键，难度适中．

20、见解析

【解析】
根据条件可以得出AD=AB，∠ABF=∠ADE=90°，从而可以得出△ABF≌△ADE，就可以得出∠FAB=∠EAD，就可以得出结论．

【详解】

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，

∴∠ABF=90°．

∵在△BAF和△DAE中，

，

∴△BAF≌△DAE（SAS），

∴∠FAB=∠EAD，

∵∠EAD+∠BAE=90°，

∴∠FAB+∠BAE=90°，

∴∠FAE=90°，

∴EA⊥AF．

21、证明见解析.

【解析】
利用三角形中位线定理判定OE∥BC，且OE=BC．结合已知条件CF=BC，则OE//CF，由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点．

又∵点E是边CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥BC，且OE=BC．

又∵CF=BC，∴OE=CF．

又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF，

∴四边形OCFE是平行四边形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．此题利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质和“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”的判定定理．熟记相关定理并能应用是解题的关键.

22、（1）①证明见解析；②；（2）①60°；②证明见解析；

【解析】

试题分析：（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；

②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；

（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；

②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．

试题解析：（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，

∴∠PAB=∠PBC，

又∵∠APB=∠BPC=120°，

∴△ABP∽△BCP，

②解：∵△ABP∽△BCP，

∴，

∴PB2=PA•PC=12，

∴PB=2；

（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，

∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，

在△ACE和△ABD中，

，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴∠CPD=∠6=∠5=60°；

②证明：∵△ADF∽△CFP，

∴AF•PF=DF•CF，

∵∠AFP=∠CFD，

∴△AFP∽△CDF．

∴∠APF=∠ACD=60°，

∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，

∴∠BPC=120°，

∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，

∴P点为△ABC的费马点．

考点：相似形综合题

23、（1）12；（2）点A不与点B重合；（3）

【解析】
（1）把B、C两点代入解析式，得到k＝4（1﹣m）＝6×（﹣m），求得m＝﹣2，从而求得k的值；

（2）由抛物线解析式得到顶点A（b，b2），如果点A与点B重合，则有b＝4，且b2＝3，显然不成立；

（3）当抛物线经过点B（4，3）时，解得，b＝ ，抛物线右半支经过点B；当抛物线经过点C，解得，b＝，抛物线右半支经过点C；从而求得b的取值范围为≤b≤．

【详解】

解：（1）∵B（4，1﹣m），C（6，﹣m）在反比例函数 的图象上，

∴k＝4（1﹣m）＝6×（﹣m），

∴解得m＝﹣2，

∴k＝4×[1﹣（﹣2）]＝12；

（2）∵m＝﹣2，∴B（4，3），

∵抛物线y＝﹣x2+2bx＝﹣（x﹣b）2+b2，

∴A（b，b2）．

若点A与点B重合，则有b＝4，且b2＝3，显然不成立，

∴点A不与点B重合；

（3）当抛物线经过点B（4，3）时，有3＝﹣42+2b×4，

解得，b＝，

显然抛物线右半支经过点B；

当抛物线经过点C（6，2）时，有2＝﹣62+2b×6，

解得，b＝，

这时仍然是抛物线右半支经过点C，

∴b的取值范围为≤b≤．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会用讨论的思想思考问题．

24、（1）60，30；；（2）300；（3）

【解析】
（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；

（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】

解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，

∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；

∵了解部分的人数为60﹣（15+30+10）=5，

∴扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°=30°；

故答案为60，30；

（2）根据题意得：900×=300（人），

则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人，

故答案为300；

（3）画树状图如下：

所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A的情况有2种，

所以P（抽到女生A）==．

【点睛】

此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．